四种命题四种命题间的相互关系

1、四种命题四种命题间的相互关系1、四种命题的概念，写出某个命题的逆命题、否命题和逆否命题。2、四种命题之间的关系以及真假性之间的联系。3、会用命题的等价性解决问题。【核心扫描】：1、结合命题真假的判定，考查四种命题的结构。(重点)2、掌握四种命题之间的相互关系。(重点)3、等价命题的应用。(难点)1、四种命题的概念(1)互逆命题：对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这样的两个命题叫做互逆命题。其中一个命题叫原命题，另一个叫做原命题的逆命题。若原命题为“若p，则q”，则逆命题为“若q，则P”。(2)互否命题：对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题

2、的条件的否定和结论的否定，这样的两个命题叫做互否命题。如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的否命题。也就是说，若原命题为“若p，则q”则否命题为“若非p，则非q”。(3)互为逆否命题：对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，这样的两个命题叫做互为逆否命题。如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的逆否命题也就是说，若原命题为“若p，则q”，则逆否命题为若非q，则非p。 任何一个命题的结构都包含条件和结论，通过条件和结论的不同变换都可以得到这个命题的逆命题、否命题和逆否命题，因而任何一个命题都有逆命题、否命题和逆否命题。2、四种

3、命题的相互关系3、四种命题的真假性(1)四种命题的真假性，有且仅有下面四种情况：原命题逆命题否命题逆否命题真真真真真假假真假真真假假假假假(2)四种命题的真假性之间的关系：两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系在四种命题中，真命题的个数可能会有几种情况？因为原命题与逆否命题，逆命题和否命题互为逆否命题，它们同真同假，所以真命题的个数可能为0，2，4.一般地，用p和q分别表示原命题的条件和结论，用非p和非q分别表示p与q的否定，则四种命题的形式可表示为：原命题：若P，则q；逆命题：若q，则p；否命题：若非P，则非q；逆否命题：若非q，则 非 p

4、.(1)关于四种命题也可叙述为：交换命题的条件和结论，所得的新命题就是原命题的逆命题；同时否定命题的条件和结论，所得的新命题就是原命题的否命题；交换命题的条件和结论，并且同时否定，所得的新命题就是原命题的逆否命题(2)已知原命题，写出它的其他三种命题：首先，将原命题写成“若p，则q”的形式，然后找出条件和结论，再根据定义写出其他命题。然后，对于含有大前提的命题，在改写时大前提不动。如“已知a，b为正数，若a>b，则|a|>|b|”中，“已知a，b为正数”在四种命题中是相同的大前提，写其他命题时都把它作为大前提。四种命题的真假关系原命题为真，它的逆命题不一定为真；原命题为真，它的否命

5、题不一定为真；原命题为真，它的逆否命题一定为真；原命题的逆命题为真，它的否命题一定为真？四种命题的等价关系的应用：判断某个命题的真假，如果直接判断不易，可转化为判断它的逆否命题的真假。例如带有否定词的命题真假的判断。因此，证明某一问题时，若直接证明不容易入手，可以通过证明它的逆否命题为真命题来间接地证明原命题为真命题四种命题之间的转换【例1】写出以下命题的逆命题、否命题和逆否命题(1)如果直线垂直于平面内的两条相交直线，那么这条直线垂直于平面；(2)如果x>10，那么x>0；(3)当x2时，x2x60.思路探索：可先分清命题的条件和结论，写成“若p，则q”的形式，再写出逆命题、否命

6、题和逆否命题。解：(1)逆命题：如果直线垂直于平面，那么直线垂直于平面内的两条相交直线；否命题：如果直线不垂直于平面内的两条相交直线，那么直线不垂直于平面；逆否命题：如果直线不垂直于平面，那么直线不垂直于平面内的两条相交直线(2)逆命题：如果x>0，那么x>10；否命题：如果x10，那么x0；逆否命题：如果x0，那么x10.(3)逆命题：如果x2x60，那么x2；否命题：如果x2，那么x2x60；逆否命题：如果x2x60，那么x2.规律方法：1、写命题的四种形式时，首先要找出命题的条件和结论，然后写出命题的条件的否定和结论的否定，再根据四种命题的结构写出所求命题。2、在写命题时，为

7、了使句子更通顺，可以适当的添加一些词语，但不能改变条件和结论。写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题。(1)垂直于同一平面的两直线平行；(2)若m·n<0，则方程mx2xn0有实根解(1)逆命题：如果两条直线平行，那么这两条直线垂直于同一个平面否命题：如果两条直线不垂直于同一平面，那么这两条直线不平行逆否命题：如果两条直线不平行，那么这两条直线不垂直于同一平面(2)逆命题：若方程mx2xn0 有实数根，则m·n<0.否命题：若m·n0，则方程mx2xn0 没有实数根逆否命题：若方程mx2xn0 没有实数根，则m·n0.题型二四种命题真假的判断

8、【例2】有下列四个命题：“若xy0，则x，y互为相反数”的否命题；“若a>b，则a2>b2”的逆否命题；“若x3，则x2x6>0”的否命题；“同位角相等”的逆命题其中真命题的个数是_思路探索 可先逐一分清两个命题的条件和结论，再利用有关知识判断真假解析“若xy0，则x，y不是相反数”，是真命题“若a2b2，则ab”，取a0，b1，a2b2，但a>b，故是假命题“若x>3，则x2x60”，解不等式x2x60可得2x3，而x4>3不是不等式的解，故是假命题“相等的角是同位角”是假命题答案1规律方法：要判断四种命题的真假：首先，要熟练四种命题的相互关系，注意它们之

9、间的相互性；其次，利用其他知识判断真假时，一定要对有关知识熟练掌握下列命题中是真命题的是：()A、命题“若0<logab<1，则0<a<1<b”的逆命题B、命题“若b3，则b29”的逆命题C、命题“当x2时，x23x20”的否命题D、命题“相似三角形的对应角相等”的逆否命题解析对于A，逆命题为“若0<a<1<b，则0<logab<1”，由对数函数图象得，当0<a<1<b时，logab<0，A为假；B项，逆命题是“若b29，则b3”，它未必成立，因为b可能等于3，所以B为假；C项，否命题是“当x2时，x23x20

10、”，因为x1时也可以使x23x20成立，所以为假；D项，逆否命题是“两个三角形对应角不相等，则这两个三角形不相似”，因为原命题与逆命题同真假，且原命题为真，所以逆否命题为真，故选D.答案D等价命题的应用判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2(2a1)xa220的解集不是空集，则a1”的逆否命题的真假审题指导：本题的命题意图是考查逆否命题的应用，由于原命题与它的逆否命题同真同假，所以可写出原命题的逆否命题，再判断其真假，或者由判断原命题的真假得出逆否命题的真假。规范解答 法一：原命题的逆否命题：已知a，x为实数，若a<1，则关于x的不等式x2(2a1)xa220的解集为空集真假判

11、断如下： 3分抛物线yx2(2a1)xa22开口向上，判别式(2a1)24(a22)4a7， 6分若a<1，则4a7<0.即抛物线yx2(2a1)xa22与x轴无交点. 9分所以关于x的不等式x2(2a1)xa220的解集为空集故原命题的逆否命题为真. 12分法二：先判断原命题的真假因为a，x为实数，且关于x的不等式x2(2a1)xa220的解集不是空集，所以(2a1)24(a22)0， 4分即4a70，又因为原命题与其逆否命题等价，所以逆否命题为真。12分由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性，即互为逆否命题的命题具有等价性，所以我们在直接证明某一个命题为真命题有困难时，可以通过

12、证明它的逆否命题为真命题，来间接地证明原命题为真命题。判断命题“若m>0，则方程x22x3m0有实数根”的逆否命题的真假解m>0，12m>0，12m4>0.方程x22x3m0的判别式12m4>0.原命题“若m>0，则方程x22x3m0有实数根”为真又因原命题与它的逆否命题等价，所以“若m>0，则方程x22x3m0有实数根”的逆否命题也为真反证法的应用1、反证法的理论基础：反证法就是证明结论的反面不成立，从而证明原结论成立。由于互为逆否命题的两个命题具有等价性，从逻辑角度看，原命题为真，则它的逆否命题也为真。在直接证明原命题有困难时，就可转化为证明它的逆

13、否命题成立。 2、反证法的思想方法：命题“若p，则q”的逆否命题是“若非q，则非p”，假设q不成立，即非q成立，由此进行推理，则非p一定成立，这与p成立矛盾，那么就说明“假设q不成立”为假，从而可以导出“若p，则q”为真，达到论证的目的，这就是反证法的思想方法3、反证法证明命题的步骤：(1)反设：假设命题的结论不成立，即假设结论的否定成立；(2)归谬：从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；(3)说明：由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确否定结论是反证法的第一步，它的正确与否，对于反证法有直接影响若a2b2c2，求证：a，b，c不可能都是奇数。思路分析：可以证明原命题的逆否命题为真命题，也可以运用反证法。法一：依题意，就是证明命题“若a2b2c2，则a，b，c不可能都是奇数”为真命题。为此，只需证明其逆否命题“若a，b，c都是奇数，则a2b2c2.”为真命题即可。a，b，c都是奇数，则a2，b2，c2都是奇数。于是a2b2为偶数，而c2为奇数，即a2b2c2。原命题的逆否命题为真命题，所以原命