向量的数量积的坐标运算

1、高一数学张亚杰复习旧知识:1 已知两个非零向量亦I厉,它们的夹角为乩则帀方=同” COS0 芯称为向量不与万的数量积（或内积）2擞量积方等于万的长度同与方在万的方向上的投影|Z|cos9的乘积r rr厶在°方向上投影=1 b I cos 3 =3. aLb a不方=0（a2b均不是零向量）5.NbCOS0 =练习题 已知：牙1=4,同=5, NZ = 10, 求：莎与呢勺夹角0.解：设拆与乙的夹角为0,贝I云万 1cose =丽=亍6eOo,18O° 0 =60° .求数量积的两个思路：1.从定义入手（三个数量：向量的模，及夹角）2从代数式运算入手（运算律，及乘法

2、公式）.1：已知?/不共线，向量?+/与2<?-以垂直,£-2以与2<?+以也垂直 求必产的夹角的余弦值LA|A 1（/+舁（北一力）=0,（£一2才）（2£+才）=0|A（4=初S2=-S28刃 或/24=0,口 爲-护710COS 0 n-p- 1iJihlbl冋210单位向量i、/分别与兀轴p轴方向相同，求m丄行=丄y.r=_o_防=1 £=(兀11)/=(兀22)能否推导出乩/的坐标公式?£/= (xj + yj) (xj + y2j)rrr ra (5, 7)、Z? (6, 4)贝| ：a Z? = ?两个向量的数量积等于

3、它们对应坐标的乘积的和，即=xlx2 + yly2rr 2 rI可题提出：若Q =（JV，y）求Q = ?丨Q 1= ?2 2=a q = jt + y I a 1= ya = Jx + y . 快速练习l：o = (3,4)，则：。1= ?快速练习2：iun luu4(1,2)、B(4,-1)贝 1血二？ W?问题提出：LLU1 LLU1已知人（勺 X）、Bg 匕）贝y：AB = ?l AB 1=?UUUAB = （x2-xv y2-y）LUU fI AB I二 J（2 西）2 +（丁2 一 yjl问题引申：A（xP X）、B（x2,儿）则A、B两点之间的距离?I AB 1= y/(x2 X

4、j)2 +(y2 31 )2 下列向量为单位向量的是： r r rA. a = i + j B. a =fr 2 2a=lC. a = （cos 兀，sin x）.r321）设£ =（兀）9 则 I £ |2= L + j 或 I £ 1= J兀 2 +丿2若跆（兀11）"（兀22），贝J I AB l=J（*2 -兀1）2 +（丁2 - 丿1）2即平面内两点间的距薩式COS0= 小勺+兀儿J*： 丁无；+v；2）写出向量夹角公式的坐标式，向量平行和垂直的坐标 表示式.3）两个等价条件a 丄 boab = Oo xtx2 + yty2 = 0S/ o &

5、#163; =泌（力工 6） o xry2 一 x2y1 = 0 练习:a = (1, - 2)么二(1,4).则:a b(a + J?)方向上 的投影？:a b = (2, 6)、q + b = (0,2).(q Z?) (a + b) = 12. ld+Z?l=2.；-7在（；+ 7）方向上的投影二二汕 ® = 6a + b典型例题:与直角坐标系有关的问题，一般要作出图象，帮助问 题的分析与解决.证明：AB = (3-2, 2-1) = (1, 1),AC = (-l-2, 4-1) = (-3, 3), AB - AC=lX(-3)+lX3 = 0, AB丄AC.AABC是直角

6、三角形.思考：如何准确找出垂直的两个向量？例2：已賊=（4,3）力=（一1，2）1）求&尸的夹角2）若（£-満 丄（窈+F），求;I 解：I £l= 5J 犷 1=真= 4x（1） + 3x2 = 22a/scos e =，又 e w o,刃252)-= (4 + 2,3-22), 2+= (7,8)又(一淌丄(龙+侨 /.7(4+2) + 8(3-22) = 0典型例题：r rr r r己知 |q |= 30 =（i,2）,且allb 求a = ? 解：Q；/k且丄（1，2）贝h设；二©20>/2+4尸=3=尸=|.亠±|后则工（也，也.）或（一班,一也）3333练习：rrra = (4,2),求与。垂直的单位向量b = ?角军：设Z?=(加，n), m、 n c R.t 4m + 2n = 0M：L2+h2=1a/5m =52/5n =5a/5m =52/5n =5屛呼,-琴4片典型例题:在AABC中,A（2，_l），B（3,2），C（3，l）