向量公式汇总

1、向量公式汇总平面向量1、向量的加法向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。AB+BC=AC 。a+b=(x+x' ， y+y')。a+0=0+a=a 。向量加法的运算律：交换律： a+b=b+a ；结合律： (a+b)+c=a+(b+c) 。2、向量的减法如果 a、b 是互为相反的向量，那么 a=-b，b=-a，a+b=0. 0 的反向量为 0AB-AC=CB. 即“共同起点，指向被减” a=(x,y) b=(x',y') 则 a-b=(x-x',y-y').3、数乘向量实数和向量 a 的乘积是一个向量，记作 a，且 a = ?a。 当>

2、0 时，a与 a同方向； 当<0 时，a与 a反方向； 当=0时，a=0，方向任意。当 a=0 时，对于任意实数，都有a=0。 注：按定义知，如果a=0，那么=0或 a=0。实数叫做向量 a 的系数，乘数向量a的几何意义就是将表示向量 a 的有向 线段伸长或压缩。当> 1时，表示向量 a的有向线段在原方向(>0)或反方向(<0) 上伸长为原来的 倍；当< 1时，表示向量 a的有向线段在原方向(>0)或反方向(<0) 上缩短为原来的 倍。数与向量的乘法满足下面的运算律结合律： (a)?b=(a?b)=(a?。b) 向量对于数的分配律(第一分配律)： (+

3、)a=a+a. 数对于向量的分配律(第二分配律)： (a+b)= a+b.数乘向量的消去律： 如果实数且0 a=，b那么 a=b。如果 a0且 a=，a那么=。4、向量的的数量积定义：已知两个非零向量 a,b。作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量 a和向量b 的夹角，记作 a,b并规定 0a,b定义：两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量，记作 a?b。若 a、b 不 共线，则 a?b=|a|?|b|?cos a， b；若 a、b 共线，则 a?b=+- a b。向量的数量积的坐标表示： a?b=x?x'+y?y。' 向量的数量积的运算律 a?b=b?a（交换律）；（a）

4、?b=（a?关b）于（ 数乘法的结合律 ）；（a+b）?c=a?c+b?c（分配律）； 向量的数量积的性质 a?a=|a|的平方。ab =a?b=0。|a?b| |a|?。|b| 向量的数量积与实数运算的主要不同点1、向量的数量积不满足结合律，即：（a?b）?c a?（b；?c例） 如：（a?b）2 a2?b。22、向量的数量积不满足消去律，即：由 a?b=a?c （a ，0）推不出 b=c。3、|a?b| |a|?|b|4、由 |a|=|b| ，推不出 a=b 或 a=-b。5、向量的向量积定义：两个向量 a和 b的向量积（外积、叉积）是一个向量，记作 a×b。若 a、 b 不共线

5、，则 a×b 的模是： a×b=|a|?|b|?sina，b；a×b的方向是：垂直 于 a 和 b，且 a、b 和 a×b 按这个次序构成右手系。若 a、b 共线，则 a×b=0。向量的向量积性质：a×b是以 a和 b为边的平行四边形面积。a×a=0 。ab=a×b=0 。向量的向量积运算律a×b=-b ×a；（a）×b=（a×b）=a×（b）；（a+b）×c=a×c+b×c.注：向量没有除法， “向量 AB/向量 CD”是没有意义的。

6、向量的三角形不等式1、a-ba+ba+b； 当且仅当 a、b 反向时，左边取等号； 当且仅当 a、b 同向时，右边取等号。 2、a-ba-ba+b。 当且仅当 a 、b 同向时，左边取等号； 当且仅当 a 、b 反向时，右边取等号。6. 定比分点定比分点公式(向量 P1P=?向量 PP2 )设 P1、P2 是直线上的两点， P 是 l 上不同于 P1、P2 的任意一点。则存在一 个实数 ，使 向量 P1P=?向量 PP2 ，叫做点 P 分有向线段 P1P2 所成的比。若 P1(x1,y1)，P2(x2,y2) ，P(x,y) ，则有OP=(OP1+OP2)(1+)；(定比分点向量公式)x=(x

7、1+ x2)/(1+ ),y=(y1+ y2)/(1+ 。()定比分点坐标公式)我们把上面的式子叫做有向线段 P1P2 的定比分点公式三点共线定理若 OC=OA +OB ,且 +=1则 , A、B、C 三点共线三角形重心判断式在ABC 中，若 GA +GB +GC=O, 则 G 为ABC 的重心编辑本段 向量共线的重要条件若 b 0，则 a/b 的重要条件是存在唯一实数 ，使 a=b。a/b 的重要条件是 xy'-x'y=0 。零向量 0 平行于任何向量。编辑本段 向量垂直的充要条件ab 的充要条件是 a?b=0。a b 的充要条件是 xx'+yy'=0 。零向

8、量 0 垂直于任何向量 .空间向量令 a=(a1,a2,a3),b (b1,b2 ,b3) ，则a b (a1 b1,a2 b2 ,a3 b3 )a ( a1, a2, a3)( R)a b a1b1 a 2b2 a3b3共线向量 ：共线向量亦称平行向量，指空间向量的有向线段所在直线互相平行或重合 .a1 a2 a3a b a1 b1,a 2 b 2,a 3 b 3( R)b1 b2 b3如果三个向量 a,b, c不共面：那么对空间任一向量 P ，存在一个唯一的有序实数组 x、y、z，使 p xa yb zc .推论：设 O、A、B 、C 是不共面的四点，则对空间任一点 P, 都存在唯一的有序

9、实数组x、y、 z 使 OP xOA yOB zOC (这里隐含 x+y+z 1).向量垂直 a b a1b1 a2b 2 a3b3 0。 空间两个向量的夹角公式a ba1b1 a2b2 a3b3cos a,b|a| |b | a12 a22 a32 b12 b22 b32(a(a1,a2,a3)，b (b1,b2,b3)。 空间两点的距离公式 ：d (x2 x1)2 (y2 y1)2 (z2 z1) 2 .利用法向量求点到面的距离 ：如图， 设 n 是平面 的法向量， AB 是平面 的一条射线， 其中 A ，则点 B 到平面|AB n|的距离为 .|n|.异面直线间的距离d |CD n|(l1,l2是两异面直线， 其公垂向量为 n ，C、D分别是 l1, l2上任一点， d为 |n| 1 2 1 2 l1,l2 间的距离 ).B 到平面 的距离d | A