多元函数微分习题课PPT学习教案

1、会计学1多元函数微分习题课多元函数微分习题课第1页/共31页1. 多元函数概念3.多元函数的连续性2. 多元函数的极限 判断二重极限不存在的方法1) 函数连续在0)(PPf)()(lim00PfPfPP2) 闭域上的多元连续函数的性质:有界定理 ;最值定理 ; 介值定理3) 一切多元初等函数在定义区域内连续 求极限的方法第2页/共31页1. 偏导数的定义、几何意义及计算3.复合函数求导的链式法则（分析复合结构）2. 全微分的定义与计算， 函数连续、可导与可微之间的关系（链接）4.隐函数求导方法（方程和方程组确定的隐函数求导）方法1. 利用复合函数求导法则直接计算 ;方法2. 利用全微分形式不变

2、性 ;方法3. 代公式高阶偏导数复合函数求高阶导数第3页/共31页多元函数连续、可导、可微的关系（链接）函数可导函数可微偏导数连续函数连续第4页/共31页1.在几何中的应用求曲线在切线及法平面(关键: 抓住切向量) 求曲面的切平面及法线 (关键: 抓住法向量) 3. 极值与最值问题 非条件极值的求法条件极值的求法 (消元法, 拉格朗日乘数法) 2. 方向导数coscoscosfffflxyz梯度grad,ffffxyz第5页/共31页求出 的表达式. ),(yxf解 令,yxu),(vuf)(uvu即)(),(xyxyxf,)0,(xxf) 1(),(yxyxf, )(),(22yxyxyxy

3、xf,)0(xxf，）（）（vuyvux2121,则xx )(且,yxv)()()(241241uvuvu例1. 已知第6页/共31页222202011(1) lim(2) lim(3)limxxxyxxxyyyxyxyxxyxy 1 1 （1+1+）（）例2 求下列二重极限：22(1) limxxyxyx 1 1 （1 1+ +）解：2limxxyxxyx 1 1（1 1+ +）e 1e 222(2) limxxyxyxy （）22221002xxxyxy （）（ ）0 000011(3)limlim()(11)xxyyxyxyxyxyxy 00limxyxyxy 第7页/共31页如下解法是

4、否正确？如下解法是否正确？思考：求极限思考：求极限, ,0 00 0yxxyyx lim);)11(lim(0111limlim000000 xyxyyxxyyxyxyx法法一一：; 00lim00limlimlimlim000000 xxxyxxyyxxyxxyxyx法法三三：法二: 令, xky 01lim0kkxx原式222000()limlim1xxyxxxyxxxxyxxx 极限不存在第8页/共31页00000000( , )41( , )(,)2( , )(,)3( , )(,)4( , )(,)f x yf x yxyf x yxyf x yxyf x yxy例例3 3 考考虑虑

5、二二元元函函数数的的下下面面 条条性性质质：（ ）在在点点处处连连续续；（ ）在在点点处处的的两两个个偏偏导导数数连连续续；（ ）在在点点处处可可微微；（ ）在在点点处处的的两两个个偏偏导导数数存存在在. .).4()1()3)();1()4()3)();1()2()3)();1()3()2)(,DCBAQPQP则则有有（）推推出出性性质质表表示示可可由由性性质质若若用用).( ; A答答案案第9页/共31页解2222( , )(0,0)limsin()x yxyxyxy 0 ),0 , 0(f (1)2222( , )(0,0)sin()limx yxyxyxy )0 , 0(xfxfxfx

6、 )0 , 0()0 ,(lim0000lim0 xx (0,0)0yf (2)2222sin(), ( , )(0,0)( , )0,( , )(0,0)xyxyx yxyf x yx y 例4 判断函数(0,0)在在点点是是否否连连续续，可可导导，可可微微？第10页/共31页(3)222222( , )(0,0)sin()() )()()lim()()x yx yxyxyxy 0(0,0)(0,0)limxyzfxfy 222222( , )(0,0)sin()() )lim()()()()x yx yxyxyxy 2222001limlim2()()()()xxyxx yxxyxx 由(

7、0,0)(0,0)( )xyzfxfy 所以不可微第11页/共31页2( , , ),(, )0,sin,(,)0,.yuf x y zxezyxdufzdx 设设具具有有一一阶阶连连续续偏偏导导数数 ， 且且求求例5解,dxdzzfdxdyyfxfdxdu ,cos xdxdy 显然显然,dxdz求求得得求求导导数数两两边边对对的的情情形形视视为为方方程程组组及及对对,sin0),(2xxyzexy ,02321 dxdzdxdyexy 于是可得,),cos2(12sin13 xexdxdzx.)cos2(1cos2sin13zfxexyfxxfdxdux 故故第12页/共31页(1,1)(

8、1,1)3( ,)(1,1)(1,1)1,2,3, ( )( ,( ,),( )1.zf x yfffxf x f x xxydxxdx 例例6 6 设设函函数数在在点点处处可可微微，求求 .51)()(3)()(3)(, 1) 1 , 1 ()1 , 1 (, 1 () 1 (1321223 xyxxdxdffffxxxxdxdfff 答案第13页/共31页( , , )( , ).xyzuf x y zzz x yxeyezedu 例例6 6 设设函函数数有有连连续续的的偏偏导导数数，且且由由方方程程所所确确定定，求求dzfdyfdxfduzyx 解解法法一一：,1111dyezydxez

9、xdzzyzx 则则dyezyffdxezxffdzfdyfdxfduzyzyzxzxzyx)11()11( ,11,11,),(zyzyzxzxzyxezyFFyzezxFFxzzeyexezyxF 则则设设dyyzdxxzdz 而而第14页/共31页0, 0 dzzedzedyyedyedxxedxezeyexedzfdyfdxfduzzyyxxzyxzyx两两边边微微分分得得由由解解法法二二：zyxezdyeydxexdz)1()1()1( dyezyffdxezxffdzfdyfdxfduzyzyzxzxzyx)11()11( 第15页/共31页),(zyxfu 有二阶连续偏导数, 且

10、,sin2txz , )ln(yxt求.,2yxuxu解:uzyxtxyxxu1f(3 ftxsin2tx cos2)yxu2 12f(13 ftx cos2) 32f 33f)1cos(2yxtx)cossin2(2yxtxtx 3fyxtx1cos222)( yxxyxt1sin)(yx 1cos tyx 1yx 1例7第16页/共31页2()().A=xay iyjxya 为为某某具具有有二二阶阶连连续续偏偏导导数数的的二二元元函函数数的的梯梯例例8 8度度 求求知知？ 已已 解:2()A=( , )()xay iyjzx yxy 设设为为二二元元函函数数的的梯梯度度22,()()zxa

11、yzyxxyyxy2233(2)2,()()zaxayzyx yxyy xxy ( , )zx y 由由二二阶阶偏偏导导数数连连续续，2a 22zzx yy x 第17页/共31页(0,0)( ,)0 0(0,0)3,(0,0)1,3;()( ,)(0,0,(0,0)3 1 1( ,)()(0,0,(0,0)1 0 30( ,)()(0,0,(0,0)3 00 xyf x yffAdzdxdyBzf x yfzf x yCfyzf x yDfy 例例9 9 设设函函数数在在（ ，）附附近近有有定定义义，且且则则（）（ ）曲曲面面在在点点的的法法向向量量为为， ，；曲曲线线在在点点的的切切向向量

12、量为为 ， ；曲曲线线在在点点的的切切向向量量为为，1.，).(C答答案案：第18页/共31页例例 1 11 1 在第一卦限内作椭球面在第一卦限内作椭球面 1222222 czbyax的切的切平面，使切平面与三个坐标面所围成的四面体体积最平面，使切平面与三个坐标面所围成的四面体体积最小，求切点坐标小，求切点坐标及最小体积及最小体积. 解设设),(000zyxP为为椭椭球球面面上上一一点点,令令1),(222222 czbyaxzyxF,则则202|axFPx ， 202|byFPy ， 202|czFPz 过过),(000zyxP的切平面方程为的切平面方程为 )(020 xxax )(020y

13、yby0)(020 zzcz,第19页/共31页该该切切平平面面在在三三个个轴轴上上的的截截距距各各为为 02xax ，02yby ，02zcz ,所围四面体的体积所围四面体的体积 000222661zyxcbaxyzV , 在条件在条件1220220220 czbyax下求下求 的最小值的最小值,0002226zyxcbaV 第20页/共31页2222221.xyzuxyzabc等等价价于于在在下下求求的的最最大大值值222222( , , , )1xyzL x y zxyzabc构构造造拉拉格格朗朗日日函函22222222220; (1) 20; (2) 20; (3) 10, (4) x

14、LyzxayLxzybzLxyzbxyzLabc 第21页/共31页当当切切点点坐坐标标为为(3a，3b，3c)时时,四面体的体积最小四面体的体积最小abcV23min .可得30ax 30by ，30cz 第22页/共31页 22( , )22,(1,1)2.( , )( , )14zf x yzxdxydyfzf x yyDx y x 例例10 10 已已知知函函数数的的全全微微分分d d且且求求在在椭椭圆圆域域上上的的最最大大值值和和最最小小值值. .解：.先先求求函函数数22,zxdxydyd d2 ,2zzxyxy 从从而而( , )f x y 2dxxx xzd 2( )xy zy

15、 2()()xyy ( )y 2y 所所以以2( )yyC 22( , )f x yxyC第23页/共31页由由(1,1)2f 2C 22( , )2zf x yxyD( (2 2) ) 先先求求 内内的的驻驻点点. .解解方方程程组组( , )20( , )20 xyfx yxfx yy (0,0)唯唯一一驻驻点点(0,0)2f 22( , )1114yDx y xx 在在 的的边边界界( () )上上利用拉格朗日乘数法可知(0,2)(0, 2)2,(1,0)( 1,0)3ffff 比较得maxmin(0,2)(0, 2)2,(1,0)( 1,0)3ffffff 第24页/共31页已知平面上

16、两定点 A( 1 , 3 ), B( 4 , 2 ),试在椭圆圆周上求一点 C, 使ABC 面积 S最大.解答提示:CBAoyxED设 C 点坐标为 (x , y), 21031013yxkji)103, 0,0(21yx)0, 0(14922yxyx则 ACABS2110321yx例11第25页/共31页设拉格朗日函数解方程组得驻点对应最大面积而比较可知, 点 C 与 E 重合时, 三角形面积最大.)491 ()103(222yxyxF092)103(2xyx042)103(6yyx049122yx646. 1S,54,53yx,5 . 3,2CDSS（唯一驻点）第26页/共31页1. 设函数 f 二阶连续可微, 求下列函数的二阶偏导数.2yxz),()3()()2()() 1 (222xyxfzxyxfzxyfxz第27页/共31页: )() 1 (2xyfxz : )()2(2xyxfzxyxyfxyz2)(2xyfyz2 fxyxyfxy )1(222