复合函数求导法则PPT学习教案

1、会计学1复合函数求导法则复合函数求导法则 情形一情形一: 中间变量为多元函数中间变量为多元函数),(),(yxyxfz 如如果果),(yxu 及及),(yxv 都都在在点点),(yx具具有有对对x和和y的的偏偏导导数数，且且函函数数),(vufz 在在对对应应点点),(vu具具有有连连续续偏偏导导数数，则则复复合合函函数数),(),(yxyxfz 在在对对应应点点),(yx的的两两个个偏偏导导数数存存在在，且且可可用用下下列列公公式式计计算算 xvvzxuuzxz ， yvvzyuuzyz . 第1页/共35页uvxzy链式法则如图示链式法则如图示 xz uzxu vz,xv yz uzyu

2、vz.yv 第2页/共35页解解 xz uzxu vzxv 1cossin veyveuu),cossin(vvyeu yz uzyu vzyv 1cossin vexveuu).cossin(vvxeu第3页/共35页22 sin(3 )().xyzzzxyxy例2 ,求和(,),.xzzf xyfyxy例3 z可微,求和第4页/共35页 类类似似地地再再推推广广，设设),(yxu 、),(yxv 、),(yxww 都都在在点点),(yx具具有有对对x和和y的的偏偏导导数数，复复合合函函数数),(),(),(yxwyxyxfz 在在对对应应点点),(yx两两个个偏偏导导数数存存在在，且且可可

3、用用下下列列公公式式计计算算 xwwzxvvzxuuzxz , ywwzyvvzyuuzyz .zwvuyx第5页/共35页证证),()(tttu 则则);()(tttv 定定理理如如果果函函数数)(tu 及及)(tv 都都在在点点t可可导导，函函数数),(vufz 在在对对应应点点),(vu具具有有连连续续偏偏导导数数，则则复复合合函函数数)(),(ttfz 在在对对应应点点t可可导导，且且其其导导数数可可用用下下列列公公式式计计算算： dtdvvzdtduuzdtdz ，获得增量获得增量设设tt 第6页/共35页由由于于函函数数),(vufz 在在点点),(vu有有连连续续偏偏导导数数,2

4、1vuvvzuuzz 当当0 u，0 v时，时，01 ，02 tvtutvvztuuztz 21 当当0 t时，时， 0 u，0 v,dtdutu ,dtdvtv 第7页/共35页.lim0dtdvvzdtduuztzdtdzt 定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况.如如dtdwwzdtdvvzdtduuzdtdz uvwtz以上公式中的导数以上公式中的导数 称为称为dtdz第8页/共35页解解tzdtdvvzdtduuzdtdz ttuvetcossin ttetettcossincos .cos)sin(costttet 第9页/共35页22(,

5、),.xdzz f x efdx例5 =可微,求第10页/共35页zfuuuxzfuf dvvuyv dy( , ),( , ),( ),zf u v uu x y vv y则第11页/共35页特别一特别一:),(yxufz ),(yxu 即即,),(yxyxfz ,xfxuufxz .yfyuufyz 令令,xv , yw 其其中中, 1 xv, 0 xw, 0 yv. 1 yw把把复复合合函函数数,),(yxyxfz 中中的的y看看作作不不变变而而对对x的的偏偏导导数数把把),(yxufz 中中的的u及及y看看作作不不变变而而对对x的的偏偏导导数数两者的区两者的区别别区别类区别类似似第12

6、页/共35页:( ),( , ),zf u ux yzdfuxdux特别二则sin.xzzzyxy例6 ,求和第13页/共35页解解令令, zyxu ;xyzv 记记,),(1uvuff ,),(212vuvuff 同理有同理有,2f ,11f .22f xwxvvfxuuf ;21fyzf 第14页/共35页 zxw2)(21fyzfz ;221zfyzf yzf zf1zvvfzuuf 11;1211fxyf zf2zvvfzuuf 22;2221fxyf 于是于是 zxw21211fxyf 2f y )(2221fxyfyz .)(22221211f yf zxyfzxyf 第15页/共

7、35页小结：（多元复合函数求偏导数小结：（多元复合函数求偏导数链式链式法则，应注意以下几点）法则，应注意以下几点）（1）先要搞清复合关系，哪些是自变量，哪些）先要搞清复合关系，哪些是自变量，哪些是中间变量，要画结构图；是中间变量，要画结构图；（2）对某个自变量求偏导数时，要经过一切与）对某个自变量求偏导数时，要经过一切与其有关的中间变量，最后归结到该自变量。其有关的中间变量，最后归结到该自变量。（3）求抽象函数的二阶偏导数时要注意，对一）求抽象函数的二阶偏导数时要注意，对一切一阶偏导数来说其结构图仍与原来函数的结切一阶偏导数来说其结构图仍与原来函数的结构图相同。构图相同。第16页/共35页22

8、(2)(,),.例2求zzzzy f xy x yfCxyx y 2222(2)21(,),.xzzzf xyfCyxx y 例 设求第17页/共35页222222( )( ),.xyuyfxgfgyxuuuuxyxx yxx y 例3设其中 、 具有二阶导数求及注意注意：., ),(21变量和相同的自变量变量和相同的自变量具有相同的中间具有相同的中间它们与它们与均仍然是多元复合函数均仍然是多元复合函数、或或、其偏导数其偏导数对抽象函数对抽象函数fffffvufvu 第18页/共35页解解令令, zyxu ;xyzv 记记,),(1uvuff ,),(212vuvuff 同理有同理有,2f ,

9、11f .22f xwxvvfxuuf ;21fyzf 第19页/共35页 zxw2)(21fyzfz ;221zfyzf yzf zf1zvvfzuuf 11;1211fxyf zf2zvvfzuuf 22;2221fxyf 于是于是 zxw21211fxyf 2f y )(2221fxyfyz .)(22221211f yf zxyfzxyf 第20页/共35页设设函函数数),(vufz 具具有有连连续续偏偏导导数数，则则有有全全微微分分vvzuuzzddd ; 当当),(yxu 、),(yxv 时时， 有有yyzxxzzddd . yyzxxzzddd .ddvvzuuz 全微分形式不变

10、性的实质：全微分形式不变性的实质： 无论无论z是自变量是自变量u、v 的函数或中间变量的函数或中间变量u、v 的的函数，它的全微分形式是一样的函数，它的全微分形式是一样的.第21页/共35页xxvvzxuuzd yyzxxzzddd yyvvzyuuzd yyuxxuuzdd yyvxxvvzdduuzd .dvvz 第22页/共35页补充补充: :全微分形式不变性全微分形式不变性 无论无论 是自变量是自变量 的函数或中间变量的函数或中间变量 的函数，它的全微分形式是一样的的函数，它的全微分形式是一样的.zvu、vu、,.yz33xyx例如设z=f(x,x +y ,e ),求z第23页/共35

11、页( , , ),( , ),( , ),( ),.uf x y z zg x yyh x tdutxdx例5 设求2,.yztxzuuue dtxy例6 已知求和第24页/共35页 3,1,1,1,11(1,1)2,(1,1)3,( ,( , ).( )1.zf x yfffxf x f x xxydx xdx例7 设函数在点处可微 且求222222( )( ),.xyuuuyfxgyxxx yuuxyxx y 例8 设求及第25页/共35页链式法则链式法则（分三种情况）（分三种情况）（特别要注意课中所讲的特殊情况（特别要注意课中所讲的特殊情况;在计在计算过程中要结合结构图！）算过程中要结合

12、结构图！）第26页/共35页设设),(xvufz ，而而)(xu ，)(xv ，则则xfdxdvvfdxduufdxdz ，试试问问dxdz与与xf 是是否否相相同同？为为什什么么？思考题思考题第27页/共35页答：答：不相同不相同.等等式式左左端端的的z是是作作为为一一个个自自变变量量x的的函函数数，而而等等式式右右端端最最后后一一项项f是是作作为为xvu,的的三三元元函函数数， 写出来为写出来为 xxvuxdxduufdxdz),(.),(),(xvuxxvuxfdxdvvf 第28页/共35页一、填空题一、填空题: : 1 1、设、设xyyxzcoscos , ,则则 xz_； yz_.

13、 .2 2、 设设22)23ln(yyxxz , ,则则 xz_； yz_._. 3 3、设、设32sinttez , ,则则 dtdz_._.二二、设设uvuez , ,而而xyvyxu ,22，求求yzxz , . .练练 习习 题题第29页/共35页三、设三、设)arctan(xyz , ,而而xey , ,求求dxdz. .四、设四、设),(22xyeyxfz ( (其其具具中中f有一阶连续偏导有一阶连续偏导 数数) ), ,求求yzxz ,. .五、设五、设)(xyzxyxfu ,(,(其其具具中中f有一阶连续偏导有一阶连续偏导 数数),),求求.,zuyuxu 六、设六、设),(y

14、xxfz ,(,(其其具具中中f有二阶连续偏导数有二阶连续偏导数),),求求 22222,yzyxzxz . .第30页/共35页七、设七、设,)(22yxfyz 其中为可导函数其中为可导函数, , 验证验证: :211yzyzyxzx . .八、设八、设 ,),(其中其中yyxxz 具有二阶导数具有二阶导数, ,求求 .,2222yzxz 第31页/共35页一、一、1 1、xyyyyxxxyxxxy222cos)cossin(cos,cos)sin(coscos ； 2 2、,)23(3)23ln(2222yyxxyxyx 2232)23(2)23ln(2yyxxyxyx ； 3 3、.)43(1)41(3232ttt 二、二、,)(22222222yxxyeyyxyxyxxz )(22222)(22yxxyeyxxyxyyz . .练习