证明数列不等式的常用放缩方法技巧不含答案精减版

1、证明数列不等式的常用放缩方法技巧证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而 充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而 成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往 往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进 行恰当地放缩；具放缩技巧主要有以下几种： 添加或舍去一些项，如：-; a； ”（n 1） n将分子或分母放大（或缩小）利用 基本不 等式，如：lg 3 lg 5 (lg/lg5)2 lgV15lg/6 lg4 ; n (n 1) n(n 1)二项式放缩：2n (1 1)n C0 C；cn,

2、 2n C： Cn n 1,2cn2n C0 C： c2 nn-2 n(n 1)(n 2)2(5)利用常用结论：I .工的放缩：L 22_2kk k 12. k k k 1n . 5的放缩（1）1(程度大)k(k 1) k2k(k 1)工的放缩（2） : 口二k2k k 11一1(，)(程度小)(k 1)(k 1) 2 k 1 k 1IV.1的放缩(3) k2.1 q 2(二L)(程度更小)k2 4k2 1 2k 1 2k 1V .分式放缩还可利用真（假）分数的性质：b U（b a 0,m 0）和 a a m，bb m /一 （a b 0, m 0）aa m记忆口诀“小者小，大者大”。解释：看

3、b,若b小,则不等号是小于号，反之亦然.VI.构造函数法 构造单调函数实现放缩。例:f (x)x (x1 x0),从而实现利用函数单调性质的放缩：f(a b) f(ab)。先求和再放缩例1. aSn 11，前n项和为Sn ,求证: n (n 1)例2. a针，前n项和为S,求证:1 sn2先放缩再求和(一)放缩后裂项相消an ( 1)n 11例3.数列an ,n ,其前n项和为sn(二)放缩后转化为等比数列。2例 4bn满足.b11，bn1bn(n2)bn3(1)用数学归纳法证明:bn111113 bl3 b23 b33 bn ,求证：Tn 万(2)三、裂项放缩例5.(1)求n 1)(1 k

4、1) ° )3 加 1.的值;(2) 求证：n ± 5. 4k2 1k 1 k23例6.(1)求证：1工工32521(2n 1)22(2n 1)(n 2)求证：1工1 工1。4 16 36 4n22 4n求证：2( n 1 1) 111231Jn2( 2n 1 1)例7.求证： 6n 1111512(n 1)( 2n 1)4 9 n23例 8.已知 an 4n 2。，T* r2nna1a2，求证 : T T2 T3四、分式放缩姐妹不等式：b ab m(b a a m0, m0)和 b b jm(a a a mb 0, m0)记忆口诀”小者小，大者大”解释：看b,若b小，则不

5、等号是小于号，反之亦然.例9.姐妹不等式:(1 1)(1111.禾口)(1 -)(1 ) 2n 1 H35 2n 11111(1 2)(1 严 i) (1 五)二也可以表示成为2n 12 4 6 2n 而1 3 5(2n 1)例10.证明:(1彳和 13 5(2n 1)12 4 62nT2n 1 11 *五、均值不等式放缩例 11.设 sn jf_2、23n(n1).求liE n(n 1)Sn(n 1)22a>0,b>0,若4,且f(x)在0, 1上的最大值为f (1)5例12.已知函数f(x) 1bx1 a 21,2求证:f(1)f(2)f(n)六、二项式放缩Cn, 2n c0

6、cn n 1,2nC0 C；Cn2n2 n 222n n(n 1)(n2)5n 6-6例 13.设 n 1,n N,求证 (2)n83，(n 1)(n 2)例14.an 2 3n ,试证明：.Jn工。川工4n 2 31a2an 4七、部分放缩（尾式放缩）例 15.求证：,_J_1431 3 2 13 2n 1 1 72.例16.设an 1 £M 2求证:2 3n八、函数放缩例17.求证:ln2 ln3r tln 4Tln 3n3n丁*(n N ).例18.求证:ln 2 2,ln33In nn2n22(nn 1 (n 2)1)例19.求证:1 ln(n n 11) 1九、借助数列递推关系例 20.若 a1 1,a1,求证：1131322(1)1 3 5(2n 1)2