椭圆曲线知识点与讲义

1、学习必备欢迎下载圆锥曲线一、知识点讲解一、椭圆：（1）椭圆的定义：平面内与两个定点F1 , F2 的距离的和等于常数（大于 | F1 F2| ）的点的轨迹。其中：两个定点叫做椭圆的焦点，焦点间的距离叫做焦距。注意： 2a | F1F2|表示椭圆； 2a| F1F2| 表示线段 F1 F2 ； 2a| F1 F2 |没有轨迹；（ 2）椭圆的标准方程、图象及几何性质：中心在原点，焦点在x 轴上中心在原点，焦点在y 轴上22y2x2标准方程xy1( ab 0)221(ab0)a 2b 2abyyB 2B 2PF2Px图 形A 1A 1A 2xF1OF2A 2OB 1F1B 1顶 点A1 ( a,0)

2、, A2 (a,0)A1 (b,0), A2 (b,0)B1(0, b), B2 (0, b)B1(0,a), B2 (0, a)对称轴x 轴， y 轴；短轴为2b ，长轴为 2a焦 点F1 ( c,0), F2 (c,0)F1 (0, c), F2 (0,c)焦 距| F1F2 | 2c(c 0)c 2a 2b2离心率ec (0 e 1) （离心率越大，椭圆越扁）a通 径2b2a（过焦点且垂直于对称轴的直线夹在椭圆内的线段）3常用结论：（ 1）椭圆 x 2y21( ab0) 的两个焦点为 F1 , F2 ，过 F1的直线交椭圆于A, B 两点，则a 2b2长 =22F1 , F2 ，过 F1

3、且垂直于对称轴的直线交椭圆于（2）设椭圆 xy1( ab0) 左、右两个焦点为a 2b 2则 P,Q 的坐标分别是|PQ|二、例题讲解。例 1、 已知椭圆的中心在原点，且经过点P 3，0 ， a3b ，求椭圆的标准方程分析： 因椭圆的中心在原点，故其标准方程有两种情况根据题设条件，运用待定系数法，求出参数 a 和 b （或 a 2 和 b2 ）的值，即可求得椭圆的标准方程ABFP, Q2 的周两点，学习必备欢迎下载解： 当焦点在 x 轴上时，设其方程为x2y21 a b0 a2b 2由椭圆过点 P 3，0 ，知 901又 a3b ，代入得 b21，a29 ，故椭圆的方程为x2y21 a2b29

4、当焦点在 y 轴上时，设其方程为y 2x21 a b 0 a2b2由椭圆过点 P 3，0 ，知 901 又 a3b，联立解得 a281，b29 ，故椭圆的方程为y2x21 a2b2819例 2、ABC 的底边 BC16， AC 和 AB 两边上中线长之和为 30，求此三角形重心 G 的轨迹和顶点A的轨迹分析：（ 1）由已知可得GCGB20 ，再利用椭圆定义求解（ 2）由 G 的轨迹方程G 、 A 坐标的关系，利用代入法求A 的轨迹方程解：（ 1 ）以 BC 所在的直线为x 轴， BC 中点为原点建立直角坐标系设G 点坐标为x， y，由GCGB 20，知 G 点的轨迹是以 B 、C 为焦点的椭圆

5、， 且除去轴上两点 因 a 10 ，c8 ，有 b6 ，故其方程为x2y 21001 y 0 36（ 2）设 A x， y ， G x ， y ，则 x 2y 21 y0 10036xx，22由题意有3 代入，得 A 的轨迹方程为xy1 y0 ，其轨迹是椭圆（除去 x 轴上两yy900 3243点）例 3、 已知 P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P 到两焦点的距离分别为4 5和2 5，过 P点作焦33点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程F14525PF1 PF22 5即解： 设两焦点为、 F2 ，且 PF13， PF2从椭圆定义知 2a3a5 从 PF1PF2知 PF2 垂直

6、焦点所在的对称轴，所以在Rt PF2 F1 中， sinPF1F2PF21PF1，2学习必备欢迎下载可求出PF1F2， 2cPF1cos25，从而 b2a 2c2106633所求椭圆方程为x23y21或 3x2y21510105例 4、已知椭圆方程x2y2b 0 ，长轴端点为A1， A2，焦点为 F1 ， F2 ， P 是椭圆上一点，a1 a2b2A1PA2，F1 PF2求：F1PF2 的面积（用 a 、 b 、表示）分析：求面积要结合余弦定理及定义求角的两邻边， 从而利用 S1 ab sin C 求面积2解：如图，设 P x， y ，由椭圆的对称性， 不妨设 P x， y，由椭圆的对称性，

7、不妨设 P2PF12PF22·PF2cos4c2在第一象限由余弦定理知：F1 F22 PF1由椭圆定义知：PF1PF2 2a，则 2 得PF1PF212b2cos故SFPF21 PF1PF2 sin12b2sinb2 tan122 1cos2三、习题讲解。一、选择题。1. 圆6x2+ y2=6的长轴的端点坐标是A.(-1,0) ?(1,0)B.(-6,0) ?(6,0)C.(-6 ,0)?( 6 ,0)D.(0,-6 )?(0, 6 )2. 椭圆 x2+ 8y2=1 的短轴的端点坐标是22A.(0,-4 )、 (0, 4 )B.(-1,0) 、 (1,0)C.(22 ,0)、 (-

8、2 ,0)D.(0,22 )、 (0, 2 2 )3. 椭圆 3x2+2 y2=1的焦点坐标是6666A.(0, 6)、 (0,6 )B.(0,-1) 、 (0,1)C.(-1,0) 、 (1,0)D.(- 6 ,0)、 (6,0)x 2y 214. 椭圆 b 2a 2(a>b>0)的准线方程是ya2ya 2yb2ya2a2b 2a 2b 2a2b2a2b 2A.B.C.D.x 2y 215.椭圆 94的焦点到准线的距离是学习必备欢迎下载4和99和144和1414A. 555B. 555C. 5555555D. 5x 2y 216. 已知F 、F为椭圆 a 2b 2作椭圆的弦 AB

9、，若( a b 0)的两个焦点，过12F 2e3 AF 1B的周长为 16，椭圆离心率2,则椭圆的方程是x 2y 21x 2y21x 2y 2x 2y2A. 4B. 16C. 161D. 1613312437. 离心率为2 ,且过点 (2,0)的椭圆的标准方程是x 2x 2y 2x2 y 21x2x2y2y21y21x21y2A. 4B. 41D. 411或4C.4或 416x 2y 2x 2y2k8. 椭圆 a 2b 21b 2和 a 2(k>0) 具有A. 相同的离心率B.相同的焦点C.相同的顶点D. 相同的长 ?短轴x2y 29. 点A(a,1)在椭圆 421的内部 ,则 a的取值

10、范围是A.- 2 <a<2B. a<-2 或 a>2C.-2< a<2D.-1< a<1x 2y 2110. 设 F是椭圆 a 2b 2的右焦点， P(x,y)是椭圆上一点，则|FP|等于A. ex aB.ex aC.ax eD.a ex二、填空题1. 椭圆的焦点 F 1(0,6),中心到准线的距离等于10,则此椭圆的标准方程是_.x 2y 213y 3 3 0 距离的最大的值是椭圆 942.上的点到直线 2x.x2y 2?F是椭圆 2513.已知 F9的两个焦点 ,AB是过焦点 F的弦 ,若 AB =8,则 F2A +F2B的值是121A.16

11、B.12C.14D.84.若 A点坐标为（1， 1）， F1 是 5x2+9 y2=45 椭圆的左焦点，点 P是椭圆的动点，则|PA|+|PF 1|的最小值是_.学习必备欢迎下载2 ,则 m5.直线 y=1-x交椭圆 mx2+ny 2=1于M， N两点，弦 MN 的中点为 P，若 K OP= 2n _ .6.若椭圆的一个顶点与两个焦点构成等边三角形，则此椭圆的离心率是_.27.已知椭圆的准线方程是 y= 9,离心率为 3 ，则此椭圆的标准方程是 _ .28.到定点（ 1，0）的距离与到定直线 x=8 的距离之比为2 的动点 P的轨迹方程是.2 29. 已 知 椭 圆 x +2 y =2 的 两

12、 个 焦 点 为 F 1 和 F 2 ， B 为 短 轴 的 一 个 端 点 ， 则 BF1 F2 的 外 接 圆 方 程 是_ .22上的一点， P 是椭圆上的动点，当弦AP的长度最大时，则点P的坐标是10. 已知点 A(0， 1) 是椭圆 x +4y=4_.三、简答题。1、 已知动圆 P 过定点 A3，0，且在定圆 B：x 3 2y264 的内部与其相内切，求动圆圆心P 的轨迹方程2、已知椭圆4x2y 21及直线 yxm（ 1）当 m 为何值时，直线与椭圆有公共点？（ 2）若直线被椭圆截得的弦长为2 10 ，求直线的方程5学习必备欢迎下载x2y20 上一点 M 作椭圆，要使所作椭圆的长轴最

13、短，3 以椭圆1 的焦点为焦点， 过直线 l： x y 912 3点 M 应在何处？并求出此时的椭圆方程4 已知长轴为12，短轴长为6，焦点在 x 轴上的椭圆， 过它对的左焦点F1 作倾斜解为的直线交椭圆于A ，B 两点，求弦AB 的长3x2y211 ： D2 ： A3. A4. B5. C6. DD8. A9. A10. D2460213. B7.1.2.21x2y 24214. 62 5.26. 27. 141818.x22 y212 x620 9.x2y 2110. (±3,3 )1、 分析： 关键是根据题意，列出点P 满足的关系式解： 如图所示，设动圆P 和定圆 B 内切于点

14、 M 动点 P 到两定点，学习必备欢迎下载即定点 A3，0 和定圆圆心B 3，0 距离之和恰好等于定圆半径，即 PAPB PM PBBM8点 P 的轨迹是以A ， B 为两焦点，半长轴为4，半短轴长为 b42327 的椭圆的方程：x2y21167说明： 本题是先根据椭圆的定义，判定轨迹是椭圆，然后根据椭圆的标准方程，求轨迹的方程这是求轨迹方程的一种重要思想方法2、解：（ 1）把直线方程y xm 代入椭圆方程4 x2y21得4x2xm 21，即 5x22mxm2 10 2m 245m2116m2200， 解 得5m522（ 2）设直线与椭圆的两个交点的横坐标为x1 ， x2 ，由（ 1）得 x1

15、x22mm215， x1x252m2m21210 解得 m根据弦长公式得： 11240 方程为 yx 555说明： 处理有关直线与椭圆的位置关系问题及有关弦长问题，采用的方法与处理直线和圆的有所区别这里解决直线与椭圆的交点问题，一般考虑判别式；解决弦长问题，一般应用弦长公式用弦长公式，若能合理运用韦达定理（即根与系数的关系），可大大简化运算过程3 分析： 椭圆的焦点容易求出，按照椭圆的定义，本题实际上就是要在已知直线上找一点，使该点到直线同侧的两已知点（即两焦点）的距离之和最小，只须利用对称就可解决x2y2解： 如图所示，椭圆121 的焦点为 F1 3，0 ， F2 3，0 3点 F1 关于直

16、线 l ： xy90 的对称点 F 的坐标为（9， 6），直线 FF 2的方程为 x 2 y30 x 2 y 3 05， 4）此时 MF1MF2解方程组x y9得交点 M 的坐标为（最小0所求椭圆的长轴：2a MF1MF2FF265 ，a 3 5，又c 3， b2a 2c222x2y23536因此，所求椭圆的方程为134536学习必备欢迎下载为 x2y211554 分析： 可以利用弦长公式AB1k 2 x1 x2(1k 2 )( x1 x2 )24 x1x2 求得，也可以利用椭圆定义及余弦定理，还可以利用焦点半径来求解： (法 1)利用直线与椭圆相交的弦长公式求解AB1 k2x1 x2(1k 2 )( x1 x2 ) 24x1x2 因为 a6 ， b3 ，所以 c3 3 因为焦点在 x轴上，所以椭圆方程为x2y21，左焦点 F (3 3 , 0) ，从而直线方程为 y3x 9 369由直线方程与椭圆方程联立得：13 x2723x3680 设 x1 ，x2 为方程两根， 所以 x1x2723，13x1 x236 8， k3 ，从而 AB1 k 2x1x2(1 k 2 )( x1x2 ) 24x1x2 481313(法 2)利用椭圆的定义及余弦定理求解由题意