四年级奥数《高斯求和》答案及解析精品资料

1、高斯求和德国著名数学家高斯幼年时代聪明过人，上学时，有一天老师出了一道题让同学们计算：1 23 499 100？老师出完题后，全班同学都在埋头计算，小高斯却很快算出答案等于么算得又快又准呢？原来小高斯通过细心观察发现：5050。高斯为什1 100 2 99 3 98 4952 5051。1 100 正好可以分成这样的50 对数，每对数的和都相等。于是，小高斯把这道题巧算为（ 1+100）× 100÷2 5050。小高斯使用的这种求和方法， 真是聪明极了， 简单快捷，并且广泛地适用于“等差数列”的求和问题。若干个数排成一列称为数列，数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为首项

2、 ，最后一项称为 末项。后项与前项之差都相等的数列称为等差数列 ，后项与前项之差称为公差 。例如：（ 1） 1， 2， 3， 4， 5， 100；（ 2） 1， 3， 5， 7， 9， 99；（ 3） 8，15， 22， 29， 36， 71。其中（ 1）是首项为1，末项为100，公差为1 的等差数列；（2）是首项为1，末项为99，公差为2 的等差数列；（3）是首项为8，末项为71，公差为 7 的等差数列。由高斯的巧算方法，得到等差数列的求和公式：和=（首项 +末项）×项数÷2。 例 1 1 23 1999？分析与解 ：这串加数1， 2， 3， 1999 是等差数列，首项是

3、1，末项是1999，共有 1999个数。由等差数列求和公式可得原式 =（ 1 1999）× 1999÷ 2 1999000。注意：利用等差数列求和公式之前，一定要判断题目中的各个加数是否构成等差数列。例 2 11 1213 31？分析与解 ：这串加数11，12，13， 31 是等差数列，首项是11，末项是31，共有 31-111 21（项）。原式 =（ 11+31）× 21÷ 2=441。在利用等差数列求和公式时， 有时项数并不是一目了然的， 这时就需要先求出项数。 根据首项、末项、公差的关系，可以得到项数 =（末项 - 首项）÷公差 +1，末

4、项 =首项 +公差×（项数-1 ） 。例 3 3 7 11 99？分析与解 ： 3， 7， 11， 99 是公差为 4 的等差数列，项数 =（ 99 3）÷ 4 1 25，原式 =（ 399）× 25÷ 2 1275。例 4 求首项是 25，公差是 3 的等差数列的前 40 项的和。解：末项 =25 3×（ 40-1 ） 142，和=（ 25 142）× 40÷ 2 3340。利用等差数列求和公式及求项数和末项的公式，可以解决各种与等差数列求和有关的问题。例 5 在下图中，每个最小的等边三角形的面积是12 厘米 2，边长是

5、1 根火柴棍。问：（1）最大三角形的面积是多少平方厘米？（2）整个图形由多少根火柴棍摆成？分析：最大三角形共有8 层，从上往下摆时，每层的小三角形数目及所用火柴数目如下表：由上表看出，各层的小三角形数成等差数列，各层的火柴数也成等差数列。解：（ 1）最大三角形面积为（ 1 35 15）× 12（ 1 15）× 8÷2× 12768（厘米 2）。2）火柴棍的数目为3 69+ +24（ 3 24）× 8÷ 2=108（根）。答：最大三角形的面积是768 厘米2，整个图形由108 根火柴摆成。例 6 盒子里放有三只乒乓球，一位魔术师第一次从

6、盒子里拿出一只球，将它变成3 只球后放回盒子里； 第二次又从盒子里拿出二只球，将每只球各变成3 只球后放回盒子里第十次从盒子里拿出十只球，将每只球各变成3 只球后放回到盒子里。这时盒子里共有多少只乒乓球？分析与解 ：一只球变成3 只球，实际上多了2 只球。第一次多了2 只球，第二次多了2× 2只球第十次多了2× 10 只球。因此拿了十次后，多了2× 1 2× 2 2× 10 2×（ 12 10） 2× 55 110（只）。加上原有的3 只球，盒子里共有球110 3 113（只）。综合列式为：（3-1 ）×（ 1 2

7、 10） 32×（ 1 10）× 10÷ 2 3 113（只）。练习1. 计算下列各题：（ 1） 2 4 6 200；解：项数 =（末项 - 首项）÷公差 +1=（ 200-2 ）÷ 2+1=1和=（首项 +末项）×项数÷2，所以 2 4 6 200=（ 2+200）× 100÷ 2=10100（ 2） 17 19 21 39；解：项数 =（末项 - 首项）÷公差 +1=（ 39-17 ）÷ 2+1=12和=（首项 +末项）×项数÷2，所以 17 19 21 39=

8、（17+39）× 12÷ 2=336（ 3） 5 8 11 14 50；解：项数 =（末项 - 首项）÷公差 +1=（ 50-5 ）÷ 3+1=16和=（首项 +末项）×项数÷2，所以 5 8 11 14 50=（ 5+50）× 16÷ 2=24200（ 4） 3 10 17 24 101。解：项数 =（末项 - 首项）÷公差 +1=（ 101-3 ）÷ 7+1=15和=（首项 +末项）×项数÷2，所以 3 10 17 24 101=（ 3+101）× 15

9、7; 2=7802. 求首项是 5，末项是 93，公差是 4 的等差数列的和。解：项数 =（末项 - 首项）÷公差 +1=（ 93-5 ）÷ 4+1=23所以，和 =（首项 +末项）×项数÷2=（ 5+93）× 23÷ 2=11273. 求首项是 13，公差是 5 的等差数列的前 30 项的和。解：末项 =首项 +公差×（项数 -1 ） =13+5×（ 30-1 ） =158所以，和 =（首项 +末项）×项数÷2=（ 13+158）× 30÷ 2=25654. 时钟在每个整点

10、敲打，敲打的次数等于该钟点数，每半点钟也敲一下。问：时钟一昼夜敲打多少次？解：有题可知， 时钟在每个整点敲打，敲打的次数等于该钟点数，时钟整点敲打的次数构成了首项为1，末项为12，公差为1 的等差数列： 1， 2， 3， 4， 5， 12。那么时钟每小时整点敲打的次数的和=（首项 +末项）×项数÷2=（ 1+12）× 12÷ 2=78；因为每半点钟也敲一下，所以半点钟敲打总次数为12，所以时钟每小时共敲打78+12=90 次；所以时钟一昼夜敲打次数为90× 24=21605. 求 100 以内除以 3 余 2 的所有数的和。解： 100 以内除以 3 余 2 的数有，（ 1× 3+2），（ 2×3+2），（ 3×3+2），（ 32× 3+2）；构成了首项为 5，末项为 98，公差为 3 的等差数列，因为，项数 =（末项 - 首项）÷公差+1=（ 98-5 ）÷ 3+1=32所以，和 =（首项 +末项）×项数÷2=（ 5+98）× 32÷ 2=16486. 在所有的两位数中，十位数比个位数大的数共有多少个？解：十位数比个位数大的数中，十位数为10 的有 1 个： 10；十位数为 2 的有 2 个： 20,21 ；