n阶行列式的定义

1、1一、概念的引入一、概念的引入第三节第三节 阶行列式的定义和性质阶行列式的定义和性质n三阶行列式三阶行列式333231232221131211aaaaaaaaaD 322113312312332211aaaaaaaaa 332112322311312213aaaaaaaaa 说明说明（1）三阶行列式共有三阶行列式共有 项，即项，即 项项6!3（2）每项都是位于不同行不同列的三个元素的每项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积乘积（3）每项的正负号都取决于位于不同行不同列每项的正负号都取决于位于不同行不同列 的三个元素的下标排列的三个元素的下标排列2322113aaa , 211312 t3223

2、11aaa列标排列的逆序数为列标排列的逆序数为 , 101132 t偶排列偶排列奇排列奇排列正号正号 ,负号负号 333231232221131211aaaaaaaaa例如例如列标排列的逆序数为列标排列的逆序数为)123()1(t 332211aaa)231()1(t 312312aaa)312()1(t 322113aaa)321()1(t 312213aaa)213()1(t 332112aaa)132()1(t 322311aaa.) 1(321321321)(iiiii itaaa3二、阶行列式的定义二、阶行列式的定义nnnnnnnppptaaaaaaaaaDaaannnn212222

3、111211212.)1(21 记记作作的的代代数数和和个个元元素素的的乘乘积积取取自自不不同同行行不不同同列列的的阶阶行行列列式式等等于于所所有有个个数数组组成成的的由由定义定义).det(ija简记作简记作的元素的元素称为行列式称为行列式数数)det(ijijaa4为这个排列的逆序数为这个排列的逆序数的一个排列，的一个排列，为自然数为自然数其中其中tnpppn2121 nnnnppppppppptnnnnnnaaaaaaaaaaaaD212121212122221112111 第一定义式：第一定义式：5说明说明1、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方行列式是一种特定的算式，它是根据求解方

4、程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的定义的; ;2 2、 阶行列式是阶行列式是 项的代数和项的代数和; ;n!n3、 阶行列式的每项都是位于不同行、不同阶行列式的每项都是位于不同行、不同列列 个元素的乘积个元素的乘积; ;nn4、 一阶行列式一阶行列式 不要与绝对值记号相混淆不要与绝对值记号相混淆;aa 5、 的符号为的符号为nnpppaaa2121)(211)(npppt 6例题例题例例1 1计算对角行列式计算对角行列式0004003002001000分析分析解解在阶行列式的定义中，行列式的元素在阶行列式的定义中，行列式的元素记作，记号不

5、仅代表一个数，还表明这个记作，记号不仅代表一个数，还表明这个数在行列式中的位置本例中是具体数，不能显示数在行列式中的位置本例中是具体数，不能显示它们在行列式中的位置因此，需要把数在行列式它们在行列式中的位置因此，需要把数在行列式中的位置标示出来中的位置标示出来nijaija,114a ,223a ,332a .441a 从而得到乘积中各元素的列标排列为从而得到乘积中各元素的列标排列为123470004003002001000 432114321 t.24 即行列式中不为零的项为即行列式中不为零的项为.41322314aaaa所以所以 只能等于只能等于 , 1p4同理可得同理可得1, 2, 34

6、32 ppp41 p若若, 011 pa从而这个项为零，从而这个项为零，展开式中项的一般形式是展开式中项的一般形式是43214321ppppaaaa8n 21 .12121nnn ;21n n 21例例 证明证明对角行列式对角行列式9n 21 11,212111nnnnntaaa .12121nnn 证明证明第一式是显然的第一式是显然的, ,下面证第二式下面证第二式. .若记若记,1, iniia 则依行列式定义则依行列式定义11,21nnnaaa 证毕证毕10例例 计算上计算上三角行列式三角行列式nnnnaaaaaa00022211211分析根据行列式的定义，分析根据行列式的定义，展开式中项

7、的一般形式是展开式中项的一般形式是.2121nnpppaaa,npn , 11 npn, 1, 2, 3123 ppnpn所以不为零的项只有所以不为零的项只有.2211nnaaa解解当时当时，npn , 0 nnpa此项等于零，因此此项等于零，因此.npn 对于对于,1 np,1nnpp 当时当时，11 npn, 01, 1 npna从而此项也等于零，因此从而此项也等于零，因此. 11 npn11nnnnaaaaaa00022211211 nnntaaa2211121 .2211nnaaa 同理可得同理可得下三角行列式下三角行列式nnnnnaaaaaaa32122211100000.2211n

8、naaa 12例例?8000650012404321 D443322118000650012404321aaaaD .1608541 133. 3. 行列式的第二种定义行列式的第二种定义 对于行列式展开式的任意一项对于行列式展开式的任意一项其中行标排列其中行标排列 为自然排列，为自然排列，nji1t为列标排列为列标排列njipppp1的逆序数的逆序数，交换交换 与与 的位置得的位置得iipajjpanijnpipjpptaaaa11)1( njinpjpipptaaaa11)1( 这时，这一项的值不变，而行标排列与列标排列同这时，这一项的值不变，而行标排列与列标排列同作了一次相应的对换：作了一

9、次相应的对换：nji1nij1njipppp1nijpppp114 由于行标排列和列标排列都作了一次对换，因此由于行标排列和列标排列都作了一次对换，因此它们逆序数之和的奇偶性没有改变它们逆序数之和的奇偶性没有改变. .,)(,)1(111tpppptsnijtnij 记记则则 和和 的奇偶性相同，从而的奇偶性相同，从而t11ts nijnpipjpptaaaa11)1( nijnpipjpptsaaaa1111)1( 这表明，行列式的展开式中每一项前的符号由行这表明，行列式的展开式中每一项前的符号由行标排列和列标排列的逆序数之和的奇偶性确定标排列和列标排列的逆序数之和的奇偶性确定. .当列当列

10、标排列变为标准排列时，行标排列相应的变为一个标排列变为标准排列时，行标排列相应的变为一个新的排列，设为新的排列，设为 ，其逆序数为，其逆序数为 ，则，则nqqq21s15定理定理2nppptijnaaaaD2121)1()det( 阶行列式也可定义为阶行列式也可定义为n其中其中t为行标排列的为行标排列的 逆序数逆序数.nppp21第二种定义式第二种定义式njinpjpipptaaaa11)1( nqqqsnaaa2121)1( nijnpipjpptsaaaa1111)1( 16练习练习11100101101110010（）11121314152122232425313241425152200

11、0000000aaaaaaaaaaaaaaaa（ ）17四、行列式的性质四、行列式的性质记记行列式行列式TD称为行列式称为行列式D的的转置行列式转置行列式.性质性质1 1 行列式与它的转置行列式相等行列式与它的转置行列式相等. .说明说明 此性质表明，行列式中的行和列具有同等的地此性质表明，行列式中的行和列具有同等的地位，行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立，位，行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立，反之亦然反之亦然. .证明证明,212221212111212222111211nnnnnnTnnnnnnaaaaaaaaaDaaaaaaaaaD 18性质性质2 2 互换行列式的两行（列

12、），行列式变号互换行列式的两行（列），行列式变号. .推论推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则此如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式等于零行列式等于零.证明证明性质性质3 3 证明证明行列式的某一行（列）中所有的元素都乘行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数以同一数 , ,等于用数等于用数 称此行列式称此行列式. .kk性质性质4 4推论推论行列式中如果有两行（列）元素成比例，行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式等于零则此行列式等于零.行列式中某一行（列）的所有元素的公因行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面子可以提到行列式符号的外面. .举例

13、举例19性质性质5 5若行列式的某一行（列）的元素都是两数若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，例如第之和，例如第 列的元素都是两数之和：列的元素都是两数之和：i,)()()(2122222211111211nnnininnniiniiaaaaaaaaaaaaaaaD 则则 等于下列两个行列式之和：等于下列两个行列式之和：D,2122222111121121222221111211nnninnnininnninnniniaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaD 说明说明 此性质表明行列式可以按照某一行（列）分此性质表明行列式可以按照某一行（列）分拆成两个行列式拆成两个行列式. .

14、20性质性质6 6 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列（行）对应的元素上一数然后加到另一列（行）对应的元素上去，行列式的值不变去，行列式的值不变. .例如例如321czbyax以数以数k乘第乘第1列加到第列加到第3列列kzczkybykxax32121五、小结五、小结1 、行列式是一种特定的算式，它是根据求解行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的要而定义的. .2、 阶行列式共有阶行列式共有 项，每项都是位于不同项，每项都是位于不同行、不同列的行、不同

15、列的 个元素的乘积个元素的乘积, ,正负号由下标排正负号由下标排列的逆序数决定列的逆序数决定. .nn!n3、行列式共有行列式共有6 6条性质和两条推论条性质和两条推论. .22思考题思考题已知已知 1211123111211xxxxxf .3的系数求 x, ,23含含 的项有两项的项有两项,即即3x 1211123111211xxxxxf 对应于对应于 4334221112431aaaat 44332211)1234(1aaaat ,1344332211)1234(xaaaat 343342211124321xaaaat . 13 的系数为的系数为故故 x又又24性质性质1 1的证明的证明,

16、212221212111212222111211nnnnnnTnnnnnnaaaaaaaaaDaaaaaaaaaD 记记,2122221112111nnnnnnTbbbbbbbbbDD 则则jiijab ), 2 , 1, 2 , 1(njni nnppptTbbbDD21211)1( 根据定义根据定义nppptnaaa2121)1( D根据第二种定义根据第二种定义返回返回下标不表示在行下标不表示在行列式中的位置列式中的位置25性质性质2 2的证明的证明,212222111211nnnnnnaaaaaaaaaD 对换对换 两行得到两行得到ji,2122221112111nnnnnnbbbbbb

17、bbbD 则当则当 时时，jik, ;kpkpab 当当 时时，jik, ,jpipab .ipjpab 于是于是ij26njinpjpipptbbbbD111)1( njinpipjpptaaaa11)1( ,)1(11nijnpjpipptaaaa 这时，行标排列这时，行标排列 为自然排列，列标排为自然排列，列标排nji1列为列为,1nijpppp而而 为为排列 的 njipppp1t逆序数逆序数，nijpppp1设排列设排列 逆序数为逆序数为 ，则，则1t1D,)1(11nijnpjpipptaaaa ,)1(111nijnpjpipptaaaa .D返回返回272605232112132605 0 以数以数 乘第四行的各乘第四行的各元素加到第一行：元素加到第一行：1260523