导数的综合大题及其分类

1、导数的综合应用是历年高考必考的热点，试题难度较大，多以压轴题形式出现，命题的热点主要有利用导数研究函数的单调性、极值、最值；利用导数研究不等式；利用导数研究方程的根(或函数的零点)；利用导数研究恒成立问题等体现了分类讨论、数形结合、函数与方程、转化与化归等数学思想的运用 .题型一利用导数研究函数的单调性、极值与最值题型概览：函数单调性和极值、最值综合问题的突破难点是分类讨论.(1) 单调性讨论策略：单调性的讨论是以导数等于零的点为分界点，把函数定义域分段，在各段上讨论导数的符号，在不能确定导数等于零 的点的相对位置时，还需要对导数等于零的点的位置关系进行讨论.(2) 极值讨论策略：极值的讨论是

2、以单调性的讨论为基础，根据函数的单调性确定函数的极值点.(3) 最值讨论策略：图象连续的函数在闭区间上最值的讨论，是以函数在该区间上的极值和区间端点的函数值进行比较为标准进行的，在 极值和区间端点函数值中最大的为最大值，最小的为最小值.1已知函数 f(x) = x -，g(x)= alnx(a R). X(1)当a> 2时，求F(x)= f(x) g(x)的单调区间；设h(x) = f(x) + g(x)，且h(x)有两个极值点为xi, x?，其中禺 0, 1 "，求h(xj h(X2)的最小值.1(1)由题意得 F(x) = x； alnx,入2x ax+ 1(0,+p，则

3、F ' (x)=x2其定义域为审题程序第步：在定义域内，依据F ' (x) 0根的情况对F' (x)的符号讨论;第二步：整合讨论结果，确定单调区间；第三步：建立x1> x2及a间的关系及取值范围；第四步：通过代换转化为关于 心或X的函数，求出最小值.规范解答令 m(x) = x2 ax+ 1，贝U = a2 4.2222当一2<a<2 时，A<0,从而 F' (x)>0,当a>2时，A>0,设F' (x) = 0的两根为 F(x)的单调递增区间为(0,+x)；a . a2 4a+a2 4,X2 =X1 =22 F

4、(x)的单调递增区间为aa2 40, 2flF(x)的单调递减区间为Ja2 42a -4a+s ,a+寸a2 4 .2 ， 2 -h(X1) h(X2)min = Hj=5ln2 一 3.Ja 42+a -4a+s ,综上，当一2<a<2时，F(x)的单调递增区间为(0,+x)； 当a>2时，F(x)的单调递增区间为F(x)的单调递减区间为0, 21对 h(x) = x - + alnx, x (0,+ s) x21 a x + ax+ 1求导得，h (x) = 1+ x + x=x2设 h' (x) = 0 的两根分别为 X1 , x2,则有 X1 x2= 1 ,

5、X1 + x2= a, x2=x，从而有 a= x1 x；令 H(x)= h(x) h£ j1=x+x一x - xnx-卜 x+l x1 1x lnxh(X1) h(X2)min = Hj=5ln2 一 3.h(X1) h(X2)min = Hj=5ln2 一 3.x xnx+ X-1当 x 0,H ' (x)<0 ,h(X1) h(X2)min = Hj=5ln2 一 3.h(X1) h(X2)min = Hj=5ln2 一 3. H(x)在.0, 1上单调递减,h(X1) h(X2)min = Hj=5ln2 一 3.h(X1) h(X2)min = Hj=5ln2

6、 一 3.又 H(x° = h(x1) h = h(x1) h(X2),h(X1) h(X2)min = Hj=5ln2 一 3.解题反思本例中求F(x)的单调区间，需先求出F(x)的定义域，同时在解不等式F' (x)>0 时需根据方程x2 - ax + 1 = 0的根的情况求出不等式的解集，故以判别式“ ”的取值作为分类讨论的依据.在 中求出h(xj-h(X2)的最小值，需先求出其解析式.由题可知xi, X2是h ' (x) = 0的两根，可得到 x1x2 = 1, x1 + x2=- a,从而将h(x1)- h(x2)只用一个变量 x1导出.从而得到 H(x

7、1)、亠(们=h(x1)- h.,这样将所求问题转化为研究新函数H(x) = h(x) h -在0,乙上的最值问题，体现转为与化归数学思想.答题模板解决这类问题的答题模板如下:求定义域一求出函数的定义域.求导数一准确求出函数的导数.|根据参数的取值范围，结合极值点与讨论2调性| 给定区间的位置对导函数的符号进行分类讨论，确定函数的单调性.讨论扱值最僵根据函数的单调性，确定极值、最值 的取得情况.整合结论根据分类讨论的结果，对结论进行整 合，做到不重不漏.题型专练1.设函数 f(x) = (1+ x)2 2ln(1 + x).(1)求f(x)的单调区间；当0<a<2时，求函数g(x)

8、 = f(x) x2 ax 1在区间0,3上的最小值.解(1)f(x)的定义域为(1 ,+乂).V f(x)= (1+ x)2 2ln(1 + x), x ( 1,+ 乂),(x) = 2(1 + x)2 2x x+ 21 + x_ x+1.由 f (x)>0，得 x>0;由 f (x)<0，得一1<x<0.二函数f(x)的单调递增区间为(0,+x),单调递减区间为(一1,0).由题意可知 g(x) = (2 a)x 2ln(1 + x)(x> 1),则g(x)= 2 a22 axa1+ x_1+ x-0<a<2，2 a>0,+ x上为增函

9、数.a2a上为减函数，在令 g (x)= 0,得 x = 一,函数g(x)在0,a3 当0<严V3，即0<a<3时，在区间0,3上,2 a2( a ( ag(x)在0, 2a上为减函数, 在扃,3上为增函数，二 g(x)min = g 2 = a2ln2a-a3 当 一>3,即a<2时，g(x)在区间0,3上为减函数,2 a2 - g(x)min = g(3) = 6 - 3a 2ln4-32综上所述，当 0<a<3时，g(x)min = a 2ln2a；r 3t当 2w a<2 时，g(x)min = 6 3a 2ln4.北京卷(19)(本小题

10、13分)已知函数 f (x) =excosx-x.(1) 求曲线y= f (x)在点(0, f ( 0)处的切线方程；(n)求函数f(x)在区间0，n上的最大值和最小值.2(19)(共 13 分)解：(I)因为 f (x) = ex cosx - x，所以 f (x) = ex(cosx - sin x) -1, f (0) = 0 .又因为f (0) =1，所以曲线y二f (x)在点(0, f (0)处的切线方程为y = 1.(n)设 h(x)二ex(cosx-sinx)-1，贝U h(x)二 ex(cosxsinxsinx-cosx) =2exsinx.当 x(0, n)时，h(x)c0

11、,2所以h(x)在区间0, n上单调递减.2n所以对任意 X (0,有 h(x) : h(0) = 0，即 f (x) ： 0 .2n所以函数f (x)在区间0, 2】上单调递减.因此f (x)在区间0, n上的最大值为f (0) =1，最小值为f(-)=-.2 2 221. (12 分)已知函数 f (x) = ax3 -axxInx,且 f (x) 一0.(1 )求 a；(2) 证明：f (x)存在唯一的极大值点 x0，且e'： f(x0) ： 2.21.解：(1) f x的定义域为0,+ :-设 g x = ax - a - I nx，贝U f x = xg x , f x -

12、0 等价于 g x _ 01因为 g 1 =0, g x - 0,故g' 1 =0,而g' x = a , g' 1 =a -1,得a = 1x若a=1，则g' x =1-1.当0vx v 1时，g' x <0, g x单调递减；当x> 1时，g' x > 0, g x单调递增.所以x=1是g x的极小值点，故g x _ g 1 =0综上，a=1(2)由(1)知 f x =x2 _x-x ln x, f '( x) = 2x- 2 - ln x1 设 h x =2x_2_l nx,贝 Uh '( x) = 2 _

13、 ”x当 XE0, 1 时，h ' x V 0 ；当 xw 1 ,+ ：12 丿('I2八2 一r】又 h (e- )>0, h - vo, h (1 ) = o ,所以 h (x )在.( 宅丿I,h' x >0，所以h x在10,1单调递减0,-有唯一零点X。，在I1 ,+ «-I2丿，在i1 ,+ ：单调递增2有唯一零点1，且当x三0,x0时，h x >0 ；当x三x0,1时，h x v0，当 x 三1,+ ：时，h x >0.因为f ' x二h x，所以x=xo是f(x)的唯一极大值点由 f ' X0i；=0得

14、In x°-1),故f X° =x°(1 x°)1由 X。0,1 得 f ' x。V -因为X=X0是f(x)在(0,1 )的最大值点，由e三0,1 ,f ' e- - 0得f x° > f e“i； = e'所以 e -v f x0 v2-2题型二利用导数研究方程的根、函数的零点或图象交点题型概览：研究方程根、函数零点或图象交点的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，根据题目要求，画出函数图象的走势规律，标明函数极(最)值的位置，通过数形结合的思想去分析问题，可以使问题的求解有一个清晰、

15、直观的整体展现.典例2已知函数f(x)= (x+ a)ex，其中e是自然对数的底数，a R.(1)求函数f(x)的单调区间；当a<1时，试确定函数g(x) = f(x-a) x2的零点个数，并说明理由. 审题程序 第一步：利用导数求函数的单调区间；第二步：简化g(x)二0,构造新函数；第三步：求新函数的单调性及最值；第四步：确定结果.规范解答(1)因为 f(x) = (x+ a)ex，x R， 所以 f' (x) = (x+ a+ 1)ex.令 f' (x) = 0，得 x= a 1.当x变化时，f(x)和f' (x)的变化情况如下：x(X，a 1)a 1(a 1

16、，+ x )f' (x)0+f(x)故f(x)的单调递减区间为(一X， a 1)，单调递增区间为(一a 1，+).(2)结论：函数g(x)有且仅有一个零点.理由如下：由 g(x) = f(x a) x2= 0，得方程 xeTa= x2，显然x= 0为此方程的一个实数解，所以x= 0是函数g(x)的一个零点.当xm0时，方程可化简为ex a= x.设函数 F(x)= exa x，则 F' (x)= ex a 1，令 F' (x) = 0，得 x= a.当x变化时，F(x)和F' (x)的变化情况如下：x(X，a)a(a，+x)F' (x)0+F(x)即F(

17、x)的单调递增区间为(a，+x)，单调递减区间为(一x，a).所以 F(x)的最小值 F(x)min = F(a) = 1 a. 因为 a<1,所以 F(x)min = F(a)= 1 a>0, 所以对于任意x R, F(x)>0, 因此方程ex a = x无实数解.所以当XM 0时，函数g(x)不存在零点. 综上，函数g(x)有且仅有一个零点.典例321. (12 分)已知函数 f(x) =ax3 -ax-xlnx,且 f(x) _0.(2)证明：f (x)存在唯一的极大值点x0，且e* ： f (x0) :： 2.(1 )求 a；21.解：(1) f x的定义域为0,+

18、：设 g x = ax - a - l nx，贝U f x = xg x , f x 0 等价于 g x j : 01因为 g 1 =0, g X I ： 0,故g' 1 =0,而g' x 二 a , g' 1 =a -1,得a = 1 x1若 a=1，则 g' x = 1 一.当 0vx v 1 时，g' x v0, g x 单调递减；当 x> 1 时，g' x > 0,xg x单调递增.所以x=1是g x的极小值点，故综上，a=1(2)由(1) 知 fr2x = x -x-xl nx,f'(x)=2x_2_l nx设 h

19、x = 2x -2 当x.吩时,1-In x,则h '( x) = 2 -x一，+ ：时，h' x > 0，所以h x在0, 一单调递减，在*丿I 2丿十：单调递增又h e 2 >0, h J一 v0, h 1 = 0 ,所以h x在！ 0，一有唯一零点 x。，在一，+ ：有唯一零点1,且当 x 三 i0,x0 时，h x >0 ;当 xx0,1 时,h x v0，当 x 三 i1,+ ：时，h x >0.因为f ' x = h x，所以x=xo是f(x)的唯一极大值点由 f ' Xo= 0得 ln Xo =2x° - 1),故

20、f Xo =X0(1 Xo)1由 x 10,1 得 f ' X。V -因为x=xo是f(x)在(0,1 )的最大值点，由e丄 0,1 ,f ' e- = 0得1 2f X。f ep = e-所以 e v f x0 v2-2解题反思在本例 中求f(x)的单调区间的关键是准确求出f' (x)，注意到ex>0即可.(2)中由g(x) = 0得xex_a = x2,解此方程易将x约去，从而产生丢解情况研究exa=x的解转化为研究函数F(x) = exa x的最值，从而确定 F(x)零点，这种通过构造函数、研究函数的最值从而确定函数零点的题型是高考中热点题型，要熟练掌握.答

21、题模板解决这类问题的答题模板如下：1等价转化把函数的零点、方程的根、两函数图象的 交点问题相互转化.构造新的函数解决函数零点、方程根、两 函数图象交点问题.构造函数利用导数研究新函数的单调性、极值和最 值等性质，有时可画出函数图象.解决问题得出结论利用极值和最值,结合图象得出结果.题型专练2. (2017浙江金华期中)已知函数f(x) = ax3 + bx2 + (c 3a 2b)x+ d的图象如图所示.求c, d的值；若函数f(x)在x= 2处的切线方程为3x+ y 11= 0,求函数f(x)的解析式； , . 1 , . 、. 一 在的条件下，函数y= f(x)与y=§f'

22、; (x) + 5x+ m的图象有三个不同的交点，求m的取值范围.解函数 f(x)的导函数为 f' (x) = 3ax2 + 2bx+ c 3a 2b.由图可知函数f(x)的图象过点(0,3)，且f' (1)= 0,”d= 3,d = 3,得，解得1_3a+ 2b + c 3a 2b = 0,lc= 0.32(2)由(1)得，f(x) = ax + bx - (3a + 2b)x+ 3,所以 f' (x)= 3ax2 + 2bx-(3a + 2b).由函数f(x)在x= 2处的切线方程为3x+ y- 11= 0,得f2尸 5,(2 尸-3,”8a + 4b 6a 4b+

23、 3 = 5,a= 1,所以£解得k12a + 4b 3a 2b = 3,.b= 6,所以 f(x) = x3 6x2+ 9x+ 3.由知 f(x)= x3 6x2 + 9x + 3,所以 f' (x) = 3x2 12x+ 9.1函数y = f(x)与y = f' (x) + 5x + m的图象有三个不同的交点， 等价于x3 6x2 + 9x+ 3= (x2 4x+ 3) + 5x+ m有三个不等实根, 等价于g(x) = x3 7x2 + 8x m的图象与x轴有三个交点.因为 g' (x) = 3x2 14x+ 8= (3x 2)(x 4),x(2、I ,

24、 3丿23§, 4J4(4,+o )g' (x)+00+g(x)极大值极小值g 3 = 27 m, g(4) = 16 m,i'2 = 68 m>0/、当且仅当 严厂27 m> , 时，g(x)图象与x轴有三个交点，解得16<m<|8. 所以m的取值范围为(16,雰 4(4 = 16 m<021. (12 分)已知函数(x) =ae2x+(a-2) e x - x.(1) 讨论f (x)的单调性；(2) 若f(x)有两个零点，求a的取值范围21.解：(1) f (x)的定义域为, f (x 2ae2x (2)ex(aex -1)(2ex

25、1),(十字相乘法)(i)若a空0，则f (x) ：0，所以f(x)在(_：)单调递减.(ii)若 a . 0 ,则由 f (x) = 0得 x = _ln a 当 x .= (-：, _ln a)时，f (x) ： 0 ;当 x.= ( _ln a, ：)时，(x) . 0 ,所以 f (x)在(-：In a)单调递减，在(- In a, ：)单调递增(2) (i)若a乞0，由(1)知，f (x)至多有一个零点1(ii)若a0,由(1 )知，当X-Ina时，f (x)取得最小值，最小值为f(|na)=1 In a .(观察特殊值1)a 当a =1时，由于f(_ln a) =0，故f(x)只有

26、一个零点；1 当a (1厂：)时，由于1 ln a 0，即卩f (-ln a) 0 ,故f (x)没有零点；a1 当 a (0,1)时，1 一一 ln a : 0，即 f (ln a) < 0 .a_4_2_2又 f (-2) = ae (a -2)e2> -2e2 0 ,故 f (x)在(-：，ln a)有一个零点3设正整数n0 满足n0 ln( 1)，则 f (n0) =en° (aen° a - 2) -n0e"- n0 2n°- n00 .a3由于ln( -1) -ln a，因此f (x)在(-ln a,=)有一个零点a综上，a的取值

27、范围为(0,1).题型三 利用导数证明不等式题型概览：证明f(x)vg(x), x (a, b)，可以直接构造函数F(x) = f(x) g(x)，如果F' (x)<0，则F(x)在(a, b)上是减函数, 同时若F(a)< 0，由减函数的定义可知，x (a, b)时，有F(x)<0 ,即证明了 f(x)< g(x) 有时需对不等式等价变形后间接构造若 上述方法通过导数不便于讨论 F' (x)的符号，可考虑分别研究f(x)、g(x)的单调性与最值情况，有时需对不等式进行等价转化.典働3(2017陕西西安三模)已知函数f(x) = Ex(1)求曲线y =

28、f(x)在点P'2, 了j处的切线方程;证明：f(x)>2(x Inx).审题程序第一步：求f (x)，写出在点P处的切线方程;第二步：直接构造g(x) = f(x) 2(x Inx),利用导数证明g(x)min>0.exe x eef x 1、e2,z规范解答(1)因为f(x) =:x，所以f' (x)=x2=x,f'，又切点为2,x2e2，所以切线方2 /e2 e2程为 y2= Rx 2)，即 e2x 4y = 0.证明：设函数 g(x) = f(x) 2(x Inx) = 2x+2lnx, x (0,+), x则 g' (x)=曽-2 + &a

29、mp; ex 1 , x (0,+).X2设 h(x) = ex 2x, x (0,+),则 h' (x)= e 2, 令 h' (x) = 0,则 x= In2.当 x (0, In2)时，h' (x)<0;当 x (In2 ,+乂)时，h' (x)>0. 所以 h(x)min = h(ln2) = 2 2ln2>0，故 h(x)= ex 2x>0.ex 2x x 1令 g (x)=7= 0,则 x= 1.当 x (0,1)时，g (x)<0; 当 x (1,+)时,gf (x)>0.所以 g(x)min = g(1) =

30、e 2>0,故 g(x) = f(x) 2(x lnx)>0，从而有 f(x)>2(x Inx).解题反思本例中(2)的证明方法是最常见的不等式证明方法之一，通过合理地构造新函数g(x).求g(x)的最值来完成.在求g(x)的最值过程中，需要探讨g' (x)的正负，而此时g' (x)的式子中有一项g 2x的符号 不易确定，这时可以单独拿出 3 2x这一项，再重新构造新函数 h(x)= ex 2x(x>0)，考虑h(x)的正负问题，此题看似简单，且不含任何参数，但需要两次构造函数求最值，同时在（2）中定义域也是易忽视的一个方向.答题模板解决这类问题的答题模

31、板如下：合理转化把不等式问题直接转化为函数的最值问题.yr把不等式进行等价转化，构造新的函数.1构造函数有时要变形,切记变形的依据是能够通过r导数研究函数的单调性和最值.判断单调*-利用导数研究新函数的单调性.J确定最值由函数的单调性.确定新函数的最值.J1得出结论利用新函数的极值或最值，得出结论.题型专练(1 y3. (2017福建漳州质检)已知函数f(x)= ae<-blnx,曲线y = f(x)在点(1, f(1)处的切线方程为y= - 1Jx+1.(1) 求 a, b;(2) 证明：f(x)>0.解(1)函数f(x)的定义域为(0,+乂).b11f (x)= aex-b，由

32、题意得 f(1) = ", f (1)=-1,ae=所以ae1e，b= e- 1,1(2)由(1)知 f(x) = e Inx.v n1因为 f (x)= ex 2在(0,+乂)上单调递增，又 f(1)<0, f (2)>0, zv所以f (x)= 0在(0,+)上有唯一实根Xg,且Xg (1,2).当 x (0, X。)时，f (x)<0，当 x (xg，+乂)时，f (x)>0,从而当x= x。时，f(x)取极小值，也是最小值.2 1 由 f (xo)= 0,得 ex。=，则 Xo 2= Inx。.x。故 f(x)>f(x。) = e x°

33、 2 Inxo=x + xo 2>2、x。-2= 0,所以 f(x)>0.x。x04、【2017高考三卷】21.(12分)已知函数f (x) =x - 1 - alnx.(1) 若f(x) -。，求a的值；(2) 设m为整数，且对于任意正整数 n, (1+丄)(1 +丄)川(1+)v m求m的最小值.2 2 221.解：(1) f x的定义域为0,+：.f八 1 若a兰0，因为f - =- +aIn 2<0 ,所以不满足题意；12丿 2 ， 若 a> 0，由 f' x =1 二口 知，当 x 0,a 时，f' x < 0 ;当 x，a,+：时，f&

34、#39; x >0，所以 f x 在 0,a 单调递x x减，在a,+：单调递增，故x=a是f x在x"0,+：的唯一最小值点.由于f 1 =0 ,所以当且仅当a=1时，f x -0.故a=1(2)由(1)知当 x1,+：时，X-1-1 n x>0令 x=1+j 得 In 1+/ < 2，从而 In 1 + 1 +ln 1 + 丄 +222M+丄_ri 2人22丿i 丫丿匚丫1+丄丫1+丄>2，所以m的最小值为3.I 2人F人F丿'而i1 +1+丄1111 +1+丄+ . + 丄=1-丄 <1nn21. (12 分) 2已知函数 f (x) =1

35、 n x+ax +(2 a+1)x.（1）讨论f （x）的单调性；（2）当 a< 0 时，证明 f （x） _-24a11【答案】（1）当a_0时，f（x）在（0,七）单调递增；当a：0时，则f （x）在（0,）单调递增，在（，；）单调递减；（2）详见解析2a2a【解析】（1二2d十0+恥+1二加+吩+1）（沙,XX当时，广王0,则（H）在（Qy）单调递増，当X。时，则/（x）itio-A-）单调递増，在（-二：+巧单调递减la2a由純当xO时，/运/（一二）（一十十2）=也（-匚）十2十1,令y =hi r + l-r （r = ->0）?2a 4fi2a 2 a2a则 - 1

36、= 0,解得 21,r二$在ee单调递增，在a+巧单调递减，题型四 利用导数研究恒成立问题典例4题型概览：已知不等式恒成立求参数取值范围，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题；若参数不便于分离，或分离以后不便于 求解，则考虑直接构造函数法，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围.1a已知函数 f(x) = 2lnx mx, g(x) = xj(a>0).(1)求函数f(x)的单调区间；1 2若m = 2e2，对？X1,2,2e2都有g(xi)>fg)成立，求实数a的取值范围.审题程序第步：利用导数判断f(x)的单调性，对m分类讨论；

37、第二步：对不等式进行等价转化，将g(Xjf(X2)转化为g(x)minf(x)max；第三步：求函数的导数并判断其单调性进而求极值(最值)；第四步：确疋结果.1 1规范解答(1)f(x) = qinx mx, x>0,所以 f (x)=无一m,当mW 0时，f (x)>0, f(x)在(0,+乂)上单调递增.rtt,/口1t f(x)>0, /口1t f(x)<0,/口1当 m>o 时，由 f (o)=o 得 x=2m；由门得 0<x<2m；由c得 x>2m.2m丸>02m、x>02m综上所述，当mW 0时，f(x)的单调递增区间为(

38、0,+乂)；当m>0时，f(x)的单调递增区间为0,盒，单调递减区间为 低，+乂)1 1 1(2)若 m=苑，贝S f(x)= 2lnx x.对? xi, x? 2,2e2都有 g(xi)> fg)成立,等价于对？ x 2,2e2都有 g(x)min >f(x)max ,1由(1)知在2,2e2上f(x)的最大值为f(e2)=刁aaa 1g (x)= 1+ x2>0(a>0),x 2,2e2，函数 g(x)在2,2e2上是增函数，g(x)min = g(2) = 2引 由 2空得 a<3, 又a>0，所以a (0,3，所以实数a的取值范围为(0,3.解

39、题反思本例(1)的解答中要注意f(x)的定义域，(2)中问题的关键在于准确转化为两个函数 f(x)、g(x)的 最值问题.本题中，? X1,有g(X1)A f(X2)? g(x)min > f(x)max若改为:?, ?他都有9(为) >伽，则有g(X)maxf(X)max若改为：? X1, ? X2都有g(X1) > g(X2),则有g(x)min > f(x)min要仔细体会，转化准确.答题模板解决这类问题的答题模板如下： |分离参数法构造鬲数与直接法构造函数构造函数一|灵活选用.*讨论单调性I一I利用导数研究新函数的单调性.确定最值一依据新函数的单调性确定最值情况

40、.得出结论|整合结论，得出结果，注意区间开闭.题型专练4. 已知 f(x)= xlnx, g(x)= x2 + ax 3.(1) 对一切x (0,+乂), 2f(x)>g(x)恒成立，求实数a的取值范围；1 2 一(2) 证明：对一切 x (0,+x ), inx>e< ex恒成立.D tSzv解(1)由题意知2xlnx> x2+ ax 3对一切x (0,+恒成立，3贝卩 a<2lnx+x+-，x、r3设 h(x) = 2lnx + x+ x(x>0),zv则 h(x)= x+ 32x 1 , 当x (0,1)时，h (x)<0, h(x)单调递减，

41、当x (1,+x)时，h (x)>0, h(x)单调递增，所以 h(x)min = h(1) = 4,对一切 x (0,+x) , 2f(x) > g(x)恒成立，所以 aW h(x)min 4.即实数a的取值范围是(一x, 4 x 2证明：问题等价于证明xlnx>e< -(x (0,+).e e又 f(x) xlnx, f' (x) lnx+ 1,当 x 0, e 时，f' (x)<0, f(x)单调递减；当 X £,+时，f' (x)>0, f(x)单调递增，所以 f(x)min fg)=x 2设 m(x) g gx (

42、0,+乂),1 一 x 则 m' (x) w口 M1易知 m(x)max m(1)= e，1 2从而对一切x (0,+x), lnx>e恒成立.e ex当x (1,+工)时，h' (x)>0, h(x)单调递增，所以 h(x)min h(1) 4,对一切 x (0,+x), 2f(x)>g(x)恒成立，所以 a< h(x)min 4.即实数a的取值范围是(一x, 4.题型五：二阶导主要用于求函数的取值范围23. (12 分)已知函数 f (x) = (x+1) lnx - a (x- 1).(I )当a=4时，求曲线y=f (乂)在(1, f (1)处的

43、切线方程；(II )若当x( 1, +乂)时，f (x)>0,求a的取值范围.【解答】 解：(I )当 a=4 时，f (x) = (x+1) lnx - 4 (x- 1).f (1) =0,即点为(1, 0),函数的导数 f'(x) =lnx+ (x+1)?丄-4, 则 f'( 1) =ln 1+2 - 4=2 - 4=-2,即函数的切线斜率 k二f'(1)二-2, 则曲线y=f (x)在(1, 0)处的切线方程为y二-2 (x- 1) =-2x+2;(II ) v f (x) = (x+1) lnx - a (x - 1),f'( x) =1+ +ln

44、x - a,. f ( x)二 ,v x> 1，二 f"(x)> 0,f'(乂)在(1, +x)上单调递增，f'(x)> f'(1) =2- a. a< 2, f'( x) > f'( 1)> 0, f (x)在(1, +=)上单调递增，二f (x)>f (1) =0,满足题意; a> 2,存在 x°( 1, +乂), f'( X。) =0,函数f (x)在(1, X。)上单调递减，在(X。，+呵上单调递增，由f (1) =0,可得存在x°( 1, +x), f (x&

45、#176;)v 0,不合题意.综上所述，a< 2.23. (12 分)已知函数 f (x) = (x+1) lnx - a (x - 1).(I) 当a=4时，求曲线y=f (x)在(1, f (1)处的切线方程;(II) 若当x( 1, +x)时，f(x)> 0,求a的取值范围.【解答】 解：(I)当 a=4 时，f (x) = (x+1 ) lnx - 4 (x - 1).f (1) =0，即点为(1, 0),函数的导数 f'( x) =lnx+ (x+1 ) ?' - 4,X则 f'( 1) =ln1+2 - 4=2 - 4= - 2，即函数的切线斜率

46、 k=f' (1) = - 2, 则曲线y=f (x)在(1, 0)处的切线方程为 y= - 2 (x - 1) =- 2x+2 ;(II ) f (x) = (x+1 ) lnx a (x - 1),ijr 1 f' (x) =1+ +lnx - a,. f" (x)= ;/x > 1 , f" (x)> 0, f' (x )在(1, +s)上单调递增， f' (x) > f' (1) =2 a. a<2, f ( x )> f' (1) >0, f (x)在(1, +x)上单调递增， f

47、 (x)> f (1) =0，满足题意； a>2，存在 x°( 1, +x) , f (X。)=0 ,函数f (x)在(1, x0) 上单调递减，在(x0, +x)上单调递增， 由f (1) =0，可得存在X。( 1, +), f (x°)v 0,不合题意. 综上所述，a<2.题型六：求含参数求知范围此类问题一般分为两类：一、也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题此法适用于方便分离参数并可求出函数最大值与最小值的情况，若题中涉及多个未知参量需分离出具有明确定义域的参量函数求出取值范围并进行消参，由多参数降为单参 在求出参数取值范围。二、未能将参数完全分离一类，需要根据题意对参数进行分类讨论，以求出参数取值