2022年新高考数学必刷压轴题专题55：割补法与等积变换求解体积问题

1、专题55割补法与等积变换求解体积问题【方法点拨】1 .利用等积变换求解三棱锥的体积问题，归根结底就是“换顶点（或换底面）"，换顶点 的常用方法有二.一是直接换，即从四个顶点选择一个点作为顶点，选择的基本原则是 点面距易求，如出现线面垂直等；二是利用线面平行更换顶点，由于该直线上任意一点 到平面的距离均相等，换完后依然是便于求出点面距.当然，有时还会遇到利用与平面相交的直线上的点换顶点等不一而足.2 .利用求体积可以求点面距，其数学方法是“算两次”【典型题示例】例1 在正方体？?-?中，动点E在棱？?让，动点F在线段？?上，。为底 面ABCD的中心，若？?= ? ?= ?则四面体？?-

2、 ?体积（）A.与x, y都有关B.与x, y都无关C.与x有关，与y无关D.与y有关，与x无关第1页共8页【答案】B【分析】利用线面平行换顶点，化动为静.【解析】易知， AC"平面AOE ,故四面体O AEF即四面体F AOE与四面体 A AOE同底等高，即V四面体O AEF =V四面体A AOE同理，BBi I平面AAO，故四面体 AAOE即四面体E AA1O与四面体B AAO同底等高,即V面面体A1 AOE =V四面体BAAiOy都无关.所以%面体O AEF =V四面体B AAiO=V四面体O AAi B，故与 x,例2如图所示，在多面体 ABCDEF中，已知四边形 ABCD是

3、边长为1的正方形，且ADE、 BCF均为正三角形， EF/AB, EF 2 ,则该多面体的体积为（）JiB.33A 2【答案】AD.【分析】将物体切割成一个三棱柱，两个三棱锥分别计算体积1_【解析】在EF上取点M , N使EM FN ,连接AM ,DM , BN,CN ,2ABCD是边长为1的正方形，且&ADE、ABCF均为正三角形， EF / AB ,所以四边形ABFE为等腰梯形，EF 2, MN 1,根据等腰梯形性质，AM EF, DM EF,BN EF,CN EF ,AM ,DM是平面amd内两条相交直线，BN,CN是平面BNC内两条相交直线,所以EF 平面AMD , EF 平面

4、BNC ,c ,3MA MD NB NC ,2几何体体积为V 2Ve AMD VAMD BNC1 1 d ，3 21 2 11.3212 d .2-1 J -2 - 1 J -1 ，3 2,2222223故选：A如图，在长方体ABCD ABCQ 中，ABAD 3cm, AA1 2cm ,则四棱锥A BB1D1D的体积为 cm3.【答案】6cm3【解析】如图所示，连结 AC交BD于点O ,因为平面ABCDBB1D1D,又因为AC BD ,所以，AC 平面 BB1D1D ，3 2 6cm3.2AB/DC,例4如下图，四棱锥P ABCD中，PD所以四棱锥A BB1D1D的高为AO,根据题意AB AD

5、 3cm,所以AO又因为BD 3<2cm, AA1 2cm,故矩形BB1D1D的面积为6杉cm2,从而四棱锥A BB1D1D的体积V 1 6<23平面 ABCD , PD DC BC 1,AB 2,先证明 PC BC ,而所求点 A到平面PBC的距离，需利用“算两次”，求出三 ABC的体积即可.因为PD 平面ABCD , BC 平面ABCD ,所以 PD BC .由 BCD 90，得 BC DC.第3页共8页又PD DC D , PD 平面PCD , DC 平面PCD ,所以BC 平面PCD , 因为PC 平面PCD,所以PC BC .连结AC .设点A到平面PBC的距离为h.因为

6、 AB/DC, BCD 90 ,所以 ABC 90.从而由 AB 2, BC 1,得ABC的面积S abc 1.由PD 平面ABCD及PD 1,得三棱锥P ABC1 _ 1 L的体积V S ABC PD 因为PD 平面ABCD, DC 平面ABCD , 33所以 PD DC ,又 PD DC 1,所以 PC JPDDC J22由 PC BC , BC 1,得 PBC 的面积 S PBC 二, PBC,由 V 1S PBch 1.e h 1,得 h 五. 33 23因此点 A到平面PBC的距离为22.第5页共8页【巩固训练】1.如下图，在长方体 ABCD ABGR中，AB 3 cm, AD 2

7、cm, AA 1 cm,则三棱锥R ABD的体积为2.如图，在正方体 ABCDABGDi中，AB 2cm, E为CD的中点，则三棱锥 E ABC的体积为 cm3.3.如图，已知正四棱柱ABCD AB1C1D1的体积为36,点E, F分别为棱BiB, C1C上的点（异于端点），且EF BC ,则四棱锥 A AEFD的体积为4.如图，三棱锥A BCD中，E是AC中点，F在AD上，且2AF FD ,若三棱锥 A BEF 的体积是2,则四棱锥B ECDF的体积为 .5.如图，正三棱柱 =6.若日下分别是棱BBi,ABCA1B1C1 中，AB=4, AAiCCi上的点，则三棱锥AAiEF的体积是6 .如

8、图，在三棱柱 AB1c1 ABC中，D, E, F分别是AB, AC, AA的中点，设三棱锥F ADE的体积为 V ,三棱柱 A B1c1 ABC的体积为V2 ,则V1 :V2 7 .在直三棱柱 ABC AB1C1 中，AB 1 , BC 2, AC J3 , AA 1.则 B 到面 ABC的距离为.【答案与提示】1 .【答案】1【提示】直接使用等体积法 .22 .【答案】3【提示】直接使用等体积法 .3.【答案】12【解析一】特殊位置法，转化为求四棱锥A1 ABCD的体积;VA1 AEFD2 VAi ADE =2Ve A1AD ,【解析二】连接 DE ,则三菱锥A1 ADE与三菱锥A DEF

9、体积相等，所以因为 VE A1AD =6VABCD A1B1clD1， 所以VA1 AEFD 12.【解析三】补体，如右图4.【答案】10补体，转化为三菱锥A BEF与三棱锥A BCD的体积比，实施等积变换VA BEFVA BCDVB AEF S.AEFACD SACD 'S因为S四SACD则四棱锥B1-AE AF sin A2 .1-AC AD sin A 2ECDF的体积为10.1一,V = 6Va bef 12, 65 .【答案】8 3【提示】直接使用等体积法6 .【答案】1: 24【解析】三棱锥 F ADE与三棱锥 A ABC的相似比为1： 2,故体积之比为1： 8.又因三棱锥A1 ABC与三棱柱AB1C1 ABC的体积之比为1：3.所以，三棱锥5 ADE第7页共8页与三棱柱 AB1G ABC的体积之比为1： 24.A1B1B)【解析】因为三棱锥 C AAB与三棱锥C A1BB1的