浅谈数学教学中的数型结合

1、.浅谈数学教学中的数型结合诸暨市枫桥镇中 汪慧莲数和形是数学知识体系中两大基础概念,数型结合，简单的讲就是把抽象的数学语言、数量关系通过图形直观地表现出来，然后引入一定的几何知识，在简单分析的基础上迅速找到解题的方向，再通过简单的计算得到答案。这种将抽象思维与形象思维有机结合在一起的方法有时在快速方便地解选择题和填空题的时候尤为管用。数学家华罗庚先生曾说过：“数缺形时少直觉，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休”。可见数型结合的重要性。因此，我们在平时的教学中应重视数与形的结合与转化，以探求事半功倍的教学效果。一利用数形结合，帮助理解公式数学公式很重要，但死记硬背也容易忘记，若能学会

2、公式的推导，问题就能迎刃而解。比如完全平方和公式和平方差公式就可利用下图的面积形象地反映出来如图1，在边长为a的正方形中，剪去一个边长为b的小正方形（a>b）。把剩下的部分拼成一个梯形，就可以推导出平方差公式：a2 b2 =(ab)(ab)如图2，可利用几何图形的面积推导出完全平方公式：（ab）2 = a2 2ab b2图2图1 这样的例子还有很多。二利用数型结合，方便快速解题例1：计算 =？ 可设计图3求出例2：小华和小王在一条长100米的直跑道上来回跑步，小华的速度是每秒跑10米，小王的速度是每秒15米。在小华跑完两个来回的过程中，可以和小王相遇 次?对于此题，可设计图4快速得到答案

3、，交点的个数即为相遇的次数。 例3：观察下面的图形（每个正方形的边长均为1）和相应的等式，探究其中的规律： 1×=1- 2×=2- 3×=3-4×=4-（1） 写出第五个等式，并在下面给出的五个正方形上画出与之对应的图形： （2） 猜想并写出与第n个图形相对应的等式。三利用数形结合，进行知识串联在数学教学中利用数形结合将知识点进行串联，有利于学生对各知识点的掌握和应用，更有利于掌握它们的共性及内在联系。1.二次三项式ax2+bx+c(a0)与其他知识点之间的串联变量x与其对应的代数式的值，作为一对有序实数，在直角坐标系中，得到二次函数y= ax2+bx+

4、c(a0)的图象。二次函数y= ax2+bx+c(a0)的图象与x轴交点的横坐标就是方程ax2 + bx +c = 0(a0)的两个根。而在x轴上方或下方的对应的x的值，即为不等式ax2 + bx +c > 0（或ax2 + bx +c <0）的解。掌握了以下的图表，（以a> 0为例）也就掌握了四个二次的关系和二次函数的性质。=b2-4ac>0=0<0y=ax2 + bx +c的图像y=ax2 + bx +c的增减性x<-时y随x增大而减小x>-时y随x增大而增大同左同左y=0即：ax2 + bx +c = 0有两个不相等的实根x=有两个相等的实根x1

5、=x2= -方程无实数根y>0即：ax2 + bx +c = 0x <x1或x>x2x -全体实数y<0即：ax2 + bx +c < 0x1 < x <x2图像在x轴下方无解无解例4：二次函数y=ax2 + bx +c (a0)的部分对应值如下表，请你通过学过的处理数的办法，探究不等式ax2 + bx +c>0的x的取值范围是 x-3-2-101234y1250-3-4-305分析：由表可知，抛物线的对称轴为直线x=1,而抛物线与x轴的两个交点的横坐标，即方程ax2 + bx +c = 0(a0)的两个根为x1=-1，x2=3。因为在对称轴的左

6、侧，y随x的增大而减小，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大。所以抛物线开口向上，所以ax2 + bx +c > 0的x的取值范围是x<-1 或x>3。2函数图像与解方程和方程组之间的串联例5.解方程x2=2 x+3可转化为求函数y= x2-2 x -3 的图像与x轴的交点横坐标，横坐标的值即为方程的解。例2.解方程组 可转化为求函数y= x2-3和函数y=2 x 的图像的交点坐标，交点坐标即为方程组的解。例6.判断方程 的实数根的个数此方程不是我们熟悉的一元二次方程，所以用判别式无法判断其根的个数，但我们可以将此题转化为求二次函数和反比例函数图像的交点个数，有几个交点就意味着方程有几个实数解。四利用数型结合，解三角问题AC B D图6比如，15角的三角函数值，可以通过构造几何图形，再用代数的方法，求出直角三角形的边长，或直角三角形的两边的比，达到由数到形，再由形到数的巧妙结合。例7、求sin150 和cos