复数与复变函数PPT学习教案

1、会计学1复数与复变函数复数与复变函数iyxzxyzyzxIm,Re第1页/共58页)()(212121yyixxzz)()(2121212121xyyxiyyxxzz)0(2222221212222212121zyxyxxyiyxyyxxzz第2页/共58页21zz 2121,yyxxiyxz第3页/共58页iyxz),(yx),(yxzxy第4页/共58页Oziyxz22|yxzr第5页/共58页模的性质|,|,|yxzzyzx|2121zzzz|2121zzzz（1）（2）（3）（4）点 与点 的距离为 1z2z2212212121)()(|),(yyxxzzzzd第6页/共58页iyxz

2、OzxytanzzArg第7页/共58页zargzargzArgz, 2, 1, 02argkkzzArg第8页/共58页iyxz)sin(cosirzzArg| zr irez 第9页/共58页)sin(cosninrerzninnn1, 2 , 1 , 02nkerznkinn第10页/共58页第11页/共58页1.2.1 复平面点集的几个基本概念1.2.2 区域与约当(Jordan)曲线1.2.3 典型例题1.2.4 小结与思考第12页/共58页定义1.1 邻域:. : )( , 的的邻邻域域内内部部的的点点的的集集合合称称为为的的圆圆为为半半径径任任意意的的正正数数为为中中心心平平面面

3、上上以以000zzzz 记作:N(z0)N(z0)=z | |z-z0|. 0 00的的去去心心邻邻域域确确定定的的点点的的集集合合为为所所称称由由不不等等式式zzz 记作：N0(z0)=z | 0|z-z0|0: N(z0)E=z0z0为E的外点0: N(z0)E=第14页/共58页定义1.3 内点:. , , . , 000的的内内点点称称为为那那末末于于该该邻邻域域内内的的所所有有点点都都属属的的一一个个邻邻域域存存在在如如果果中中任任意意一一点点为为为为一一平平面面点点集集设设EzEzEzE 如果 E 内每一点都是它的内点,那末E 称为开集. 如果在z0的任意一个邻域内,都有属于 E

4、的点,也有不属于E的点,则称z0为E的边界点。z0为E的内点0: N(z0)E点集E的全体边界组成的集合称为E的边界.记为：E第15页/共58页定义1.4 有界集和无界集:. , , 0, , 否否则则称称为为无无界界的的称称为为有有界界的的那那末末足足使使区区域域的的每每一一个个点点都都满满即即存存在在心心的的圆圆里里面面点点为为中中可可以以被被包包含含在在一一个个以以原原如如果果一一个个EMzME 点集z zxy有界！o第16页/共58页定义1.5 区域: 如果平面点集D满足以下两个条件,则称它为一个区域.(1) D是一个开集；(2) D是连通的,就是说D中任何两点都可以用完全属于D的一条

5、折线连结起来.D加上D的边界称为闭域。记为DD+D z1z2D第17页/共58页说明 (2) 区域的边界可能是由几条曲线和一些孤立的点所组成的.z 1C2C3Cz 1C2C3C (1) 区域都是开的.以上基本概念的图示1z 2z 区域 0z 邻域P 边界点边界不包含边界！第18页/共58页(1) 圆环域:;201rzzr 0z 2r1r课堂练习判断下列区域是否有界?(2) 上半平面:; 0Im z(3) 角形域:;arg0 z(4) 带形域:.Imbza 答案(1)有界; (2) (3) (4)无界.xyo第19页/共58页定义1.7 连续曲线:. , )( ),( , )( , )( )(

6、称称为为连连续续曲曲线线表表一一条条平平面面曲曲线线代代那那末末方方程程组组是是两两个个连连续续的的实实变变函函数数和和如如果果 ttyytxxtytx平面曲线C的复数表示:)().()()( ttiytxtzzC的实参数方程C的复参数方程起点z()C终点z()zxyCC的正向：起点终点o第20页/共58页. )( , )()( , , 121212121的重点的重点称为曲线称为曲线点点时时而有而有当当与与的的对于满足对于满足Ctztztztttttt 没有重点的曲线 C 称为简单曲线(或若尔当曲线).重点重点重点. , )( )( , 为为简简单单闭闭曲曲线线那那末末称称即即的的起起点点和和

7、终终点点重重合合如如果果简简单单曲曲线线CzzC 换句话说, 简单曲线自身不相交. 第21页/共58页简单闭曲线的性质约当定理 任意一条简单闭曲线 C 将复平面唯一地分成C,I(C),E(C) 三个互不相交的点集.满足：xyoI(C)E(C)边界（1）I(C) 是一个有界区域（称为C的内部）.（2）E(C) 是一个无界区域（称为C的外部）.（3）若简单折线P的一个断点属于I(C)，另一个端点属于E(C) ，则P必与C相交.（4）C是I(C)，E(C) 的公共边界.第22页/共58页2. 光滑曲线:.0, )( )( , , )( )( , 22称这曲线为光滑的称这曲线为光滑的那末那末有有的每一

8、个值的每一个值且对于且对于都是连续的都是连续的和和上上如果在如果在 tytxttytxt 由几段依次相接的光滑曲线所组成的曲线称为按段光滑曲线.xyoxyo特点 （1）光滑曲线上的各点都有切线 （2）光滑曲线可以求长第23页/共58页课堂练习 判断下列曲线是否为简单曲线?答案简单闭简单不闭不简单闭不简单不闭 )(az)(bz )(az)(bz )(az)(bz )(az)(bz 第24页/共58页4. 单连通域与多连通域的定义: 复平面上的一个区域B, 如果在其中任作一条简单闭曲线, 而曲线的内部总属于B, 就称为单连通域. 一个区域如果不是单连通域, 就称为多连通域.单连通域多连通域第25页

9、/共58页例1 指明下列不等式所确定的区域, 是有界的还是无界的,单连通的还是多连通的. 111)5(; 411)4(; 31)3(;3arg)2(; 1)Re()1(2 zzzzzzz解 , )1(时时当当iyxz ,)Re(222yxz , 11)Re(222 yxz无界的单连通域(如图).第26页/共58页3arg)2( z,3arg33arg zz是角形域, 无界的单连通域(如图).31)3( z,3131 zz, 31 ,的圆的外部的圆的外部半径为半径为是以原点为中心是以原点为中心无界的多连通域. 第27页/共58页411)4( zz表示到1, 1的距离之和为定值4的点的轨迹, 是椭

10、圆,411 zz ,411表示该椭圆内部表示该椭圆内部 zz有界的单连通域.第28页/共58页111)5( zz,sincos irrz 令令 111 zz边界边界1sin)1cos(sin)1cos(222222 rrrr1)1cos2)(1cos2(22 rrrr1)cos(4)1(222 rr ,2cos2 02 rr或或 , )( 2cos22也称双纽线也称双纽线是双叶玫瑰线是双叶玫瑰线 r ,111是其内部是其内部 zz有界的单连通域.第29页/共58页例2解 满足下列条件的点集是什么, 如果是区域, 指出是单连通域还是多连通域?, 3Im)1( z是一条平行于实轴的直线, -3-2

11、-1123x123456y不是区域., 2Re)2( z), 2Re ( 2Re zz不包括直线不包括直线为左界的半平面为左界的半平面以以单连通域.第30页/共58页, 210)3( iz, 2 , )1( 的去心圆盘的去心圆盘为半径为半径为圆心为圆心以以i 是多连通域.,4)arg()4( iz), ( 1 , ii不包括端点不包括端点的半射线的半射线斜率为斜率为为端点为端点以以不是区域.第31页/共58页,4arg0)5( iziz , 时时当当iyxz iziz ,)1(2)1(1222222 yxxiyxyx 4arg0 知知由由 iziz0,)1(12222 yxyx0,)1(222

12、 yxx第32页/共58页, 0)1( 22 yx因为因为 , 12, 01, 02 2222yxxyxx于是于是 . 2)1(, 1, 0 2222yxyxx, 2)1( 22集集部且属于左半平面的点部且属于左半平面的点的外的外表示在圆表示在圆 yx单连通域.第33页/共58页应理解区域的有关概念:邻域、去心邻域、内点、开集、边界点、边界、区域、有界区域、无界区域理解单连通域与多连通域.放映结束，按Esc退出.第34页/共58页1.3.2 复变函数的概念1.3.2 复变函数的极限与连续1.3.3 小结与思考第35页/共58页称为为函数值对应的与上的定义义wzzEfivuwzEffiyxzE

13、),( , , , , . 复复变变数数简简称称复复变变函函数数的的函函数数复复变变数数是是那那末末称称之之对对应应与与就就有有一一个个或或几几个个复复数数的的每每一一个个复复数数中中对对于于集集合合按按这这个个法法则则存存在在确确定定的的法法则则如如果果有有一一个个的的集集合合是是一一个个复复数数设设 1.复变函数的定义:).( zfw 记作记作第36页/共58页2.单(多)值函数的定义:. )( , 是单值的是单值的我们称函数我们称函数那末那末的值的值的一个值对应着一个的一个值对应着一个如果如果zfwz. )( , 是多值的是多值的那末我们称函数那末我们称函数的值的值两个以上两个以上的一个

14、值对应着两个或的一个值对应着两个或如果如果zfwz3.定义集合和函数值集合: ; )( )( 定定义义域域的的定定义义集集合合称称为为集集合合zfE.( , )( 值域）称为函数值集合称为函数值集合值所成的集合值所成的集合的一切的一切中所有中所有对应于对应于EfwzE()| , ( ) f EwzE f zw 第37页/共58页4. 复变函数与自变量之间的关系:例如, , 2zw 函数函数, ivuwiyxz 令令2)( iyxivu 则则,222xyiyx : 2数数对对应应于于两两个个二二元元实实变变函函于于是是函函数数zw ,22yxu .2xyv : )( 相当于两个关系式相当于两个关

15、系式之间的关系之间的关系自变量自变量与与复变函数复变函数zfwzw ),(),(yxvvyxuu . 的两个二元实变函数的两个二元实变函数和和它们确定了自变量为它们确定了自变量为yx( )( , )( , ),wf zu x yiv x y 若令z=rei ,则 w=f(z)=u(r,)+i v(r, )222222222cossincos siniz rewzrrurvr 第38页/共58页1.函数极限的定义:. )( )(,)0(0 )( , 0 , , 0 )( 0000时的极限时的极限趋向于趋向于当当为为那末称那末称有有时时使得当使得当相应地必有一正数相应地必有一正数对于任意给定的对于

16、任意给定的存在存在如果有一确定的数如果有一确定的数内内的去心邻域的去心邻域定义在定义在设函数设函数zzzfAAzfzzAzzzzfw )( .)(lim 00AzfAzfzzzz 或或记作记作注意: . 0的方式是任意的的方式是任意的定义中定义中zz 一.函数极限:第39页/共58页2. 极限计算的性质定理1.2.),(lim,),(lim )(lim , , ),(),()( 000000000000vyxvuyxuAzfiyxzivuAyxivyxuzfyyxxyyxxzz 的充要条件是的充要条件是那末那末设设证 ,)(lim 0Azfzz 如果如果根据极限的定义 , )()(0 00时时

17、当当 iyxiyx ,)()(00 ivuivu(1) 必要性.第40页/共58页 , )()(0 2020时时或当或当 yyxx ,)()(00 vviuu, ,00 vvuu.),(lim,),(lim 000000vyxvuyxuyyxxyyxx 故故,),(lim,),(lim 000000vyxvuyxuyyxxyyxx 若若 , )()(0 2020时时那么当那么当 yyxx(2) 充分性.,2 ,2 00 vvuu有有第41页/共58页 )()()(00vviuuAzf 00vvuu , 0 0时时故当故当 zz,)( Azf .)(lim 0Azfzz 所以所以证毕说明. ),

18、( ),( , ),(),()( 的的极极限限问问题题和和函函数数转转化化为为求求两两个个二二元元实实变变的的极极限限问问题题该该定定理理将将求求复复变变函函数数yxvyxuyxivyxuzf 第42页/共58页定理).0()()(lim (3);)()(lim (2);)()(lim (1) ,)(lim ,)(lim 00000 BBAzgzfABzgzfBAzgzfBzgAzfzzzzzzzzzz那末那末设设与实变函数的极限性质类似.惟一性复合运算等第43页/共58页1. 连续的定义:000lim( ) Def1.17 , ( ) ( ). zzf zf zf zz 如如果果那那末末我我

19、们们就就说说在在处处连连续续 连续的三要素:000( ) | 0 | ( )()| f zzzzf zf z 在在 连连续续当当时时（1） f(z)在z0处有定义 （2）f(z)在z0处有极限 （3）f(z)在z0处的极限值等于函数值第44页/共58页2. 连续函数的性质. ) ( )( )( (1)000处仍连续处仍连续在在不为零不为零分母在分母在积、商积、商的和、差、的和、差、和和连续的两个函数连续的两个函数在在zzzgzfz. )( , )( )( , )( (2)0000连续连续处处在在那末复合函数那末复合函数连续连续在在函数函数连续连续在在如果函数如果函数zzgfwzghhfwzzg

20、h 定理1.3.) ,( ),( ),( : ),(),()( 00000处连续处连续在在和和连续的充要条件是连续的充要条件是在在函数函数yxyxvyxuiyxzyxivyxuzf 第45页/共58页例如,),()ln()(2222yxiyxzf , )ln(),(22处连续处连续在复平面内除原点外处在复平面内除原点外处yxyxu , ),(22在复平面内处处连续在复平面内处处连续yxyxv . ),( 处处连连续续在在复复平平面面内内除除原原点点外外处处故故yxf. , )()(lim )( 000CzzfzfzCzfzz 处连续的意义是处连续的意义是上上在曲线在曲线函数函数 ( ) ( )

21、( , ( ) . f zEff zCEEz 如如果果在在内内处处处处连连续续 我我们们说说在在内内连连续续 记记为为：第46页/共58页例1.26 1( ) 0,2zzf zzizz试证：f(z)在原点无极限，从而在原点不连续 证1：11()()( ) =22z x iyzzzzzzf zizzizz 222212222xiyxyixyxy 22( , )02 limx yxyxy 不不存存在在01lim2zzzizz 不不存存在在证2：第47页/共58页第48页/共58页 Department of Mathematics1 复球面2 扩充复球面上的几个概念第四节 复球面与无穷远点第49页/共58页1. 南极、北极的定义 , 0 的球面的球面点点取一个与复平面切于原取一个与复平面切于原 z , 与原点重合与原点重合球面上一点球面上一点 S , NS点点直线与球面相交于另一直线与球面相交于另一作垂直于复平面的作垂直于复平面的通过通过 . , 为南极为南极为北极为北极我们称我们称SNxyPNOS第50页/共58页 球面上的点, 除去北极 N 外, 与复平面内的点之间存在着一一对应的关系. 我们可以用球面上的点来表示复数. 球面上的每一个点都有唯一的复数与之对应, 这样的球面称为复球面.2. 复球面的定义我们规定: 复数中有一个唯一的“无穷大”与复平面上的无穷远点相对应, 记作