两种基本积分法ppt课件

1、目录 上页 下页 返回 结束 二、分部积分法二、分部积分法第三节一、换元积分法一、换元积分法两种基本积分法 第三章 目录 上页 下页 返回 结束 第二类换元法第二类换元法基本思路基本思路xxxfd)()(uufd)(第一类换元法第一类换元法设, )()(ufuF)(xu可导,xxxfd)()(CxF)()(d)(xuuuf)()(xuCuF)(dxFxxxfd)()(则有第一类换元法第一类换元法目录 上页 下页 返回 结束 1. 不定积分的换元法则不定积分的换元法则(I)定理定理3.1xxxfd)()(uufd)()(xu)(d)(xxf(也称配元法, 凑微分法)即xxxfd)()(f设是连续

2、函数，值域含于f 的定义域，那么j有连续的导数，且j目录 上页 下页 返回 结束 例例1. 求求).1(d)(mxbxam解解: 令令,bxau那么,ddxau 故原式原式 =muuad1a1Cumm1111)() 1(1mbxamaC注注: 当当1m时bxaxdCbxaaln1注意换回原变量目录 上页 下页 返回 结束 221d1( )xaxa例例2. 求求.d22xax解解:22dxax,axu 令那么xaud1d21uuda1Cuaarctan1Caxa)arctan(1想到公式21duuCu arctan( )xa目录 上页 下页 返回 结束 例例3. 求求).0(d22axax21d

3、uu想到Cu arcsin解解:2d1 ( )xaxa)(d)(xxf(直接配元)xxxfd)()(2d( )1 ( )xaxaCax arcsin22dxax目录 上页 下页 返回 结束 例例4. 求求.dtanxx解解:xxxdcossinxxcoscosdCx cosln?dcotxxxxxsindcosCx sinlnxxsinsindxxdtan类似目录 上页 下页 返回 结束 Caxaxaln21例例5. 求求.d22axx解解:221ax )(axax)()(axaxa21)11(21axaxa 原式原式 =a21axxaxxdda21axax)(d a21ax lnax lnC

4、axax)( d目录 上页 下页 返回 结束 例例6. 求求.)ln21 (dxxxxln21xlnd解解: 原式原式 =xln2121)ln21 (dxCx ln21ln21例例7. 求求3sin.xdx3sin xdx解解:2sincosxdx= -2(1cos) cosx dx= -313coscosxxC= -+目录 上页 下页 返回 结束 例例8. 求求.de3xxx解解: 原式原式 =xxde23)3d(e323xxCx3e32例例9. 求求.dsec6xx解解: 原式原式 =xdxx222sec) 1(tanxtandxxxtand) 1tan2(tan24x5tan51x3ta

5、n32xtanC目录 上页 下页 返回 结束 例例10 求求.e1dxx解法解法1xxe1dxxxxde1e)e1 (xdxxe1)e1 (dxCx)e1ln(解法解法2 xxe1dxxxde1exxe1)e1 (dCx)e1ln()1(elne)e1ln(xxx两法结果一样两法结果一样目录 上页 下页 返回 结束 xxxsindsin11sin1121例例11. 求求.dsecxx解法解法1 xxdsecxxxdcoscos2xx2sin1sindxsin1ln21Cxsin1lnCxxsin1sin1ln21目录 上页 下页 返回 结束 xxtansec解法解法 2 xxdsecxxdse

6、cxxtansec )tan(secxxxxxxxxdtansectansecsec2)tan(secdxxCxxtansecln同样可证xxdcscCxxcotcscln或xxdcscCx2tanln目录 上页 下页 返回 结束 222d)(2123xax例例12. 求求.d)(23223xaxx解解: 原式原式 =23)(22ax22dxx21222)(aax21)(2122ax)(d22ax 23)(2222axa)(d22ax 22ax 222axaC目录 上页 下页 返回 结束 )2cos2cos21 (241xx 例例13 . 求求.dcos4xx解解:224)(coscosxx

7、2)22cos1(x)2cos21 (24cos141xx)4cos2cos2(212341xxxxdcos4xxxd)4cos2cos2(21234141xd23)2d(2cosxx)4(d4cos81xxx83x2sin41x4sin321C目录 上页 下页 返回 结束 例例14. 求求.d3cossin22xxx解解:xx3cossin22221)2sin4(sinxx xxxx2sin2sin4sin24sin24141241)8cos1 (81xxx2cos2sin2)4cos1 (81x原式 =xd41)8d(8cos641xx)2(sind2sin221xx)4d(4cos321

8、xxx41x8sin641x2sin361x4sin321C目录 上页 下页 返回 结束 xxxxe11e1xxxxxdedexxxde) 1(例例15. 求求.d)e1 (1xxxxx解解: 原式原式 =xxxxxd)e1 () 1(xexe)e1 (e1xxxx)e(d)e11e1(xxxxxx)e1 (eee1xxxxxxxx)e(dxxxxelnxxe1lnCCxxxxe1lnln分析分析: 目录 上页 下页 返回 结束 例例16. 求求.d)()()()()(32xxfxfxfxfxf 解解: 原式原式)()(xfxfxxfxfxfxfxfd)()()(1)()(2 xxfxfxfx

9、fd)()()()(22 Cxfxf2)()(21)()(d(xfxf)()(xfxf目录 上页 下页 返回 结束 常用的几种配元形式常用的几种配元形式: 1)()df axbx()f axb)(dbxa a112)()dnnf xxx)(nxfnxdn113)()dnf xxx)(nxfnxdn1nx1万能凑幂法4)(sin )cos dfxx x )(sin xfxsind5)(cos )sin dfxxx )(cosxfxcosd目录 上页 下页 返回 结束 xxxfdsec)(tan)62)(tan xfxtandxfxxde )(e)7)(exfxedxxxfd1)(ln)8)(ln

10、 xfxlnd目录 上页 下页 返回 结束 小结小结常用简化技巧:(1) 分项积分:(2) 降低幂次:(3) 统一函数: 利用三角公式 ; 配元方法(4) 巧妙换元或配元等xx22cossin1; )2cos1 (sin212xx; )2cos1 (cos212xx万能凑幂法xxxfnnd)(1nnnxxfd)(1xxxfnd1)(nxnnxxfnd)(11利用积化和差; 分式分项;利用倍角公式 , 如目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习1. 下列各题求积方法有何不同? xx4d) 1 (24d)2(xxxxxd4)3(2xxxd4)4(2224d)5(xx24d)6(xxxxx

11、4)4(d22221)(1)d(xx22214)4(dxxxxd441241xx2121xd2)2(4x)2(dx目录 上页 下页 返回 结束 xxxd) 1(1102. 求求.) 1(d10 xxx提示提示:法法1法法2法法3 ) 1(d10 xxx10)x ) 1(d10 xxx) 1(1010 xx ) 1(d10 xxx)1 (d1011xxx101x10d x10110(x10dx101作业 目录 上页 下页 返回 结束 不定积分的换元法则不定积分的换元法则II第一类换元法解决的问题难求易求xxxfd)()(uufd)()(xu若所求积分xxxfd)()(易求,则得第二类换元积分法

12、.难求，uufd)(目录 上页 下页 返回 结束 定理定理3.2 设设f是连续函数, 有连续的导数，且( ) ty)(1d)()(d)(xttttfxxf.)()(1的反函数是其中txxt证证:那么)(xf定号,那么y由于定号，故存在反函数，yy()( )( ),df x dxf xdx=() ( )( )dftt dtdxyy() ( )( )ddtftt dtdtdxyy=1 ( )( )( )ftttyyy=目录 上页 下页 返回 结束 例例1. 求求. )0(d22axxa解解: 令令, ),(,sin22ttax那么taaxa22222sintacosttaxdcosd 原式taco

13、sttadcosttadcos22Ca242sin2ttax22xa taxarcsinCxax222122atttcossin22sin2ax22axa21 cos2d2tat目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 求求. )0(d22aaxx解解: 令令, ),(,tan22ttax那么22222tanataaxtasecttaxdsecd2 原式 ta2sectasectdttdsec1tanseclnCttax22ax tln22ax a)ln(1aCCCaxx22lnxa1C目录 上页 下页 返回 结束 例例3. 求求. )0(d22aaxx解解:,时当ax 令, ),0(,sec2

14、ttax那么22222secataaxtatanxdtttadtansec 原式td ttatansectatanttdsec1tanseclnCttax22ax t1 lnCCaxx22ln)ln(1aCC22ax axa目录 上页 下页 返回 结束 ,时当ax令,ux,au 则于是22daxx22dauuCaxx22ln22daxx，时ax 122lnCauu122lnCaxx1222lnCaxxa)ln2(1aCCCaxx22ln目录 上页 下页 返回 结束 说明说明:1. 被积函数含有时，或2222axax 除采用三角1shch22tt采用双曲代换taxsh消去根式 , 所得结果一致

15、. taxch或代换外, 还可利用公式2eeshxxxCx chxxdch)15(Cx shxxdsh)14(2eechxxx2. 两个常用双曲函数积分公式 目录 上页 下页 返回 结束 例例4. 求求.21d3xx解解: 令令,23xu那么,23 uxuuxd3d2原式u123uuduuud11) 1(32uuud)111(33221uuu1lnC3223)2( x323x321ln3xC目录 上页 下页 返回 结束 例例5. 求求.d3xxx解解: 为去掉被积函数分母中的根式为去掉被积函数分母中的根式 , 取根指数取根指数 2 , 3 的的最小公倍数 6 ,6tx 则有原式23tttt d

16、65ttttd)111(626331t221ttt1lnCCxxxx)1(ln6632663令目录 上页 下页 返回 结束 原式21) 1(22ta221a例例6. 求求.d422xxxa解解: 令令,1tx 那么txtdd21原式ttd12tttad) 1(2122,0时当x42112tta Cata2223) 1(23当 x 0 时, 类似可得同样结果 .Cxaxa32223)(23) 1(d22ta目录 上页 下页 返回 结束 小结小结:1. 第二类换元法常见类型第二类换元法常见类型: ,d),() 1xbaxxfn令nbxat,d),()2xxfndxcbxa令ndxcbxat,d),

17、()322xxaxf令taxsin或taxcos,d),()422xxaxf令taxtan或taxsh,d),()522xaxxf令taxsec或taxch目录 上页 下页 返回 结束 xxdtan)16(xxdcot)17(xxdsec)18(xxdcsc)19(Cx coslnCx sinlnCxx tanseclnCxxcotcscln2. 常用基本积分公式的补充7) 分母中因子次数较高时, 可试用倒代换 ,d)()6xafx令xat 目录 上页 下页 返回 结束 xxad1)20(22xxad1)22(22xaxd1)23(22xaxd1)21(22Caxaarctan1Caxaxal

18、n21CaxarcsinCaxx)ln(22xaxd1)24(22Caxx22ln目录 上页 下页 返回 结束 设)cos,(sinxxR表示三角函数有理式 ,xxxRd)cos,(sin令2tanxt 万能代换t 的有理函数的积分三角函数有理式的积分三角函数有理式的积分那么目录 上页 下页 返回 结束 例例7. 求求.d)cos1 (sinsin1xxxx解解: 令令,2tanxt 那么222222cossincossin2sinxxxxx222tan1tan2xx212tt22222222cossinsincoscosxxxxx2222tan1tan1xx2211ttxdttd122目录

19、上页 下页 返回 结束 xxxxd)cos1 (sinsin1 2121tt212tt)1 (2211ttttd212tttd122121221tt 2tlnC2tan412x2tanxCx2tanln21212sinttx2211costtxttxd12d2目录 上页 下页 返回 结束 3. 定积分的换元法定积分的换元法 定理定理3.3 设函数设函数, ,)(baCxf单值函数)(tx满足:1), ,)(1Ct 2) 在,上,)(bta;)(,)(batfxxfbadd)()(t)(t证证: 所证等式两边被积函数都连续所证等式两边被积函数都连续, 因此积分都存在 ,且它们的原函数也存在 .,

20、)()(的一个原函数是设xfxF是的原函数 , 因此有那么baxxfd)()()(aFbF)(F)(Ftfd)(t)(tF)(tf)(t)(t那么目录 上页 下页 返回 结束 说明说明: :1) 当 , 即区间换为，时,定理 1 仍成立 .2) 必须注意换元必换限 , 原函数中的变量不必代回 .3) 换元公式也可反过来使用 , 即) )(tx令xxfbad)(或配元f)(t)(dt配元不换限tfd)(t)(ttfxxfbadd)()(t)(ttfd)(t)(t目录 上页 下页 返回 结束 例例1. 计算计算).0(d022axxaa解解: 令令,sintax 那么,dcosdttax ;0,0tx时当.,2tax时 原式 =2attad)2cos1 (2202)2sin21(22tta0242a20ttdcos2O22xayxyaS且目录 上页 下页 返回 结束 例例2 2 计算计算解解.sin