傅里叶变换应用于通信系统

1、早节教学目的日期第五章傅里叶变换应用于通信系统 1,3,4节 无失真传输和理想低通滤波器教学重点无失真传输和理想低通滤波器教学难点"无失真传输和理想低通滤波器 教学方法"讲授教学内容第五章傅里叶变换应用于通信系统5.1引言为进一步研究系统滤波特性，弓I出傅里叶变换形式的系统函数。若：Fr(t) R( );Fh(t) H( );Fe(t) E()引用傅里叶变换时域卷积定理可得出：R( ) H( )E( )(5-1)这里，H()也称为系统函数，但以傅里叶变换形式给出。也可表示为j的函数，只是函数变量表示形式不同，对于稳定因果系统(不包括临界稳定)，将H(s)中的变量s以j取代，

2、即可写出H(j )。5.3无失真传输信号通过系统后，一般情况下系统的响应波形会与激励波形不同，即信号在传输过程中将产生失真。线性系统引起的信号失真来源于两方面因素，一是系统对信号中各频率分量的幅度产生不同程度的衰减，使响应各频率分量的相对幅度产生变换引起幅度失真；二是系统对各频率分量产生的相移与频率不成正比，使响应的各频率分量在时间轴上的相对位置产生变化引起相位失真。即取决于系统电路如图5-1(a)线性系统幅度失真和相位失真都不产生新的频率分量，这与非线性系统有本质差别。 信号通过线性系统发生波形的改变和频谱的改变，直接取决于系统本身的传输特性,的冲激响应或其系统函数。下面以阶越信号通过 RC

3、低通滤波器为例，讨论信号波形通过系统产生失真的问题。 所示。由(5-1)可知:Uc(j )阶越信号傅氏变换：Fu(t)H( )H(s)|s j则有：H(j )u(j )(j )11 j RCUc(j )(j(j )1 j RC图5-1 RC电路的滤波11 j RC1j (1 j RC)(j )1RCUc (t) u(t) e RCu(t)1(1 e RC)u(t)取傅氏逆变换:相应的波形如图5-1(b)。波形失真的原因是由于电路的幅频特性和相频特性不满足无失真传输的条件。信号的无失真传输：指响应信号与激励信号相比，只是大小(幅度)与出现的时间(时间的延迟) 不同，而无波形上的变化。即，无失真传

4、输的条件：r(t) Ke(t t。)(5-2)下面讨论为满足上式，对系统函数的要求。设响应与激励信号的傅氏变换分别为R(j),E(j)，有傅氏变换的延时定理上式可以得出而由上节有：R(j )KE(j)e jt0所以：R(j )H(j)E(j )j toH(j )Ke上式就是系统实现无失真传输必须具备的条件。该系统函数的幅值和相角分别为:|H(j )| K(j ) to(5-3)(5-4)上式表明，为实现无失真传输，在全部频带内，系统函数的幅频特性应为一常数，而相频特性应为通过原点的直线。如图5-2所示。物理概念上的解释：由于系统函数的幅度为常数，因此响应中各频率分量幅度的相对大小将与激励信号的

5、情况一样，因而没有幅度失真。要保证没有相位失真， 必须使响应中各频率 分量与激励中各对应分量滞后相同的时间，这一要求反映到相位特性是一条通过原点的直线。由于系统的冲激响应h(t)是系统函数 H(j )的傅氏变换。对式(5-3)取傅氏逆变换，得：|H(j )|()toh(t) K (tto)上式表明，无失真传输系统的冲激响应也是冲激信号，它是输入冲激信号的K倍，并延时了 t0时间。5.4理想低通滤波器(一)理想低通滤波器的频域特性和冲激响应实际系统的系统函数其幅频特性不可能在无限大的频宽中保持常数，在工程中 无失真传输的含义是传输带宽与信号有效带宽相匹配，即在有限频宽中保持常数， 这就是理想低通

6、滤波器。所谓理想就是将滤波网络的某些特性理想化而定义。理想 滤波器可按不同的实际需要从不同角度给予定义，最常用到的是具有矩形幅度特性 和线性相移特性的理想低通滤波器。这种低通滤波器将低于某一频率c的所有信号|H(j )|(a)予以传送，而无任何失真，将频率高于这一值的信号完全衰减，如图5-3。c称为截止频率。相移特性满足无失真传输要求，是通过原点的直线。其网络函数表示式 为：H(j)|H(j )|ej ( 其中，1cc|H(j )| o其他；()t(b)图5-3理想低 通滤波器特性低通滤波器的冲激响应：对上式进行傅氏逆变换，可求得网络的冲激响应:h(t) F1H(j )H(j )ej tdcS

7、in c(tto)c(t t°)c Sace i，oej *dcc(t to)波形如图5-4所示，是一个峰值位于 t0时刻的抽样函数。从上式可以看出，响应先于激励而出现， 实际当然不可 能出现。“未卜先知”情况是由于采用了实际上不可能实现 的理想化传输特性所致。(二)理想低通的阶跃响应 已知理想低通滤波器的网络函数：H(j )又已知阶越信号的傅氏变换:Fu(t)(j因此:R(j ) H(j )E(j )(j对上式求逆变换:1r(t) F R(j)(j(j1 ej (t Qj(t t。)c其他ejt0ejt0ej)ej (t to)dtd(tt。)d上式第一项由冲激函数筛选特性可进行化

8、简，第二项可利用欧拉公式进行转化，得到:c c0S (t t0)d 12泅(t to)d该式第一项积分为奇函数，积分为零。后一项积分为偶函数，有:r(t) 1 1 0cS (t 叫x (tt0) 12乂 to) sin x , dx0x正弦积分:Si(y):沁 dx0 xo增长，以后围绕 起伏，并衰2其波形见书P277。可看到该函数为奇函数，随自变量增大，函数值从sin x减趋向于，各极值点与抽样函数零点对应。因此阶跃响应可写作：P277图5-11(b)。2x1 1r（t） Si c（t t。）2定义输出由最小值到最大值所需时间为上升时间tr ,由图可知：tr（带这里，B c是将角频率折合成频

9、率后的滤波器带宽。由图可以看出，上升时间与系统的截止频率2宽）成反比。一般讲，阶跃响应的上升时间与带宽不能同时减小，对不同的滤波器二者之积为不同的具有下限的常数值，这将由著名的“测不准理论”所决定。备 注一比亠早节第五章傅里叶变换应用于通信系统7-8节日期教学目的理解调制与解调基本原理，掌握调幅信号作用于带通滤波器的情况 教学重点"调制与解调基本原理教学难点调幅信号作用于带通滤波器教学方法讲授教学内容5.7调制与解调无线电通信系统是通过空间辐射方式传送信号的,由电磁波理论可知,天线尺寸为被辐射信号波长的十分之一或更大些，信号才能有效地被辐射。对于语音信号来说，相应 的天线尺寸要在几十

10、公里以上，实际上不可能制造这样的天线。调制过程 将信号频谱搬移到任何所需的较高频率范围，这就容易以电磁波形式辐射 出去。另一方面，如果不进行调制而是把被传送的信号直接辐射出去，那么 各电台所发出的信号频率就会相同，它们混在一起，收信者将无法选择所 要接受的信号。调制作用的实质是把各种信号的频谱搬移，使它们互不重 叠的占据不同的频率范围。调制就是用一个信号去控制另一个信号某一参数的过程。例如正弦信 号f(t) Asin( t)有三个参数：振幅 A，频率 ，相位 。若被控参数是A，称为调幅(AM)；被控参数是，称为调频(FM)；被控参数是，称为调相(PM或 M )。在通信系统中，为实现信号的传输，

11、往往需要进行调制和解调。5.7.1调制原理调制原理及相应的波形频谱如图5-5所示。设定：载波信号为cos( ot)，调制信号g(t)的傅立叶变换为 G()， 已调信号表示为 f(t)。因此，可以得到：f (t) g(t)cos( ot)1Ff(t) F( )G( )* ( o)( o)2g(t)cos( ot)cos( ot) (a)1G()m 0(b)1G()(o)(o)tmoJ2G()1/ 0 0 0 m(d)图5-5调制原理0 (0)1G( o) G(o)2可见，信号的频谱被搬移到了载频0附近。5.7.2解调原理由已调信号f(t)恢复原始信号g(t)的过程称为解调。图5-6给出实现解调的

12、一种原理方框图。这里COs( ot)是接受端的本地载波信号，它与发送端的载波同频同相。由图可知：go(t) g(t)COs( ot) COs( ot)1g(t)1 cos(2 ot)211g(t)g(t)cos(2 ot)22因此：11Go( ) G( )G(2 o) G( 2 o)24再利用一个低通滤波器(带宽大于m，小于2 0m ),滤除在频率为2 0附近的分量，即可取出 g(t)，完成解调。g(t)15.8带通滤波系统的应用为完成调幅信号的传输，往往要遇到调幅信号作用于带通 滤波器而求其响应的问题， 下面举例说明这种情况下响应信号 的特点。例5-1已知带通滤波器转移函数为H(s)V2(s

13、)Vi(s)2s(s 1)21002激励信号为v1 (t) (1 cost)cos(100t)，求稳态响应v2(t)。 解：激励信号vjt)表示式可展开成11V1 (t)cos(100t)-cos(101t)- cos(99t)22显然，可以分别求此三个余弦信号的稳态响应，然后叠加。为此，由H(s)写出频响特性：000J(0)(i0)0001 ” fG()C1 /1 I1 m0m1/2 fIfG()/2*m0m(b)图5-6解调原理(a)1 t F()2H(j )2j2 2(j 1)1002j2 2(j ) 2j 1001002( 100)( 100) j考虑研究的频率范围仅在100附近，因此

14、:1002 ，于是H(j利用此式分别求系统对三个余弦激励信号的响应,于是写出响应:1 j(100)H(j100)112j 45H (j101)e j1 j2H(j99)1-2j45e1 j21逅V2(t)cos(100t)-cos(101t45 ) cos(99t 45 )为此写出:见图P291，由于频响特性 H(j )的影响使信号频谱产生的变化，可以看到，此带通系统幅频特性在同带内不是常数，因而，相应信号的两个边频分量相对于载频分量有所削弱，而且产生了45的相移。备 注1、系统无失真传输的条件；2、理想低通滤波器的冲激响应及阶跃响应；3、调制与解调的基本原理。仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途。For personal use only in study and research; not for commercial use.Nur f u r den pers?nlichen f u r Studien, Forschung, zu ko