偏导数的几何意义

1、偏导数得几何意义? 实验目得 ：通过实验加深学生对偏导数定义得理解掌握偏导数得几何意义并从直观上理解 二阶混合偏导数相等得条件 ? 背景知识 :一 偏导数得定义在研究一元函数时、我们从研究函数得变化率引入了导数概念、对于多元函数同样需要讨 论它得变化率、但多元函数得变化量不只一个 , 因变量与自变量得关系要比一元函数复杂得 多、所以我们首先考虑多元函数关于其中一个自变量得变化率，以二元函数 = 为例，如果 只有自变量变化 ,而自变量 y 固定 ( 即瞧作常量)，这时它就就是得一元函数 ,这函数对 x得导数，就称为二元函数Z对于得偏导数，即有如下定义定义 设函数 z= 在点 得某一邻域内有定义，

2、当 y 固定在 ，而 在 处有增量 时,相应得 函数有增量如果(1)存在，则称此极限为函数=在点 处对 得偏导数，记做, ， ,或例如，极限 (1) 可以表为类似得，函数z=在点处对得偏导数定义为记做 ， 或如果函数 = 在区域 D 内每一点 ( ) 处对 得偏导数都存在，那么这个偏导数就就是 得函数， 它就称为函数 = 对自变量 得偏导函数 ，记做， ， ，或类似得 ，可以定义函数 = 对自变量 得偏导函数 ，记做， ， ，或由偏导数得概念可知， 在点 处对 得偏导数 显然就就是偏导函数 在点 处得函数值，就 像一元函数得导函数一样，以后在不至于混淆得地方也把偏导函数简称为偏导数、至于求 =

3、 得偏导数 , 并不需要用新得方法，因为这里只有一个自变量在变动，另外一个自 变量瞧作就是固定得 ,所以仍旧就是一元函数得微分法问题 , 求 时,只要把 暂时瞧作常量而 对 求导 ; 求 时，则只要把 暂时瞧作就是常量，而对 求导数、偏导数得概念还可以推广导二元以上得函数， 例如三元函数 在点（ ） 处对 得偏导数定义为其中（ ） 就是函数 得定义域得内点，它们得求法也仍旧就是一元函数得微分法问题例 求 得偏导数解 = ，二 偏导数得几何意义二元函数 = 在点 得偏导数得几何意义设 为曲面 = 上得一点 , 过 点作平面 ,截此曲面得一曲线，此曲线在平面上得方程为= , 则导数 ，即偏导数 ，

4、就就是这曲线在 点处得切线 对 轴得斜率、同样 ,偏导数 得几 何意义就是曲面被平面 所截得得曲线在点 处得切线 对 得斜率三 偏导数得几何意义我们知道 , 如果一元函数在某点具有导数 ,则它在该点必定连续，但对于多元函数来说,即使各偏导数在某点都存在， 也不能保证函数在该点连续、 这就是因为各偏导数存在只能保证点P沿着平行于坐标轴得方向趋于 P时，函数值 趋于，但不能保证点P按任何方式趋于P时, 函数值 都趋于 、例如，函数=在点（0,0 ）对得偏导数为同样有0） 并不连续但就是我们在前面得学习中知道这函数在点（0,四 二阶混合偏导数设函数 = 在区域 D 内具有偏导数那么在 D 内 ， 都

5、就是 得函数、 如果这里两个函数得偏导数也存在 , 则它们就是函数 二阶偏导数 , 按照对变量求导次序得不同有下列四个二阶偏导数:其中第二 , 第三个偏导数称为混合偏导数例 2 设 , 求 , ， ，从例子中，我们瞧到两个二阶混合偏导数相等, 即, =我们再瞧用m aple作求得图形第一个图形为第二个图形为从图中我们瞧到两个连续得偏导函数，它们就是相等得这不就是偶然得 , 事实上我们有下述定理定理 如果函数 = 得两个二阶混合偏导数 及 在区域 D 里连续 , 那么在该区域内这两 个二阶混合偏导数必定相等换句话说，二阶混合偏导数在连续得条件下与求导得次序无关> < T (> E 11lie* Imx Pp* "4j4 .Ixyg Qo 4 些亡.4 fC Maple in冲 阳亦叩知丁'. 0 0 0> (MffUa X)；3rV<3/> diff(«. y);“f-1> I ipHci tpl