勾股定理分享资料

1、北大清华等名校生、一线名师真人在线互动家教平台 初中数学初中数学 勾股定理勾股定理北京师范大学北京师范大学 田开兰田开兰【重点难点【重点难点 考点】考点】学习目标学习目标1.理解勾股定理的内容，已知直角三角形的两边，会运用勾股定理求第三边.2.勾股定理的应用.3.会运用勾股定理的逆定理，判断直角三角形.重点：重点：掌握勾股定理及其逆定理.难点：难点：理解勾股定理及其逆定理的应用.考考点：点：勾股定理勾股定理 勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理 勾股定理的应用勾股定理的应用22021/3/29【知识架构】【知识架构】32021/3/29【考点一】勾股定理【考点一】勾股定理一）勾股定理的推导一）勾股

2、定理的推导法一：面积证法：法一：面积证法： SA+SB=SC结论：结论：两条直角边上的正方形面积之和等于 斜边上的正方形的面积ABC图图1-1 相传相传2500年前，毕达哥拉斯有一次在朋友家里做客时，发年前，毕达哥拉斯有一次在朋友家里做客时，发现朋友家用砖铺成的地面中反映了直角三角形三边的某种数量现朋友家用砖铺成的地面中反映了直角三角形三边的某种数量关系关系42021/3/29【考点一】勾股定理【考点一】勾股定理一）勾股定理的推导一）勾股定理的推导法二：赵爽弦图的证法法二：赵爽弦图的证法S大正方形=S小正方形+ 4S直角三角形在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为勾，下半部分称为股。

3、我国古代学者把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”.中黄实中黄实( (b- -a) )2 2cbabababacccc2(ba)24 ab21c2 =a2+ b2勾勾股股52021/3/29【考点一】勾股定理【考点一】勾股定理一）勾股定理的推导一）勾股定理的推导法三：茄菲尔德的证法法三：茄菲尔德的证法有趣的总统证法有趣的总统证法美国第二十任总统伽菲尔德的证法在数学史上被传为佳话人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就把这一证法称为“总统”证法。bacbacccc2 =a2+ b2(ab)(ab)21ab21ab21c22162021/3/29

4、【考点一】勾股定理【考点一】勾股定理二、勾股定理二、勾股定理一）勾股定理一）勾股定理:如果直角三角形的两直角边分别为a,b,斜边为c,那么一定有勾股定理的另一种表述：勾股定理的另一种表述：直角三角形两直角边的平方和和等于斜边的平方。 二）勾股定理的其他表示形式：二）勾股定理的其他表示形式：解题技巧：解题技巧：1、勾股定理揭示了直角三角形三边之间的数量关系，是解决有关线段计算问题的重要依据2、勾股定理的探索与验证，一般采用“构造法”通过构造几何图形，并计算图形面积得出一个等式，从而得出或验证勾股定理c2=a2 + b272021/3/29【考点一】勾股定理【考点一】勾股定理例1：如图3，分别以R

5、t ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1、S2、S3表示，容易得出S1、S2、S3之间有的关系式 S1S2S3图4 82021/3/29【考点一】勾股定理【考点一】勾股定理例2：如图，学校有一块长方形花铺，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花铺内走出了一条“路”他们仅仅少走了 步路（假设2步为1米），却踩伤了花草 ?“路”?4m?3m92021/3/29【考点一】勾股定理【考点一】勾股定理例3：如图2，一个3米长的梯子AB，斜着靠在竖直的墙AO上，这时AO的距离为2.5米求梯子的底端B 距墙角O多少米？如果梯的顶端A沿墙下滑0.5米至C. 算一算，底端滑动的距离近似值（结果保留两

6、位小数）OBDACCAOBOD102021/3/29【考点二考点二】勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理一）勾股定理的逆定理一）勾股定理的逆定理（直角三角形的判定）: 如果三角形的三边长如果三角形的三边长a,b,c满足满足 ,那么这个三角形是那么这个三角形是直直角三角形角三角形.符号语言：符号语言： 在ABC中，若a2 + b2 = c2，则ABC是直角三角形。注意：注意：1、这一命题是勾股定理的逆定理2、它可以帮助我们判断三角形的形状.为根据边的关系解决角的有关问题提供了新的方法.3、定理的证明采用了构造法.利用已知三角形的边a,b,c(a2+b2=c2)，先构造一个直角边为a,b的直角三角形，

7、由勾股定理证明第三边为c,进而通过“SSS”证明两个三角形全等，证明定理成立.c2=a2 + b2112021/3/29【考点二考点二】勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理二）勾股数组：二）勾股数组：定义：定义：能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数组.常见勾股数组：常见勾股数组：(1)a=3,b=4,c=_(2)a=9,b=_c=15(3)a=_,b=40,c=50(4)a=24,b=32,c=_(5)a=5,b=_,c=13(6)a=_,b=36,c=39(7)a=25,b=60,c=_122021/3/29【考点二考点二】勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理三）解题技巧：三）解题技巧

8、： 在中考中，很多问题常常要证明两条直线互相垂直，当题中给出线段的长度要证明它们互相垂直时，往往用到勾股定理的逆定理通过计算得到证明勾股定理的逆定理是用来判定一个三角形是否是直角三角形的.勾股定理的逆定理也可用来证明两直线是否垂直,勾股定理是直角三角形的性质定理，而勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，它不仅可以判定三角形是否为直角三角形，还可以判定哪一个角是直角，从而产生了证明两直线互相垂直的新方法：利用勾股定理的逆定理，通过计算来证明，体现了数形结合的思想132021/3/29【考点二考点二】勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理四）逆命题与互逆命题四）逆命题与互逆命题u 1）互逆命题）互逆命

9、题: 两个命题中, 如果第一个命题的题设是第二个命题的结论, 而第一个命题的结论又是第二个命题的题设,那么这两个命题叫做互逆命题. 如果把其中一个叫做原命题, 那么另一个叫做它的逆命题. u 2）互逆定理）互逆定理: 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题, 那么它也是一个定理, 这两个定理叫做互逆定理, 其中一个叫做另一个的逆定理.u 3）注意：）注意：任何一个命题都有 _，但任何一个定理未必都有 _五）勾股定理判别三角形形状五）勾股定理判别三角形形状三角形的三边分别为a、b、c，其中c为最大边，若a2 + b2=c2，则三角形是直角三角形；若a2 + b2c2,则三角形是锐角三角形；若a2

10、+ b2c2,则三角形是钝角三角形所以使用勾股定理的逆定理时首先要确定三角形的最大边142021/3/29【考点二考点二】勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理例4：说出下列命题的逆命题。这些命题的逆命题成立吗？两直线平行，内错角相等；如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等；全等三角形的对应角相等；角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。例例5：思考：思考：我们知道3、4、5是一组勾股数，那么3k、4k、5k（k是正整数）也是一组勾股数吗？一般地，如果a、b、c是一组勾股数，那么ak、bk、ck（k是正整数）也是一组勾股数吗？152021/3/29【考点二考点二】勾股定理的逆定理勾股定理的逆定

11、理例6：在ABC中，三条边的长分别为a，b，c，an21，b2n，cn2+1(n1，且n为整数)，这个三角形是直角三角形吗？若是，哪个角是直角162021/3/29【考点二考点二】勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理例7：下列不是一组勾股数的是（ ）A、5、12、13 B、 C、12、16、20 D、 7、24、25 例8：下面有几组数可以作为直角三角形的边长？ ( ) (1) 9, 12, 15 (2) 12,35,36 (3) 15,36 39 (4) 12, 18,32 (5) 5,12,13 (6) 7,24 ,25 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 172021/3/29【考点三】

12、勾股定理的应用【考点三】勾股定理的应用1、已知两边求第三边2、利用列方程求线段的长3、判别一个三角形是否是直角三角形4、灵活变通例：如图一个圆柱，底圆周长6cm，高4cm，一只蚂蚁沿外 壁爬行，要从A点爬到B点，则最少要爬行 cm182021/3/29【考点三】勾股定理的应用【考点三】勾股定理的应用一）一）利用勾股定理在数轴上表示无理数利用勾股定理在数轴上表示无理数 （n为正整数）的点为正整数）的点:例9：在数轴上画出表示 的点？（尺规作图）n17192021/3/29【考点三】勾股定理的应用【考点三】勾股定理的应用一）直角三角形面积法：一）直角三角形面积法：的长为多少？则，是斜边上的高，中，：如图：在例CDBCACCDACBABCRt4390100DCAB的面积吗？你能求出，于：如图：例ABCABBCACDAB