函数中的任意与存在性问题

1、函数中的任意和存在性问题二 解答题教学目标： 结合具体函数，讨论关于任意与存在性问题的一般解题方法过程与方法 通过研究具体函数及其图象，将任意与存在性问题转化为函数值域关系或最值关系授课过程：引入：已知函数， （）当时，求的单调区间；（）若函数在上无零点，求的最小值；（）若对任意给定的，在上总存在两个不同的（），使得成立，求取值范围。问题：已知函数，函数，当时，对任意，是否存在， 成立.若呢？变式1：对任意，存在， 成立，求的取值范围. 的值域是的值域的子集即可.的值域是的值域的子集即可.变式2：存在 ，使得成立，求的取值范围.的值域与的值域的交集非空.变式3：对任意，存在，使得成立，求的取值

2、范围.走进高考 （09浙江理）已知函数,其中.设函数 是否存在,对任意给定的非零实数,存在惟一的非零实数（）,使得成立？若存在,求的值;若不存在,请说明理由小结： 1.对函数中的存在性与任意性问题:相等关系转化为函数值域之间的关系，不等关系转化为函数的最值大小.2.解题中要注意数学思想方法的应用:如转化与化归思想、数形结合思想、分类讨论思想等.作业：已知函数，函数自主探究其他任意和存在性问题，并总结一般性结论。例1：（1）已知求实数的取值范围。（2）已知，对任意，的值域是，求实数的取值范围。分析：本题第（1）问是一个恒成立问题，由于，恒成立，则此问题等价于恒成立，又等价于时的最小值恒成立. 由

3、于在 时为增函数，所以，于是，.第（2）问是一个恰成立问题，即当时，的值域恰为,与（1）不同的是，（1）是时，恒成立，因此允许在时，的取值为，-等等.而的值域为，则当时，只能取，而不能是其他. ，当时，由于，与其值域为矛盾，所以有. 注意到当时，函数都是上的增函数，因而也是上的增函数.于是在时的最小值为，令，即，得.小结：1、解恒成立题的基本思路是：若在D上恒成立，等价于在D上的最小值成立，若在D上恒成立，则等价于在D上的最大值成立. 2、解决恰成立问题的的基本思路是：若在D上恰成立，等价于在D上的最小值，若在D上恰成立，则等价于在D上的最大值.例3：函数（1）定义域为区间，求实数的取值范围.

4、（2）在区间上有意义，求实数的取值范围；分析：（1）由题意知不等式的解集为-1,2，即的解集为-1,2，则的两根为-1，2则或（2）由题意知，不等式在-1,2上恒成立即: 恒成立或时， 或 2) 能成立问题 若在区间上存在实数使不等式成立,则等价于在区间上；若在区间上存在实数使不等式成立,则等价于在区间上的.如已知不等式在实数集上的解集不是空集，求实数的取值范围_（答：）3)恰成立问题若不等式在区间上恰成立, 则等价于不等式的解集为；若不等式在区间上恰成立, 则等价于不等式的解集为.3. 已知两函数，k为实数。（）对任意的，有成立，求实数k的取值范围；（）对任意的，有成立，

5、求实数k的取值范围；（）对任意的，总存在，有成立，求实数k的取值范围。4. 设函数f(x)(x1)ln(x1)，若对所有的x0，都有f (x)ax成立，求实数a的取值范围（盐城市2009/2010学年度高三年级第一次调研考试）20已知函数.（）当时，求证：函数在上单调递增；（）若函数有三个零点，求的值；（）若存在，使得，试求的取值范围.20. 解：（）3分由于，故当时，所以，故函数在上单调递增 5分（）当时，因为，且在R上单调递增， 故有唯一解7分 所以的变化情况如下表所示：x00递减极小值递增 又函数有三个零点，所以方程有三个根， 而，所以，解得 11分（）因为存在，使得，所以当时，12分

6、由（）知，在上递减，在上递增， 所以当时， 而， 记，因为（当时取等号）， 所以在上单调递增，而， 所以当时，；当时， 也就是当时，；当时，14分 当时，由， 当时，由，综上知，所求的取值范围为16分（南京市2010届高三第二次模拟考试数学试题）19.已知函数（1） 当a=1时，求函数f(x)的单调增区间（2） 求函数f(x)区间【1，e】上的最小值；（3） 设，若存在，使得成立，求实数a的取值范围。（常州市20092010学年度第一学期期末联考）20. 设为实数，函数，的图象在点处的切线的斜率为1.求实数的值；若对于任意，总存在，使得不等式成立，求实数的取值范围；设方程的两个实数根为，若对于任意，总存在，使得恒成立，记，当时，求实数的值.所以实数数的取值范围是 9分（南京市2010届高三第三