线性代数与解析几何矩阵学习教案

1、会计学1第一页，共133页。2第1页/共133页第二页，共133页。111212122212nnmmmnaaaaaaaaaAm n第2页/共133页第三页，共133页。()m nijm naA,00m n| |Aijn nadet 第3页/共133页第四页，共133页。1111diag(,)nnnnaaaaE , ,In 或或diag(1,1,1)nEdiag( , )cc11121222nnnnaaaaaa第4页/共133页第五页，共133页。l 下三角下三角(snjio)(snjio)矩阵矩阵: :11212212nnnnaaaaaal 行矩阵行矩阵(j zhn):(j zhn):12na

2、aal 列矩阵列矩阵(j zhn):(j zhn):12naaa第5页/共133页第六页，共133页。第6页/共133页第七页，共133页。8()ijm na()ijm nb()()A+ B = Cijm nijijm ncab()() ijm nijm naa()ABAB ,()AAAA 00 ( A与与B 要同形要同形).)., ()()A+ B = B+ AA+ BCAB+C第7页/共133页第八页，共133页。()()Aijm nijm nkk aka1,0AAA 0()()AAk lkl()A+ BABkkk()AAAklkl第8页/共133页第九页，共133页。1 122ijiji

3、jissjca ba ba b(),ijm sa(),ijs nb()C = ABijm nc,12 iiisaaa12jjs jbbbijc1,1,;1, .sikkjka bim jn第9页/共133页第十页，共133页。第10页/共133页第十一页，共133页。(1),p mp nn qm qAA0000(2)mnE A= A, AE = A(3)()()A BCAB C(4) ()()A B+CAB+ ACB+C A= BA+CA第11页/共133页第十二页，共133页。设设2311121 ,00312AB 231112100312 2 1 3 0 1 21 1 2 0 ( 1) 20

4、 1 3 0 1 2 412第12页/共133页第十三页，共133页。1122,ABabbaAB 1 11 22 122,ababa ba bBA 1 122()bab a第13页/共133页第十四页，共133页。1111,1111AB0022,0022ABBA第14页/共133页第十五页，共133页。121 371,242112ABC121 32421AB12712412AC55,101055.1010第15页/共133页第十六页，共133页。ABBAAB = ACB = CABAB000或ABAB000且第16页/共133页第十七页，共133页。18祝祝 大大 家家 中秋节中秋节 快快 乐

5、乐预习预习(yx)2.3-2.4(yx)2.3-2.4第17页/共133页第十八页，共133页。19101,1,2,AAAEAAAkkk()klklklklA AAAAAB,().ABA Bkkk第18页/共133页第十九页，共133页。20( )nnnnf xa xaxa xa1110( )nnnnfaaaa1110AAAAEA( )f A第19页/共133页第二十页，共133页。21111212122212| A|nnnnnnaaaaaaaaa第20页/共133页第二十一页，共133页。221212(1),( 1)(2)(3)(4)nnssmmkk AAAA| AB|=| A| B| A

6、AA | | A | A | A |AA( (行列式乘法行列式乘法(chngf)(chngf)公式公式) )A, B, niA第21页/共133页第二十二页，共133页。23第22页/共133页第二十三页，共133页。24111212122212,nnmmmnaaaaaaaaaA称为称为(chn(chn wi)A wi)A的转置矩阵的转置矩阵. .1121112222T12mmnnmnaaaaaaaaaA第23页/共133页第二十四页，共133页。25T TTTTTTTTTTTT123456mmn nn nkkmAAABABAAABB AAANAAAA（）（）（ ）（）（ ）（）（ ）（）（

7、）（） （），（ ），第24页/共133页第二十五页，共133页。26,1,2,ijjiaai jn0,1,2, iiijjiaaai jn第25页/共133页第二十六页，共133页。271.,.|nMnAAA设设其其中中 是是奇奇数数，反反对对称称？0T| A| | A |A|( 1)n | A| A|第26页/共133页第二十七页，共133页。28第27页/共133页第二十八页，共133页。29第28页/共133页第二十九页，共133页。30第29页/共133页第三十页，共133页。311. E-1=E2. 当当 k1k2kn0 时时, ,有有: :112nkkk12111nkkk第30页

8、/共133页第三十一页，共133页。32BA= AC = EB =唯一唯一. .BE =()B AC =()BA C =EC = C第31页/共133页第三十二页，共133页。33T11T(4)()()AA11(5)| |AA111(3)0AA（，111(2)()ABBA可推广至有限个积可推广至有限个积11(6)()() ,mmmAAN11(1)()AA第32页/共133页第三十三页，共133页。341|,0,nikjkkijaijAA复习复习(fx)行列式的展开行列式的展开性质性质A, BA+B 111ABABABACBCA,由由第33页/共133页第三十四页，共133页。35*AA伴随矩阵

9、伴随矩阵(j zhn): A为为n 阶方阵阶方阵|000|0|00|AAA EA111211121121222122221212nnnnnnnnnnnnaaaaaaaaa AAAAAAAAA第34页/共133页第三十五页，共133页。36T*()()nnjiijnnnnAAAAAAAAAAAA112111222212称称为矩阵为矩阵(j zhn)A(j zhn)A的伴随矩阵的伴随矩阵(j zhn).(j zhn).ijA第35页/共133页第三十六页，共133页。37A A= AA =AEAA(A)=( A)A =E1A1A11( *) =AAA11*,AAA1*=,AA AA为为n阶方阵阶方

10、阵(fn zhn)第36页/共133页第三十七页，共133页。38设设 A A 为数为数(wish)(wish)域域 F F 上上 n n 阶方阵阶方阵, ,则则 1. A 可逆可逆A 02. A 可逆时可逆时, , A1=*1AA111AA= A AE1AA= E第37页/共133页第三十八页，共133页。39*11()()|AAA AEAA*|AAA A E1*1|AAA 在在|A| 0时时, ,11( *) =AAA |A| 0, *A第38页/共133页第三十九页，共133页。40A A0 0 时时, , 称称 A A 为非奇异为非奇异(qy)(qy)阵阵第39页/共133页第四十页，

11、共133页。41abcdA|0adbcAA 11dbcaadbcA第40页/共133页第四十一页，共133页。42求满足求满足(mnz)(mnz)矩阵方程矩阵方程 AX=B AX=B 的矩阵的矩阵 X, X, 12283212 ,59221215AB A=-270,1*1AAA12212129221X =A- -1B =2/9 17/37/9-5/3 28/9 1/3其中其中(qzhng)(qzhng)第41页/共133页第四十二页，共133页。4311 A23,(3),nn AAA,AEB0 1 00 10B()nn AEB122(1)2nnnnn nn EBBB！34(3)nn0BBB20

12、 0 10 0 ,0B第42页/共133页第四十三页，共133页。44122(1)2nnnnn nnAEBB！2222212, A323323333 A121(1)2nnnnnnn nnn ！第43页/共133页第四十四页，共133页。45A 0 在在|A| 0时时,11( *) =AAA*11AAA第44页/共133页第四十五页，共133页。46第45页/共133页第四十六页，共133页。47 第46页/共133页第四十七页，共133页。48cicj ci cicjcii 第47页/共133页第四十八页，共133页。49A B第48页/共133页第四十九页，共133页。50 性质性质(xng

13、zh): A 与与 A 等价等价(dngji);AB，B C，AC初初 若若A B，A B ABAB且且第49页/共133页第五十页，共133页。51A310215013244000076000000第50页/共133页第五十一页，共133页。52A100207013200000019000000第51页/共133页第五十二页，共133页。53,rE000r000EA即即第52页/共133页第五十三页，共133页。54,rr pnmm pns rs ps nEEEE000000第53页/共133页第五十四页，共133页。551 任一矩阵任一矩阵(j zhn)A都可经初等行变换化成都可经初等行变

14、换化成行阶梯形行阶梯形;2 任一矩阵任一矩阵A都可经初等都可经初等(chdng)行变换化行变换化成行最简形成行最简形;3 任一矩阵任一矩阵(j zhn)A都可经初等变换化成都可经初等变换化成标准形标准形.A 行阶梯形行阶梯形行行行行A 行最简形行最简形A标准形标准形初初rE000第54页/共133页第五十五页，共133页。56 3 2 3 4 5 93 1 0 2 1 50 1 3 2 6 106 4 6 8 12 243 2 3 4 5 90 1 3 2 4 40 0 0 0 2 60 0 0 0 0 01 0 -1 0 0 10/30 1 3 2 0 -80 0 0 0 1 30 0 0

15、0 0 01 0 0 0 0 00 1 0 0 0 00 0 1 0 0 00 0 0 0 0 0行行行行列列行阶梯形行阶梯形行最简形行最简形标准标准(biozhn)(biozhn)形形E3 00 0=第55页/共133页第五十六页，共133页。57第56页/共133页第五十七页，共133页。58祝大家祝大家(dji)(dji)国庆节快国庆节快乐乐预习预习(yx)2.4,2.5(yx)2.4,2.5第57页/共133页第五十八页，共133页。59设设A, B是三阶是三阶(sn ji)方阵，方阵，, A2.AABAE320( ) ;( );( );().ABCD112222AB （ ）. .由由

16、 AABAE32() A AB AE2 A AB AE2()32 AB2AABAE320第58页/共133页第五十九页，共133页。60AAAA AAAAAAA11第59页/共133页第六十页，共133页。61设设A是是n 阶方阵阶方阵(fn zhn)，*.nAA1*AA为为的伴随矩阵的伴随矩阵,试证试证:由由,AAA AA E下面分三种情况下面分三种情况(qngkung)讨论讨论:0,A(1)若若*.nAA1(2)若若0A且且,A0*,A0*0.nAA1显然结论显然结论(jiln)成立成立:nA AA有有第60页/共133页第六十一页，共133页。62(3)若若0,A而而,A0下面下面(xi

17、 mian)证明证明*0.nAA1反证反证(fnzhng):若若*0,A*() , A1*A()() 11AAAA A0() A10AAAA EA0*0.nAA1*.n1AA第61页/共133页第六十二页，共133页。63第62页/共133页第六十三页，共133页。64 划去划去A的某些行或列后剩下的元素，的某些行或列后剩下的元素， 按原顺序构成的矩阵称为矩阵按原顺序构成的矩阵称为矩阵A的的一一 个子矩阵个子矩阵. 第63页/共133页第六十四页，共133页。65A的的非零子式的最高阶数非零子式的最高阶数r记作记作: : r( (A) )= =r并规定并规定: : ( (0) )= =0.,

18、,A1472583690, 143253 3阶子式只有一个阶子式只有一个, ,且且 , ,所以所以0Alr(A)=rA中存在一个中存在一个(y )r阶非零子式阶非零子式,但但l 其中任意其中任意r+1阶子式都等于零阶子式都等于零. (A)=2. A的的: :第64页/共133页第六十五页，共133页。66若若 A A 是是m mn n 矩阵矩阵(j zhn)(j zhn)，则，则1. 1. 0 ( (A)min)minm,n 2. 2. ( (AT) = ) = ( (A) )3. 3. ( (kA)=)=0 k= =0( (A) ) k04. 4. ( (A1)( (A),(),(A1为为

19、A的子阵的子阵) ) 第65页/共133页第六十六页，共133页。67 求法求法: : 初初1.2.行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵(j zhn)的秩的秩=非零行的个数非零行的个数.第66页/共133页第六十七页，共133页。68n nnrn（）= AAE()m nmm n mrm 0（）（） ,AAE称称()nm nm nnrnEAA（）0,称称n方阵方阵(fn zhn)A可逆可逆0rnAA（ ）,称称为为第67页/共133页第六十八页，共133页。6900ijab，111212122212nnnnnna ba ba ba ba ba bra ba ba bAA，（）,( )1rA111122()n

20、nnna ba ba bAA并求并求nA1212nnaabbbaA可求可求第68页/共133页第六十九页，共133页。70*n nrrrnrAAAAAA，（ ），（），（ ），（） ？ ？ 4 42100*, , m nmnEABEBA m n为任意数为任意数.第119页/共133页第一百二十页，共133页。121nnnnnnnn nnnn nxyxyxyxyxyxyxyxyxyxyxyxyEx yx yx yx yx yx y1 11 211 11 212 12 222 12 221212111nnnnnnx yx yx yx yx yx yx yx yx y111212122212111第

21、120页/共133页第一百二十一页，共133页。122nnnxxEyyyx1212nnx yx yx y11221nnxxEyyyx12112nnx yx yx y 11221第121页/共133页第一百二十二页，共133页。123 设设 （5 5）()()Arr Ar BB00( ), ( )r Ar r Br12,P P Q Q1212,rrEEP AQP BQ121122000000第122页/共133页第一百二十三页，共133页。124APQBrrEP AQEP BQ1211220000000000000000令令,PQPQPQ1122PQAPQB1122000000ArB( )( )

22、rrr Ar B12第123页/共133页第一百二十四页，共133页。125（6 6）()()ACrrArBB0 设设 ( ), ( )r Ar r Br12则存在可逆阵则存在可逆阵 使使,P P Q Q1212,rrEEP AQP BQ121122000000令令,PQPQPQ1122第124页/共133页第一百二十五页，共133页。126=Er1 0 0 0 0 0 Er r2 2 00 0 0 0P1CQ2ACPQB0PQACPQB112200000P AQPCQP BQ1112220()()ACrrArBB0第125页/共133页第一百二十六页，共133页。127r11111 0 00

23、 0040 0 000 0 r Ar B 2( )( )Ar Ar BrB00()A Brr A BB0（7 7）()( )( )r A Br Ar B第126页/共133页第一百二十七页，共133页。128（8 8）r（A+B）r（A）+ +r（B）r( (A) )= =r( (A,0) )= = r（A,AB） r( (AB) )rr1 01 030 10 0 AA A Br Ar Brrr A BBB000()rr A B2 020 1（9 9）min,rABrAr B( )()BBr Brrr ABAB0第127页/共133页第一百二十八页，共133页。129r( (A) )+ +r( (B) )且且 AB = 0时，时，（1010）A为为 矩阵，矩阵，B为为 矩阵矩阵, ,则则()( )( )r ABr Ar Bn( )( )r Ar BnmnnpAABrrE B