复变函数Taylor级数与罗朗级数PPT学习教案

1、会计学1复变函数复变函数Taylor级数与罗朗级数级数与罗朗级数2CC( )nf z(0,1,2,)n 0( )( )nng zfz 01nAAAC|( )|,nnfzA (0,1,2,)n ( )g z0( )( )nnCCg z dzfz dz 第1页/共47页30nnA n 120nnnRAA CLn 0( )( )nnnCCg z dzfz dz 11( )( ) |kkknknCCfzdzfzdz 11( )kknknCCf zdsAds 0nLR 第2页/共47页4 f 0:Czr 0100( )( )()()()nnnCCffddzzzz 0110( )( )()()()mmmC

2、Cffddzzzz 第3页/共47页500|zzz 0zr 0:Czr 0z z 010000000( )()( )( )( )1()()1nnnfz zfffz zzzz zzzz 1 第4页/共47页6010( )(),()nnnfzzMzr 0nnMr 第5页/共47页700|1|zzz 0:Czr 0z z 0:Czr 00( )( )()ffzzz z 1001000( )()( )1()1nnnfzfzz zz zz z 第6页/共47页80:|UzzR ( )20000000( )( )( )( )( )()()()1!2!nnf zfzfzf zf zz zz zz zn )

3、1 . 2 (zU 0zUC1( )( )2Cff zdiz ( )f 第7页/共47页9( )f z 01001( )()()2()nnnCfdzziz ( )000()()!nnnfzzzn 0z z c U注注 定理定理1中的幂级数称为函数中的幂级数称为函数f (z) 在点在点z0的的Taylor级数展开式级数展开式，可以写为可以写为 其其中中cn为展开式的为展开式的Taylor系数系数，可表示为，可表示为,)()( 00nnnzzczf),( )()(!)()(21021100 ndzzzzfinzfcCnnn 第8页/共47页100z0z()000()(),!nnfzcfzcn 0,

4、1,2,n ( )f z( )f z第9页/共47页1100z 00z 01(3)1nnzz (| | 1)z 101) 1()1ln() 5 ( nnnznz(| | 1)z ( )0( )!nnfzcn 201(1)1!2!znnzezzn )|(| z210( 1)(2)sin(21)!nnnzzn )|(| z20( 1)(4)cos(2 )!nnnzzn )|(| z第10页/共47页12)1()1)(6(zLnez nnznn 1!) 1() 1(1 (| | 1)z 0,1,2 第11页/共47页13011nn (| 1) 2z 2201( 1)1nnnzz (| | 1)z 第

5、12页/共47页14 例例1 1 试将试将 在点在点 展成泰勒级数展成泰勒级数。( )2zf zz 1z 第13页/共47页15解解 因为因为 是是 2z ( )f z11( 2)3z 可在可在 内展成泰勒级数，有内展成泰勒级数，有11213zzzz 11(1)3(1)3zzz 11113(1)3(1)33zzz 11100( 1) (1)( 1) (1)33nnnnnnnnzz 1111(1)2( 1),1333nnnnzz 例例1 1 试将试将 在点在点 展成泰勒级数展成泰勒级数。( )2zf zz 1z 的唯一有限奇点，所以的唯一有限奇点，所以第14页/共47页160zi 101( )f

6、 zz 112( )()fzziz3( )sinfzz 3104()( )zif zz 第15页/共47页170zi 101( )f zz 112( )()fzziz3( )sinfzz 3104()( )zif zz 1( )f z10z 1zz1( )f z 0zi 10101( )()1zif zziii z ii 101(9)!1()!9!nnninzzin | 1zi第16页/共47页180zi 11()iizizziz 10( 1)()2nnnnnizizii 0()nnnii z iz 11()iizizziz 10( 1)()2nnnnnzii 0()nnni z i 101(

7、1)()2nnnnizi | 1zi第17页/共47页19 sinzsinsin()sin()coscos()sinzziiziizii 22100( 1)( 1)sin1()1()(2 )!(21)!nnnnnnzishzichzinn sin2izizeezi 第18页/共47页20341( ) () ( )f zz i f z 1( )f z3()zi 4( )f z0zi 3()zi z4( )f z0zi 0zi 33100()(9)!()!9!nnnziinzizn | 1zi第19页/共47页21001000()()()kkkkkczzcc zzczz kC第20页/共47页22

8、第21页/共47页23+-nnn-n0n0n0n=1n=0n=-c (z - z ) +c (z - z ) =c (z - z )nf (z) 22100)()()(azcazccazcnnn研究了研究了 对于一般的函数项级数对于一般的函数项级数 )()()(21zfzfzfn 1)(nnzf从数学研究的角度，应该可以取具有负幂的从数学研究的角度，应该可以取具有负幂的 ：1n-n-n-2-1-n0-n0-20-10c (z - z )=+c (z - z ) +c (z - z ) +c (z - z )更一般地，考虑双边幂级数：更一般地，考虑双边幂级数：取正幂项的级数取正幂项的级数nf (

9、z)第22页/共47页24nnnzzc)(0 考虑双边幂级数考虑双边幂级数负幂项部分负幂项部分正幂项部分正幂项部分主要部分主要部分解析部分解析部分nnnnzzc)(0 nnnzzc )(01同时收敛同时收敛 Laurent级数级数 nnnzzc)(00 收敛收敛第23页/共47页25nnnzzc)(00 nnnzzc )(0110)( zz 令令nnnc 1收敛半径收敛半径收敛收敛时时,R 101RRzz 收敛域收敛域收敛半径收敛半径2R20Rzz 收敛域收敛域:)1( 21RR 若若两收敛域无公共部分两收敛域无公共部分,:)2(21RR 两收敛域有公共部分两收敛域有公共部分.201RzzR

10、R结论结论：nn0n=-c (z-z )罗罗朗朗级级数数的的收收敛敛区区域域为为.201RzzR 圆环域圆环域且和函数在收敛域内解析且和函数在收敛域内解析为+这这里里可可为为1212R0，R0，R R可可注意：注意：祥祥 见见P185的定理的定理 5.1 第24页/共47页26:10 内内在圆环域在圆环域 z引例引例)1(1)(zzzf 1,1112 zzzzznzz 111)1(1)(zzzf nzzzz211011z 在在圆圆环环域域内内，)1(1)(zzzf .)1()1()1(1)1(121 nzzzz nzzzz)1()1()1(1112 )1(1111zz10)1(1)( zzzz

11、zf及及在在都都不解析不解析,但在圆环域但在圆环域10 z及及110 z内都是内都是解析的解析的.即即在在)(zf10 z内内可以展开成罗朗级数可以展开成罗朗级数.也可以展开成罗朗级数：也可以展开成罗朗级数：第25页/共47页27z0zRrDr1R12Cc1 102 f(z)Rz-zR设设在在圆圆环环域域内内处处处处解解析析，,)()(0nnnzzczf Cnnzfic d)()(21 10其中其中),1,0( nC为圆环域内绕为圆环域内绕 的任一正向简单闭曲线的任一正向简单闭曲线. 0z为罗朗系数为罗朗系数. 那那末末在在D D内内可可展展开开成成罗罗朗朗级级数数f(z)第26页/共47页2

12、8：1201200 01212c ,cc ,c 为为以以z z 为为中中心心、包包含含在在环环域域r z-z Rr z-z R内内的的圆圆周周，且且z z位位于于由由c ,cc ,c 构构成成的的环环域域内内。这这里里211()1()( )22CCfffzddiziz 211()1()22CCffddiziz 证明：证明：2201001( )()()2()kkkCfIdzziz 1101101( )()2()kkkCfIdzziz 110101( )()()2()kkkCfdzziz 21II 21II 由复闭路定理可知：由复闭路定理可知：0( )|frzR 由由于于在在内内解解析析，1212

13、z,IICC和和 中中的的积积分分路路径径、可可改改为为环环内内任任一一不不经经过过 的的圆圆周周C C 可可得得0101( )( )()()2()kkkCff zdzziz 证毕证毕第27页/共47页29 i)i)罗朗级数中的正幂项系数罗朗级数中的正幂项系数不能不能记为记为： ( )01()!nncfzn ()000()()!nnnfzzzn 3) 与与泰勒级数泰勒级数比较比较0101( )()()2()nnnCfdzziz ii)ii)罗朗级数是泰勒级数的推广罗朗级数是泰勒级数的推广. .说明说明:函数函数)(zf在圆环域内的在圆环域内的罗朗展开式罗朗展开式)(zf在圆环域内的在圆环域内的

14、罗朗罗朗(Laurent)(Laurent)级数级数. . nnnzzczf)()(0 1) 2) 某一圆环域内的解析函数展开为含有正、负幂项的级数是唯一的，某一圆环域内的解析函数展开为含有正、负幂项的级数是唯一的， 这就是这就是 f (z) 的罗朗级数的罗朗级数. 01001( )( )()()2()nnnCff zdzziz 第28页/共47页30102|RzzR( )f z第29页/共47页31 (1) 直接展开法直接展开法利用定理公式计算系数利用定理公式计算系数nc101( )d(0 ,1 ,2 ,)2()nnCfcniz 然后写出然后写出.)()(0nnnzzczf 缺点缺点: 计算

15、往往很麻烦计算往往很麻烦, 不常用不常用方法方法 : 1. 直接法直接法 2. 间接法间接法 第30页/共47页32(2) 间接展开法间接展开法 根据罗朗级数的正、负幂项组成的的级数的唯一性根据罗朗级数的正、负幂项组成的的级数的唯一性, 用代数运算、代换、求导和积分以及已有的用代数运算、代换、求导和积分以及已有的Taylor展开式等方法去展开展开式等方法去展开 .优点优点 : 简捷简捷 、快速、快速 ，所以常用，所以常用第31页/共47页332sin zzsin zz0 |z 242sin(1)13 !5 !(21) !nnzzzzzn 3212sin1(1)3 !5 !(21) !nnzzz

16、zzzn 解：解：此时用此时用sinz 的的Taylor展式展式,)!()(sin 012121nnnznz第32页/共47页34例例2 2 : )2)(1(1)( 在圆环域在圆环域函数函数 zzzf1);011z;21)2 z.2)3 z内解析内解析, ,把把 f(z) 在这些区域内展成在这些区域内展成Laurent级数级数. .解解11( ),12f zzz1) 011 , z在在内内11 ,z由由于于011(1)21(1)nnzzz ( )f z 所所以以01(1)1nnzz 211(1)(1)1zzz 第33页/共47页35 , 21 )2内内在在 z12oxyzzz111111 21

17、111zzz1 z由由11 z2 z12 z且仍有且仍有 2112121zz nnzzz22212122)( zf于是于是 21111zzz 2222121zz 842111121zzzzznn第34页/共47页36, 2 )3内内在在 z2oxy2 z由由12 z此时此时zzz211121 24211zzz, 121 zz此时此时仍有仍有zzz111111 21111zzz)( zf故故 24211zzz 21111zzz.731432 zzz21( )1(1)(1)1f zzzz 137).(f234zzzz第35页/共47页37说明说明:1. 函数函数)(zf在以在以0z为中心的圆环域内

18、的罗朗级为中心的圆环域内的罗朗级数中尽管含有数中尽管含有0zz 的负幂项的负幂项, 而且而且0z又是这些又是这些项的奇点项的奇点, 但是但是0z可能是函数可能是函数)(zf的奇点的奇点,也可能也可能)(zf的奇点的奇点.不是不是2. 给定了函数给定了函数)(zf与复平面内的一点与复平面内的一点0z以后以后,函数在各个不同的圆环域中有不同的罗朗展开函数在各个不同的圆环域中有不同的罗朗展开式式 (包括泰勒展开式作为它的特例包括泰勒展开式作为它的特例).回答：不矛盾回答：不矛盾 .问题：这与问题：这与罗罗朗展开式的唯一性是否相矛盾朗展开式的唯一性是否相矛盾?朗展开式是唯一的朗展开式是唯一的)(唯一性

19、唯一性 : 指函数在某一个给定的圆环域内的罗指函数在某一个给定的圆环域内的罗第36页/共47页38例例3 3 分别将下列函数在指定点分别将下列函数在指定点 的去心邻域内展开的去心邻域内展开成成Laurent级数级数0z（1 1） 22sin zz00z 2222220sin1cos(2 )11( 1) (2 )222(2 )!nnnzzzzzzzn 利用三角公式利用三角公式22sin1cos(2 )zz和和cos(2 ) z 的的Taylor级数展开式可得当级数展开式可得当 02z 化简得化简得21212221sin( 1)2(2 )!nnnnzzzn (0)z 该展开式不含有负幂项该展开式不

20、含有负幂项. 第37页/共47页39(1)0,22lnln()ln21:z -iz+ i - ii z+ iz+ iz+ iiz-z+ i满满足足此此函函点点不不解解析析的的数数解解, zi i 即即时时，不不解解析析。2 |zi 函函数数在在环环域域内内解解析析。11Taylor2( 1)()2ln(1)nnnziizizin 由由ln(1+ )ln(1+ )的的展展式式得得1(2 )()nnnizin lnz -i,z+ i0zi （2 2） 第38页/共47页401( )2Cf z dzic 步骤：步骤：1.1.分析分析f(z)f(z)的解析性，确定解析环域；的解析性，确定解析环域；2.

21、2.在包含积分路径在包含积分路径C C的解析环域里将函数的解析环域里将函数展成展成LaurentLaurent级数级数13.求求c|z|=52I =ln(1+)dzz例例 5第39页/共47页41例例 619262|z|=1I =(z+ i) cosdzz+ i20,1cosziz+ i 1919解解：函函数数2(z+i)2(z+i)的的奇奇点点为为|zi 函函数数在在环环域域00内内解解析析。由由220221cos( 1) ()122coscos2(2 )!nnnzizzizin 及及0 |ziLaurent 得得被被积积函函数数在在内内的的展展式式为为21902( 1) ()112( )2() 22(2 )!nnnzf zzin 2119201( 1) 22() ()2(2 )!nnnnzizin 20112,22 10!cIic 其其中中 第40页/共47页4210822| | 2cos(10)(1)zzzIdzz 例例8 8 21| |2(1)zzeIdzz z 计算积分计算积分11zz22( )( )dd2(0)2zf zzziiz 注意注意 用用Cauchy积分