高中数学讲义微专题10函数零点的个数问题

1、微专题10函数零点的个数问题、知识点讲解与分析:1、零点的定义：一般地，对于函数 y = f X x D ,我们把方程f X =0的实数根X称 为函数y = f X X D的零点2、函数零点存在性定理： 设函数f X在闭区间la,b上连续，且f a f b ： 0，那么在开区间a,b内至少有函数f X的一个零点，即至少有一点x0"a,b ,使得f x0 =0。（1）f X在a,b 上连续是使用零点存在性定理判定零点的前提（2） 零点存在性定理中的几个“不一定”（假设f X连续） 若fa f b ：0,则f X的零点不一定只有一个，可以有多个 若f a f b广0 ,那么f X在la,

2、b 不一定有零点 若f X在a,b 有零点，则f a f b不一定必须异号3、若f X在a, b I上是单调函数且连续，则 f a f b ： 0= f X在a,b的零点唯一4、函数的零点，方程的根，两图像交点之间的联系设函数为y = fx ，贝U f X的零点即为满足方程fx=0的根，若 f x =g x -h x , 则方程可转变为g X = h X ,即方程的根在坐标系中为 g X ,h X 交点的横坐标，其范围和个数可从图像中得到。由此看来，函数的零点，方程的根，两图像的交点这三者各有特点，且能相互转化，在解决有关根的问题以及已知根的个数求参数范围这些问题时要用到这三者的灵活转化。（详

3、见方法技巧）二、方法与技巧：1、零点存在性定理的应用：若一个方程有解但无法直接求出时，可考虑将方程一边构造为一 个函数，从而利用零点存在性定理将零点确定在一个较小的范围内。例如：对于方程t （1 ）In x+x = 0 ,无法直接求出根，构造函数f（x） = nx + x ,由f（1）>Q f. <0即可判定辽丿其零点必在i1,中J2、函数的零点，方程的根，两函数的交点在零点问题中的作用（1）函数的零点：工具：零点存在性定理作用：通过代入特殊值精确计算，将零点圈定在一个较小的范围内。缺点：方法单一，只能判定零点存在而无法判断个数，且能否得到结论与代入的特殊值有关（2）方程的根：工具

4、：方程的等价变形作用：当所给函数不易于分析性质和图像时，可将函数转化为方程，从而利用等式的性质可对方程进行变形，构造出便于分析的函数缺点：能够直接求解的方程种类较少，很多转化后的方程无法用传统方法求出根，也无法判断根的个数（3）两函数的交点：工具：数形结合作用：前两个主要是代数运算与变形，而将方程转化为函数交点，是将抽象的代数运算转变为图形特征，是数形结合的体现。通过图像可清楚的数出交点的个数（即零点，根的个数）或者确定参数的取值范围。缺点：数形结合能否解题，一方面受制于利用方程所构造的函数（故当方程含参时，通常进行参变分离，其目的在于若含X的函数可作出图像，那么因为另外一个只含参数的图像为直

5、线，所以便于观察），另一方面取决于作图的精确度，所以会涉及到一个构造函数的技巧，以及作图时速度与精度的平衡（作图问题详见：1.7函数的图像）3、 在高中阶段主要考察三个方面： （1）零点所在区间零点存在性定理，（2）二次方程根 分布问题，（3）数形结合解决根的个数问题或求参数的值。其中第（ 3）个类型常要用到函数 零点，方程，与图像交点的转化，请通过例题体会如何利用方程构造出函数，进而通过图像解决问题的。三、例题精析：例1：直线y =a与函数y =x3-3X的图象有三个相异的交点，贝U a的取值范围为（）.A. -2,2B. 1 -2,2】C. 2,二D.2】思路：考虑数形结合，先做出y =

6、x' -3x的图像，y =32 一3 =3 X -1 X 1 ,令 y' . 0可解得：x ： -1 或X 1 ,故 y x 3 -x3 在-:：,-1 , 1, ：单调递增，在 -1,1单调递减，函数的极大值为 f -1 =2， 极小值为 f 12，做出草图。而y = a为一条水平线，通过图像可得，y = a介于极大值与极小值之间，则有在三个相异交点。可得：a-2,2答案：A小炼有话说：作图时可先作常系数函数图象，对于含有参数的函数，先分析参数所扮演的角色，然后数形结合，即可求出参数范围。例2:设函数f X = X2 2x -21 n X 1 ,若关于X的方程f X = x2

7、 X a在1.0,2 上恰有两个相异实根，则实数 a的取值范围是思路：方程等价于：X2 2x - 21 n X 1 = x2 x a= a = x -2ln X 1 ,即函数 y = ag X的单调性并作出草图:2g ()=1X -1X 1与g X =x-2In X 1的图像恰有两个交点，分析令g x>0解得：X 1 g X在0,1单调递减， 在（1 ）,单 调 递 增g 1 =1 -21 n2, g 0 =0,g2 =2 -21 n3 ,由图像可得，水平线 y = a 位于 g 1 ,g 2 之间时，恰好与g X有两个不同的交点。.1-21 n2 ：a2-2ln3答案：1 -2ln2

8、: a 乞2 - 21 n3小炼有话说：（1）本题中的方程为 X2 2x -2In X 1 = x2 X a ,在构造函数时，进行了X与a的分离，此法的好处在于一侧函数图像为一条曲线，而含参数的函数图像由于不含X所以为一条水平线，便于上下平移，进行数形结合。由此可得：若关于X的函数易于作出图像，则优先进行参变分离。所以在本题中将方程转变为a = x-2In X 1，构造函数g XiU X-2 In XT并进行数形结合。(2)在作出函数草图时要注意边界值是否能够取到，数形结合时也要注意 a能否取到边界值。"kx + 2 X £ O例3：已知函数f(x)=<, (kR),

9、若函数y=f(x卄k有三个零点，贝U实数kJn x, X >0的取值范围是()A. k 兰 2B. -1vkc0C. _2 兰 kc1D. k 兰 _2思路：函数y= f(xj+k有三个零点，等价于方程f(xj = _k有三个不同实数根，进而等价于f (X )与 y=-k图像有三个不同交点，作出 f(x)的图像，贝U k的正负会导致f(x)图 像不同，且会影响y = -k的位置，所以按k - 0,k ： 0进行分类讨论，然后通过图像求出 k的 范围为k _ -2。-26 -答案：D小炼有话说：(1)本题体现了三类问题之间的联系：即函数的零点 二 方程的根二 函数图象 的交点，运用方程可进

10、行等式的变形进而构造函数进行数形结合，解决这类问题要选择合适的函数，以便于作图，便于求出参数的取值范围为原则。(2)本题所求k在图像中扮演两个角色，一方面决定f X左侧图像直线的倾斜角，另一方面决定水平线的位置与 X轴的关系，所以在作图时要兼顾这两方面，进行数形结合。例4 :已知函数f X满足f X = f 3x ,当X 1,3 , f X = In X,若在区间1,9内,函数g X = f X -ax有三个不同零点，则实数 a的取值范围是()CJ也丄】D（皿也C. 9 ,2e. 9 , 3思路:f3x十,当X 3,9时,所以In x,1： 3f XX,而gxfxx-有三个不同零点：= y=f

11、 X 与y=ax有三I n_ ,3xc9.3个不同交点，如图所示，可得直线y=ax应在图中两条虚线之间， 所以可解得：,9 3eVA八 O1X0y答案：B小炼有话说：本题有以下两个亮点。(1) 如何利用 f X IT X ，已知XE 1,3), f(x )的解析式求XE 3,9),f(X)的解析式。I3丿(2) 参数a的作用为直线y =ax的斜率，故数形结合求出三个交点时a的范围f(x)2心-1,f2)例5 :已知函数f(X)是定义在-：,0上的偶函数，当X 0时，0 ： X 空 2,则函数g(x)=4f(x)-1的零点个数为(X 2D. 10思路：由f X为偶函数可得：只需作出正半轴的图像，

12、再利用对称性作另一半图像即可，当1!竺00,2 1时，可以利用y=2x利用图像变换作出图像，1X 2时，f X f x-2 ,即自变量差2个单位，函 数值折半，进而可作出 2,4 1, 4,6 L的图像，g X* 1 1的零点个数即为f X根的个数，即f X与y 的44交点个数，观察图像在 X 0时，有5个交点，根据对称性可得 X ： 0时，也有5个交点。共计10个交点 答案：D 小炼有话说:1(1) f x =2 f x -2类似函数的周期性，但有一个倍数关系。依然可以考虑利用周期性的思想，在作图时，以一个“周期”图像为基础，其余各部分按照倍数调整图像即可(2) 周期性函数作图时，若函数图像

13、不连续，则要注意每个周期的边界值是属于哪一段周期， 在图像中要准确标出，便于数形结合。(3) 巧妙利用f X的奇偶性，可以简化解题步骤。例如本题中求交点个数时，只需分析正半轴的情况，而负半轴可用对称性解决例6：对于函数f(X ),若在定义域内存在.实数X,满足f(-x)=-f(x),称f(x)为 局部奇函数”，若 f (x )=4x-m2x">m2-3为定义域R上的 局部奇函数”，贝U实数m的取值范围是()A. 1 - . 3 - m -V .3B. 1 -、3 _ m _ 2、2C. -22 乞 m 乞 2、2D. 2 ,2 空 m 空 IiJ3思路：由“局部奇函数”可得：4

14、x - 2m 2x m2 - 3 4-2m 2 m2 -3 = 0 ,整理可2得：4x 4 -2m2x2 2m2-6=0 ,考虑到 4x ,4=2-2 -2,从而可将2x 2"视为整体，方程转化为：22x 2- 2m 2x 2x 2n2 - & Q 利用换元设t=2x+2 (t2),则问题转化为只需让方程 t2 2mt+2m2 8 = 0存在大于等于2的解 即可，故分一个解和两个解来进行分类讨论。设g t = t2-2mt 2m2-8 = 0。(1) 若方程有一个解，则有相切(切点 x=m大于等于2)或相交(其中交点在 X =2两侧),即"=0 或 g 2 <

15、0 ,解得：m=22 或 1 - ,3 < V ,3m 一2j 、.：. 0I 2. 2 ： m ： 2 2(2) 若方程有两解，则 <g(2)30 ,解得：m1+J3,m1-J3= 1+J3mc2J2 ,ImA 2m>2综上所述：1 -、3乞m乞222x 2=视答案：A 小炼有话说：本题借用“局部奇函数”概念，实质为方程的根的问题，在化简时将为整体，进而将原方程进行转化，转化为关于2 2x的二次方程，将问题转化为二次方程根分布问题，进行求解。例7 :已知函数y = f X的图像为R上的一条连续不断的曲线，当X = O时，f X1f X0 ,则关于X的函数g X = f X

16、的零点的个数为()XXA. 0 B . 1C. 2D. 0 或 2I思路：f' X0= -X» 0= Xf X 0,结合g X的零点个数即XXX1为方程f X0 ,结合条件中的不等式，可将方程化为Xf X 1=0 ,可设Xh XiUXf X T ,即只需求出 h X的零点个数，当 X 0时，h x O ,即h X在0, ：上单调递增；同理可得：h X在-:：,0上单调递减，.h Xmih 0=1 ,故h X -h Oi=I 0,所以不存在零点。答案：A小炼有话说：(1) 本题由于f X解析式未知，故无法利用图像解决，所以根据条件考虑构造函数，利用单调性与零点存在性定理进行解决

17、。f f X )(2) 所给不等式f' X0呈现出f X轮流求导的特点，猜想可能是符合导数的乘X(Xf (X )法法则，变形后可得0 ,而g X的零点问题可利用方程进行变形，从而与条件中X的Xf X相联系，从而构造出 h X例&定义域为R的偶函数f X满足对- R,有f X 2 = f X - f 1 ,且当-2,3 1时，f X - -2x2 12x -18,若函数y = f X TOga X 1在0,亠上至少有三个零点, 思路：f x 2 = f x - f 1体现的是间隔2个单位的自变量，其函数值差f 1 ,联想到则a的取值范围是(A.0,纠I 2丿0D.OQI 5丿J

18、6丿周期性，考虑先求出 f 1的值，由f X为偶函数，可令 x = -1 ,得f 1 = f -1 - f 1f1=0f x 2 = f x， f X为周期是 2的周期函数。已知条件中函数y = f(X )1Oga(IXI +1)有三个零点，可将零点问题转化为方程f (x)Ioga ( x +1 )= 0即f (x ) = loga(x+1 )至少有三个根，所以f(x卢y = oga(x+1)有三个交点。先利用f(x)图像可得：a >1 时,不会有3个交点，考虑0 c a c1的图像 。设g()=oga，则y =Iaogx Y(I Tg ),利用图像变换作图，通过观察可得:只需当X =2

19、 时,y oga(+ 1)的图像在f (X)上方即可，即在 2,3 的函数解析式及周期性对称性作图，通过1所以2 3= 0 ： a ：af X =(t(1 一实数t的取值范围是(Ioga 2 1 f 2 =-2= Ioga 3 -2 =Iogaa'答案：B小炼有话说：本题有以下几个亮点:(1) f X的周期性的判定：f X 2 = f X - f 1可猜想与f X周期性有关，可带入特殊值，解出f 1 ,进而判定周期，配合对称性作图(2)在选择出交点的函数时，若要数形结合，则要选择能够做出图像的函数，例如在本题中,f (X )的图像可做，且 y = Ioga (x +1 )可通过图像变换

20、做出已知定义在R上的函数f X满足f 2- -f X ,当x" 1,3】时，x X 1,1 ,其中t 0,若方程3f X =X恰有三个不同的实数根，则x-2 )E(1,31A. 0,3 B.223,2C.D.3,思 路 ： 由 f2=-fx 可 得f X f x 2 = f X ,即f X的周期为4 ,所X解方程可视为y = f X与g X 的交点，而t的作用为3影响y =t（1 - X -2 ）图像直线的斜率，也绝对此段的最值X（ymaX =t ）,先做出y二一的图像，再根据三个交点的条3件作出f X的图像（如图），可发现只要在X =2处，f X的图像高于g X图像且在X = 6处

21、f X的图像低于g X图像即可。所以有f (6) = f (2) = t ： 2f(2)t 舟,即：t ： 2答案：B例10：（2014甘肃天水一中五月考）已知函数 f )sin X l-1,x 瓷0f (x)=<(2丿的图像上log a x(a > 0,a 1 ),x > 0A.0®B.C.徑1】D.0回< 5丿I5丿I3丿< 3丿关于y轴对称的点至少有 3对，则实数a的取值范围是（）思路：考虑设对称点为0,-x0 ,其中x0 0,则问题转化为方程f x0 = f -X0至少有三个解。即（ 一Sin X厂1 =logax有三个根，所以冋题转化为.2 y

22、a 1 1y = sin X厂1的图像，通I 2丿g X =sinX -1与h X =IOgaX有三个交点，先做出I 2丿过观察可知若 y =Ioga X与其有三个交 点，则O ： a ： 1 ,进一步观察图像可得g 5 <h 5 ,则满足题意，所以F 5兀Sin 二 T ：loga55"oga:log a 5 =答案：A三、近年模拟题题目精选：1、已知f （x）是以2为周期的偶函数，当 x 0,1时，f（x） = -.M ,那么在区间（一1,3）内,关于X的方程f（x）=kxk（k R）有4个根，则k的取值范围是（）A- 0 ： k _ 或 k =B461C.0 ：k或 kD

23、4_ 62、（ 2014吉林九校联考二模,0 ： k J40 ： k ： 1416）若直角坐标平面内A,B两点满足条件：点 A）B都在函数f X的图像上；点A）B关于原点对称，则称 A）B是函数f X的一个“姊妹点对”（A）B- 2与B） A可看作同一点对）,则f X的“姊妹点对”X 2X) X ： 0，已知 f (x ) = « 2r*0e个-X) X 兰2)3、( 2015 ,天津)已知函数 f Xi=二2函数gx=b- f2-X ,其中(x-2), x>2,b R,若函数y = f X -g X 恰有4个零点，贝U b的取值范围是（）A.B.C.0,7D.；)24、（20

24、15 ,湖南）已知若存在实数b ,使函数g X = f XI-b有两个零点，贝U a的取值范围是 5、（2014,新课标全国卷I）已知函数f Xi=ax3-3x2 1 ,若f X存在唯一的零点X。,且X00 ,则a的取值范围是（）A. （2,母）B. （1,咼）C.（-o,-2）D.（-o0,T）6、（ 2014 ,山东）已知函数 f （x ）= x2+1,g（x）=kx ,若方程f（x）=g（x）有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是（）B.SI12丿C. 1,2D. 2,：7、(2014,天津)已知函数 f (X )= X2 +3x ,X壬R ,若方程f (Xa X -1 = O恰有4个

25、互异的实数根，则实数 a的取值范围是0,0 CX 兰 18、( 2015,江苏)已知函数f (x)=lnx,g(x)= 2,则方程 f()+g(j=1X - 4 - 2, x 1实根的个数为 9、已知函数f X =ax3 -3x2 1 ,若f X存在唯一的零点x0,且x0 0 ,则a的取值范围是()A. i2,亠B.i 1,亠 j C.- , -2 'D.- ： -, -110、对于函数 f x ,g x ,设 m Cx f X = 0;,n 1xg x = 0 ,若存在 m,n 使得1 X mn 1，则称f (x )与g(x )互为“零点关联函数”，若函数f (x )= log2(x

26、+1)-e 与2g Xi=X -ax-a 3互为“零点关联函数”，则实数a的取值范围是()A. 2,7B. 7,3C.2,3】D. 2,4 11 3311、已知偶函数f(x)满足对任意x R ，均有f (1 x f(3 -x)且f(x)=m(1x ),x = 0,1,若方程3f (X) = X恰有5个实数解，则实数m的取值范围 lx-1,(1,2是.12、 (2016,河南中原第一次联考)已知函数f XiUCOS2x asinx在区间 0,n' jn N内恰有9个零点，则实数a的值为13、( 2014，四川)已知函数 f X = ex - a2 - bx - 1,a,b R,e = 2

27、.71828Il 为自然对数的底数(1)设g X是函数f X的导函数，求函数 g X在区间0,1上的最小值(2)若f 1=0 ,函数f X在区间0,1内有零点，求a的取值范围习题答案：f X的图像，直线f(x)=kk(k R)过定点-1,01、答案：B解析：根据周期性和对称性可作出结合图像可得：若(-1,3)内有四个根，可知k0,-。若直线与f X在2,3相切，联立14方程:Y X 一2 : ky2 - y 3k = 0，令厶=0 可得：k 3 ,当 k 3 时，解得 y = kx k66Xb 2,3 ,综上所述：k。£2、答案：2解析：关于原点对称的两个点为2 2从而X2 - 2X

28、 X ,所以“姊妹点对”的个数为方程e(,y)和(x,y不妨设 xa0，有-,2 一y=(-) -2XX2 -2X = - WX的个数，即曲线e3、答案:-x,X兰2,f2 -2 x,x H0f (x)»2得 f (2 -x) = < 2( -2 ),X A 2,IX ,X £ 0D解析：由X ： 02 2y =x-2X与y X的交点个数，作出图像即可得有两个交点 e2 - X +2,f(x) + f(2-x) = *4-x 2 x,0乞X乞2，2_2_x +(x_2)2,x215.10.551015F 2X x + 2, xc0即 y = f (X) f (2 x)

29、=三2,0 Ex 乞22IX 5x +8, X > 2y = f (x) - g(x) = f (x) f (2 - x) - b ,所以y = f X - g X恰有4个零点等价于方程f(X) f (2 - x) -b =O有4个不同的解，即函数 y =b与函数y = f(X) f (2 - x)的图象的4个公共点，由图象可知 7 ： b ： 2.44、答案：a-,MJ 1,-解析：g X = f X f-b由两个零点，即方程f X = b有两个根，从而y=fx与y = b有两个交点。可在同一直角坐标系下作出y =3,y =2 ,观察图像可得：a ： 0时，水平线与y =x2有两个交点

30、，故符合题意；当 0乞a1时，f X为增函数，所以最多只有一个零点，不符题意；当a 1时，存在水平线与 y =X3, y =X2分别有一个交点，共两个符合题意。综上所述：a三二，0 U 1,:5、答案：C323113解析：ax33x2 1 = O= a3 ,令t ,依题意可知y = a与y = 3tt3应在有唯X XX一交点且位于t 0的区域。设g t =3t -t3 ,所以g' t =3-3t2 =3 1 -t 1 t ,则g t在-1,0 , 0,1单增，在 -：，-1 , 1,= 单减，g 1 =2,g-1 =-2 ,作出图像可知只有 当a ：-2时，y=a与y =3t-t3有唯

31、一交点，且在t 0的区域。6、答案：B解析：方法一：方程 f X =g X有两个不等实根可转化为函数y=fx与y = gx的图像有两个不同交点，其中k为直线的斜率。通过数形结合即 可得到1-,12x-2 +1 = kX中x = 0显然不是方程的解，当x=0时，k =匸21 ,设 h X =XX -2111，x 一2X,则问题转化-1,： 2X方法二：本题还可以先对方程进行变形，再进行数形结合,为y = k与y=h X交点为2个。作出图像后即可观察到k的范围7、答案：0,1 U 9,-所以x = 1时,afX；，即a =4X T +5,令 t = x T ,贝U y Z=a与讨=4t +兰+5X

32、 1t解析：方程为：2+3x=ax-1，x = 1显然不是方程的解,有4个交点即可,数形结合即可得到a 0,1 U作出图像8、答案：4解析：方程等价于 f X gx -_1 ,即f X - -gx 1或f x - -gx -1共多少个<×<1根，y =1 一 g i=2 -1,1 :： X :： 2 ,数形结合可得：f X与y=1_g X有两个交点；2J-X , X K 2-1,0 CXGy = -1 g (X)= <2 -3,1 ex c2 ,同理可得f (x卢y = _1 一 g(X)有两个交点，所以共25 -X ,x 启2计4个9、答案：C32(1 V 313

33、解析：ax-3x2 1=0= a,令t,依题意可知a = -t3 3t只有一个零IX 丿XX点to且to 0 ,即y=a与g-t3 3t只有一个在横轴正半轴的交点。t= -3t2 3可知g t在-：，-1,1：减，在 -1,1增，g -1 = -2作出图像可得只有 a ： -2时，3y =a与g t i； = -t 3t只有一个在横轴正半轴的交点。10、答案：C解析：先从f X = Iog2 X Iiel"入手，可知f X为单增函数，且f 1 =0，所以f X有唯一零点 = 1 ,即m=1 ；所以1-n兰1= 0兰n兰2,即g(x)=2-ax-a + 3在 【0,2】有零点。考虑方程

34、 X2 ax-a 3=0=3x +14=XT2 ,即 y = a 与y =x 1-2在0,2 有公共点即可，数形结合可得:X 112,3 11、答案:Z 83 7415415 8 3 7、）u（，）解析：当m 0时，方程恰有5个解U 方程3m1-X-4)X有两个解且方程23m1 -(x-8) = X无解，考虑这两个方程的判别式可得E 4;由对称性,6 615 48 + 3 J7J5 十 4当m ： 0时，方程恰有5个解的范围是m；所以m的取值范围是6 6(-4 + 15,4+15 8+37 -6 )U(, 6 )12、答案：a = 1由 f (x) = O ,得 c o x 2 a2SKin 即 2 S IXn asxi n设=02g( x> 2 S ixn a SXi, n 令 1t =s Xn, 则 g( x) 2 2匸 .考察tlx (0,2二)的函数g(x)的零点个 数，即如下图所示为t =SinX , X ：=(0,2二)的图象，易知：(1)方程2t2-at-1=0的一个根为1 ,另一个根为(-1,0)时，g(x)在(0,2二)内有三个零点，此时2 1V1=0,