八年级数学上册3.3勾股定理的简单应用难点分析素材(新版)苏科版

1、 勾股定理的简单应用难点分析 勾股定理的应用就是把实际问题转化到直角三角形中用“勾股定理”解决. 下面举例说 明并分析学生在应用勾股定理所遇到的难点. 一. 在实际问题中抽象出直角三角形应用勾股定理 例 1.飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞机飞到一个男孩头顶正上方 4000 多米处， 过 20 秒，飞机距离这个男孩头顶 5000 米，飞机每时飞行多少千米？ 从题意中抽抽象出图形, 如右图，图中 ABC的 NC =90：AC =4000 米，AB=5000 】机每小时飞行多少千米，就要知道飞机在 20 秒的时间里的飞行路程，即图中的 由于直角） ABC的斜边AB=5000 米，AC=4000

2、米，这样的 CB就可以通过勾股定理 / 第1 题图 男孩头顶 解：由勾股定理得 BC2二 AB2 - AC2 =52 一 42 = 9（千米） 即BC=3 千米 飞机 20 秒飞行 3 千米，那么它 1 小时飞行的距离为： 3600 3 =540（千米/小时） 20 答：飞机每个小时飞行 540 千米. 二. 注意方程思想的应用的两个类型. 类型一：在一个直角三角形中，应用勾股定理列方程. 例 2.在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面 1 米，阵风吹来，红莲被吹到一边，花朵 齐及水面，已知红莲移动的水平距离为 2 米，问这里水深是多少米？ 分析: 米，欲求飞 CB的长， 得分析.从实际12 帀

3、图形如图，由题意可知：/ ADC/ BDC90。；红莲高出水 解：如图 2,由题意可知：/ DC/ BD（=90 ;红莲高出水面 AD=1 米；花朵齐及水面 B 第 2 题图 说明：AB=BQ红莲移动的水平距离为 2 米说明：DO2 米. 设水深BD=x米，贝 U AB=BG（x+1）米 在 Rt BDC中，根据勾股定理得： BD2 DCBC2中，应用勾股定 明：AB：BC红莲移动的水平距离为 2 米说明：DC=2 米.在 Rt BDC 面 Al=1 米；花朵齐及水 哩 例 方 程 可3 所以DE=CE 所以 DE2 =CE2 所以 AD2 AE2 = CB2 BE2 所以 152 x2=10

4、2 (25 -x)2 解得：x=10 所以E站应建在离 A站 10km 处 例 4.已知 中，AB =5cm , BC =12cm , AC = 13cm ,求AC边上的高线的长. 1分析:首先通过所给的三角形的三边长, 判断出所求高线长的三角形为直角三角形， 并 且要求的为斜边上的高线,在 Rt BDC中 ,根据勾股定理得： BD2=BC2CD2. C 13 D A 所以 X2 22 =(x - 2)2 解得：x=1.5 答：这里水深是 1.5 米 类型二：在两个直角三角形中，分别应用勾股定理列方程. 例 3.如图 3，铁路上 A, B两点相距 25km, C, D为两村庄，DAL AB于

5、A, CBL AB于 B, 已知DA=15km, CB=10km,现在要在铁路 AB上建一个土特产品收购站 E使得 C, D两村到E 站的距离相等，则 E站应建在离 A站多少 km 处? 分析：要求 AE的长度，在 Rt ADE中应用勾股定理，只知道 DA=15km, 不能求.同时 能否分别这两个三角形中都利用勾股定理呢? 发现, 这个图形中有两个直角三角形， 是可以的第!在题图 ADE中,根据勾股定理得： AD2 - AE2 =DE2 ,在 Rt CBE中 ,根据勾股 定理得：CB2 BE2 =CE2，而 DE=CE 从而得到等式 AD2 AE2 = CB2 BE2，列方程问题 解决了. 解

6、：设 ，在 Rt 2 2 AD AE 2 =DE 在 Rt 2 2 CB BE 二 CE2 因为现在要在铁路 AB上建一个土特产品收购站 E,使得C, D两村到E站的距离相等 D 我4 在 Rt CBE中 ,根据勾股定理得： BD2二 AB2 - DA2,得到 BC2 -CD2 =AB2 - DA2 ,未知量 第 4 题图 可用方程的思想求得. 解：因为 AB2 =25, BC2 =144, AC2 =169, 25 144=169 所以 AB2 BC2 二 AC2 ABC 为 RtA，且.B =90 作BD _ AC于D 设 ，则 CD =13-x BD2 =BC2 -CD2 =AB2 -A

7、D2 122 _(13 _x)2 =25 _x2 25 x = 一 13 BD2 二 AB2 - AD2 二25谒 60 13 答：AC边上的高线长为60cm 13 三. 连续求出线段长与连续表示线段的意识 在解题寻找思路方法过程中，同学们往往感觉无所适从，建议你要具有“连续求出线段 长与连续表示线段的意识”，一些题会迎刃而解，感觉题还特别容易. 例 5.如图 5 :在长方形 ABC曲，已知AE=8 cm , BC=10cm,将AD沿直线AF折叠，使点 D落在BC上的点E处，求CF的长. A . D 1 、 分析:不难连续求出线段： AD=AE=10 cm, BE=6 cm, EC=4 cm.

8、连续表示线段：设 CF=x I F cm,则DF=EF= ( 8-x)cm.这时，你就会发现在 Rt ECF中应用勾股定理就解决了. B - - - ! C 解：因为在长方形 ABCD，已知 AB=8 cm , BC=10cm 第 5 题图 所以 DG8 cm ; AD=10 cm 因为将AD沿直线AF折叠 所以 AE= BC=10cm； DF=EF 在 Rt ABE中，应用勾股定理得： BE=6 cm 5 所以EC=4 cm 设 CF=x cm,则 DF=EF= (8-x)cm6 在 Rt ECF中，应用勾股定理得： EC2 CFEF2 即，42 x2 =(8-x)2 解得：x =3 所以C

9、F的长为 3 cm. 例 6.在一棵树的 10 米高处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树 20 米处的池塘的 A 处.另一只爬到树顶 D后直接跃到A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等， 求这棵树高. 股定理可 分B 为x米, :如图 6,根据题意可知：BD+ D/=BO CA=10+ 20=30 米，连续表示线段：设树高 则 BD=( x 10)米，AD=30 BD=30 (x 10)= (40-x)米.在 Rt ACD中应用勾 件.第 6题图 解：如图 6，根据题意可知：B D/=B3 CA=10+ 20=30 米 设树高为 x 米，贝 U AD=30 BD=30 (x 10)

10、= (40 x)米 在 Rt ACD中应用勾股定理得： DC2 CAAD2 即，x2 202 =(40 -x)2 解得：x=15 所以树高为 15 米. 四构造直角三角形应用勾股定理 例 7.如图 7, A、B两个小集镇在河流 CD的同侧，分别到河的距离为 AG10 千米，BD=30 千米，且CD=30 千米，现在要在河边建一自来水厂，向 A、B两镇供水，铺设水管的费用为 每千米 3 万，请你在河流 CD上选择水厂的位置 M使铺设水管的费用最节省，并求出总费 用是多少？ BB 分析：要使铺设水管的费用最节省, 需要使水厂位置到两个小集镇的距离最短， 有轴对 称的知识 C -亠 置，使铺 F R

11、 点关于直线 l 的对称点B，连结AB与I相交于E，则E点为水厂位 最短，费用最节省. 图 7因为品驚 过点A作AE! BD于点F，在 Rt AFB中应用勾股定理求 AB的长即可. AB，还需求出 AB的长，这时，不妨构造直角三角形应用勾股定理, 7 答：如图 7-1，将河流CD抽由象为直线I，在直线I同侧有两个点 A和B,作B点关于直 线 I的对称点B,连结AB与I相交于E,则E点为水厂位置，使铺设水管距离最短，费 用最节省. 理由：事实上，如果是 E点的话，则连结 AE与E B和E B, 由轴对称性知道， E B= E B, EB=E B . 所以E到 A B距离之和 AE +E B=AE +E B 而E到A B距离之和 AEHEBAEF E B =AB . 在厶AB E中，三角形两边之和大于第三边 AE + E B AB . 所以E点为所求的点. 过点A作AE BD于点F,则得到长方形