信号与系统关于拉普拉斯变换初值问题讨论ppt课件

1、关于拉普拉斯变换初值问题的讨论孙怿 菅骁翔 王宇 常保君一、问题的提出 关于利用拉普拉斯变换求解系统初值问题书中只给出了一种比较简单的情况，即时域函数在零时辰有界时的求解方法。很遗憾，对于在零时辰存在冲击情况下的初值问题，这种方法并不适用。而这种问题又是大量存在的，所以我们以为有必要并且希望可以给出关于这一问题的一个具有普遍性的结论。二、问题的分析 首先，我们讨论在零时辰存在冲击函数及其导数的情况 设 并且作出如下规定：g(t)在零时辰有界，g(t)在零时辰以前为0，g(t)满足拉普拉斯变换的条件。 显然，这三条要求并不过分。 对这个函数进展拉普拉斯变换，即有( )0( )( )( )mkkk

2、f tg tct( )0( )000( )0000( )000( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )|mkkkmkstkkmkststkkmkstkksF sc sLtsL g tc sLtsg t edtc sLtsg t edtg t edtg tc sLtssg t edts我们曾经假设，这里的g(t)是有界的，而且由假设，g(t)在零负时辰应该为0，冲击函数的积分可以直接算出，那么可得以下结果100( )(0 )( )mkstkksF sc sgsg t edt 显而易见，系统在零正时辰的外形一定是一个可观丈量，也就是说，不论系统在零时辰阅历了多么猛烈的变化

3、，在零正时辰的外形总是有界的，从而可以看出，真正反映出系统在零正时辰外形的只是非奇特项g(t)。 当然，当s趋于无穷时，上式的最后一项一定是收敛的，而第一项一定是发散的，假设要让g(t)取一个可以接受的值，只能 寄希望于 是收敛的。 而现实上，由物理上的直观分析，知道这个极限一定是存在的，所以，系统在零正时辰的外形可由此得出：10( )mkkksF sc s10(0 )(0 )( )limmkkskfgsF sc s此即系统在零正的外形。三、进一步讨论 由上面所得的结果可以看出，决议系统的零正时辰的外形的，只是拉普拉斯变换中与1/s同阶的部分，这很容易使我们联想到留数定理，在留数定理中，回路积

4、分的值也是只与劳伦特级数中变量的1次方有关。我们可以猜测，这种联络有可以为我们提供一个较为普遍的根据拉普拉斯变换求解系统零正外形的方法。 我们想象，可否直接根据留数定理求出系统在零正外形的呼应，即猜测如下关系成立： 我们希望这个简约的关系是正确的，察看一下，显然，当sF(s)的劳伦特级数展开只含有有限多个正幂项时，这个式子是正确的，由于这个式子可以明确的分解为一个多项式和一个与1/s同阶的部分，我们所关怀的，自然是这个式子在级数含有无限多个正幂项时成立。很遗憾，这个关系不一定总是成立。(0 )( )fres sF s 作为一个根本的要求，无论这个级数的方式如何，至少它也应该是一个可以接受的时域

5、函数的变换，换句话说，它的拉普拉斯逆变换至少应该存在，而不至于处处发散到无穷。 设 求其逆变换( )kkkF sa s1( )2jkstkjkf ta s edsj 值得留意的是，这里积分顺序不能交换，由于积分不一定收敛。想要f(t)有意义，我们就必需求求这个积分收敛，即级数是指数界的，易得 这个式子很好了解，由于指数函数的展开系数是阶乘的倒数，所以要求其他的函数的展开系数不能是比阶乘的倒数低阶的无穷小，从而导出上面的关系。_10limnnnnaa_10limnnnnaa 在这个要求下，积分收敛，利用留数计算是有意义的。也即是说，只需F(s)是指数界的，我们就可以用留数来进展求解，得到的极限就是零正外形。这个条件其实是很宽松的，由于我们普通不会遇到非指数阶的函数，这个结论几乎总是对的。刚刚的约束条件的用途就是当无法经过察看判别F(s)能否为指数阶时的一种替代的方法