复变函数傅立叶变换PPT学习教案

1、会计学1复变函数傅立叶变换复变函数傅立叶变换. xfsxk, badxsxkxfsF,第1页/共56页第2页/共56页4 在高等数学中学习傅里叶级数时知道，研究周期函数实际上只须研究其中的一个周期内的情况即可, 通常研究在闭区间-T/2,T/2内函数变化的情况. 并非理论上的所有周期函数都可以用傅里叶级数逼近, 而是要满足狄利克雷(Dirichlet)条件, 即在区间-T/2,T/2上第3页/共56页5因此, 任何满足狄氏条件的周期函数 , 可表示为三角级数的形式如下: 1,2,nxdxsinntfT2b1,2,nxdxcosnxfTaxdxfTaTxsinnbxncosaaxf2T2T2T2

2、T2T2TTnTnT0nnn0T）（）（）（其中(7.1)22221 xf第4页/共56页6 ),n(dxexfTCedefTecxfTTnnTTnnxjTnnxjjTnxjnT210112222 而利用三角函数的指数形式可将级数表示为:其中第5页/共56页71|01|1)(tttf如图所示:11otf(t)1第6页/共56页2,2422, )4()(4nnTntftfnn8113T=4f4(t)t现以f(t)为基础构造一周期为T的周期函数fT(t), 令T=4, 则第7页/共56页9), 2, 1, 0()sinc(21sin2141114141)(41)(11122422neejejdte

3、dtetfdtetfTcnnnjjntjntjtjtjTnnnnnnTTn第8页/共56页10则函数在整个实轴连续用不严格的形式就写作所以定义但是因为处是无定义的严格讲函数在函数定义为,xxxsin,)sinc(xxsinlim,xxxsin)xsinc(sincx1010100第9页/共56页11sinc(x)x第10页/共56页12以竖线标在频率图上可将nnnncnTnnnc,22), 2, 1, 0()sinc(21第11页/共56页134,4822, )8()(8nnTntftfnn117T=8f8(t)t第12页/共56页14), 2, 1, 0()sinc(41sin4181118

4、181)(81)(11144822neejejdtedtetfdtetfTcnnnjjntjntjtjtjTnnnnnnTTn第13页/共56页15以竖线标在频率图上再将nnnncnnnnc,482), 2, 1, 0()sinc(41第14页/共56页16以竖线标在频率图上再将nnnncnnnnc,8162), 2, 1, 0()sinc(81第15页/共56页17), 2, 1, 0()sinc(2sin211111)(11122nTTeeTjeTjdteTdtetfTcnnnjjntjntjtjTnnnnnTTn第16页/共56页18当周期当周期T越来越大时越来越大时, 各个各个频率的正

5、弦波的频率间隔频率的正弦波的频率间隔.第17页/共56页19对任何一个非周期函数对任何一个非周期函数f(t)都可以看成是由某个周期都可以看成是由某个周期lim( )( )TTftf t第18页/共56页20Otf(t)OtfT1(t)OtfT2(t)第19页/共56页21,2,d)(1lim)(d)(1)(1jjjj2222nnnnnntTTntTTTTneefTtfeefTtfnTTnnTTn 或两个相邻的点的距离为布在整个数轴上所对应的点便均匀分取一切整数时当可知由公式第20页/共56页22 nntTntTTnTTnnnTTneefeefTtftfjj0jj2222d)(21limd)(1

6、lim)()( 又可写为T2O 1 2 3 n-1nT2T2T2第21页/共56页23tnnnTnnnnTnntTtTnTnnnnTTnnnTTneefTeeftfeefjj0jj0jjd)(21)()()(, 0)(limd)(21lim)(d)(21)(2222 即当令第22页/共56页jj0jj1()( )d2( )lim()()d( )d1( )( )dd2nnntnTnnnnntfeef tf tfee 由最后得24此公式称为函数f(t)的傅里叶积分公式, 简称傅氏积分公式,而等号右端的积分式称为 的傅里叶积分(简称傅氏积分).( )f t第23页/共56页 若函数 在任何有限区间上

7、满足狄氏条件（即函数在任何有限区间上满足：(1）连续或只有有限个第一类间断点；(2) 至多有有限个极值点）,并且在 上绝对可积，则有： ( )f t, dedeftjj)(21( )(0)(0)2f ttf tf tt 为连续点 为间断点收敛绝对可积是指的在td| )t (f|),(第24页/共56页dd)t (cos)(f)t (f,d)t (sin)(fdd)t (sin)(fjd)t (cos)(fdde )(fdede )(f)t (f)t(jtjj21212121的奇函数是因26第25页/共56页270( )cos(),1( )( )cos()dd(1.5)21( )( )cos()

8、dd(1.6)ftdf tftf tft是 的偶函数从得最后这个式子就是傅里叶积分的三角形式第26页/共56页也叫做 的傅氏积分表达式 如果函数 满足傅里叶积分定理,由傅里叶积分公式,设( )( )j tFf t edt1( )( ) 2jtf tFed ( )f t叫做( )f t的傅氏变换,象函数,可记做 = ( )F叫做( )F的傅氏逆变换,象原函数,( )f t( )ft=1( )F( )F( )f t1( )( ) 2jtf tFed zf第27页/共56页( )( )j tFf t edt1( )00tcf tctc解022 sin0 20ccjtjtcedtedtcc 第28页/

9、共56页()0()022( )( )101j tjttj tj tFf t edtedteedtejjj 0t0( ) (0)t0tf te 这个指数衰减函数是工程技术中常遇到的一个函数 tf(t)第29页/共56页2222222222011( )( )221(cossin)21cossinsincos21cossinj tj tjf tFededjtjt dttttdjdttd (00)(00)10, 22fft 若 上式右端为22000cossin020ttttdtet于是第30页/共56页 在物理和工程技术中,除了用到指数衰减函数外,还常常会碰到单位脉冲函数.因为在许多物理现象中,除了有

10、连续分布的物理量外,还会有集中在一点的量（点源）,或者具有脉冲性质的量.例如瞬间作用的冲击力,电脉冲等.在电学中,我们要研究线性电路受具有脉冲性质的电势作用后所产生的电流；在力学中,要研究机械系统受冲击力作用后的运动情况等.研究这类问题就会产生我们要介绍的脉冲函数.有了这种函数,对于许多集中在一点或一瞬间的量,例如点电荷、点热源、集中于一点的质量以及脉冲技术中的非常狭窄的脉冲等,就能够像处理连续分布的量那样,用统一的方式来加以解决. 第31页/共56页( )0 (0)tt ( )1t dt 第32页/共56页1函数用一个长度等于1的有向线段来表示,如下图 ot( ) t0()tt 定义为满足下

11、列条件的函数00(1) ()0 (0)ttt 0(2)()1tt dt 如下图1t0()tto0t第33页/共56页（1）对任意的连续函数( )f t,都有 ( ) ( )=0 t f t dt f ( ) t( )f t( ) t 0f 00() ( )ttf t dtf t 0()tt( )f t 0()tt 0f t（2）函数为偶函数,即( ) t()( )tt 第34页/共56页（3）( )tt dt u t其中, 0001)(tttu称为单位阶跃函数.反之,有 )(tudtd t.Otu(t)第35页/共56页由于 ( )F= t( )j tt edt10jtet可见, t=1, -

12、11= t. 与常数1构成了一个傅氏变换对,即 t与 也构成了一个傅氏变换对,即0tt0tje0tt0j te 1t 第36页/共56页例例4 4 可以证明单位阶跃函数 0001)(tttu的傅氏变换为 ( )F1( )j 01 1sin()2tutd u t的积分表达式为 u t1( )j O|F()|第37页/共56页例5 证明( )1f t 的傅氏变换为( )2( )F 证明( )f t=1( )F11( )2( )2210j tj tjtFedede 所以2( )1 第38页/共56页例例6 6 求正弦函数0( )sinf tt的傅氏变换 可以证明000sin()()tj = 000c

13、os()()t = 00O|F()|tsint第39页/共56页1212( )( )( )( )f tf tFF11212( )( )( )( )FFf tf t1 1 线性性质线性性质 =2( )F2( )f t, 设为常数则=1( )F1( )f t 这一讲介绍傅氏变换的几个重要性质, 为了叙述方便起见, 假定在这些性质中, 凡是需要求傅氏变换的函数都满足傅氏积分定理中的条件, 在证明这些性质时, 不再重述这些条件.第40页/共56页若=( )F( )f t则以t为自变量的函数 ( )F t的象函数为2 f 即 ( )2F tf11( )2fF t3 相似性质 ( )F=( )f t若0a

14、 则()f ataFa11()()Fa f ata第41页/共56页若=( )F( )f t0t为实常数,则 00()( )j tf t teF 010( )()j teFf t t（1）象原函数的平移性质第42页/共56页例例7 求 0()u tt1( )( )( )u tFj 解 因为 所以0()u tt000001( )( )1( )1( )jtjtjtjtjteFejeejej 第43页/共56页若=( )F( )f t0为实常数,则 00()()j tef tF 010()()j tFf t e 第44页/共56页例8 已知12( )1 求1(1) 解101( )( )12f t 0

15、11(1)( )2jtjtf t ee 显然2(1)jte 一般地002()jte 002()jte 第45页/共56页且 则若=( )F( )f tlim( )0tf t( )( )f tj F一般地,若( )lim( )0ktft( )( )( )nnftjF 0,1,2,1kn则( )( )f tj F（1）象原函数的微分性质第46页/共56页例9 证明( )1t证明 因为所以( ) tj( ) tj( ) tj一般地( )( )nntj 第47页/共56页若=( )F( )f t( )dFjd 则( )tf t或( )( )dtf tjFd例10 已知1( )( )u tj 求( )tu t解221( )( )( )11( )( )ddtu tjFjddjjjj 第48页/共56页( )f t若=( )F1( )( )tfdFj则在这里 必须满足傅氏积分存在定理的条件,若不满足,则这个广义积分应改为 ( )tfd1( )( )(0) ( )tfdFFj 第49页/共56页第50页/共56页( )F( )f t( )()FF( )f t可以证明,频谱为偶函数,即( )F第51页/共56页532sinc| )(