多元函数积分学

1、2 21 1二重积分二重积分回忆定积分. 设一元函数 y = f (x) 在a, b可积. niiibaxfxxf10)(limd)(则.d)(,0)(面积在几何上表示曲边梯形时当baxxfxf如图0 xyabxixi+1 iy = f (x)f ( i)其中 ixi, xi+1, xi = xi+1 xi , 表小区间xi, xi+1的长, f ( i) xi表示小矩形的面积.设有一立体. 其底面是 xy 面上的区域D, 其侧面为母线平行于 z 轴的柱面, 其顶是曲面 z= f (x, y)0, 连续. 称为曲顶柱体.若立体的顶是平行于 xy 面的平面. 则平顶柱体的体积 = 底面积高.0y

2、zxz = f (x,y)D如图 一、例一、例(i)用曲线将D分成 n 个小区域 D1, D2, Dn , 每个小区域Di 都对应着一个小曲顶柱体.如图z = f (x,y)0yzxz = f (x,y)DDiDi(ii)由于Di很小, z = f (x,y)连续, 小曲顶柱体可近似看作小平顶柱体. ( i , i) Di .小平顶柱体的高 = f ( i , i).若记 i = Di的面积. 则小平顶柱体的体积 = f ( i , i) i 小曲顶柱体体积 f ( i , i) ( i , i)Diz = f (x,y)(iii)因此, 大曲顶柱体的体积niiiifV1),(分割得越细, 则

3、右端的近似值越接近于精确值V, 若分割得无限细, 则右端近似值会无限接近于精确值V.也就是niiiifV1),(lim(iv) ,max 1的直径记iniD其中Di的直径是指Di中相距最远的两点的距离.,),(lim 10niiiifV则其中 ( i , i) Di , i = Di 的面积.xyDi如图(1)平面薄板的质量 M.当平面薄板的质量是均匀分布时, 有, 平面薄板的质量 = 面密度面积.若平面薄板的质量不是均匀分布的. 这时, 薄板的质量不能用上述公式算, 应如何算该薄板的质量M?用曲线将D分成 n 个小区域 D1, D2, Dn ,设一平面薄板, 所占区域为D , 面密度 (x,

4、 y) 0 连续. (x, y) D. 求该平面薄板的质量M.(i)如图0 xyDDiDi的面积记作 i .0 xyDDi由于(x, y) 0 连续, 从而当Di很小时, (x, y) 在Di上的变化不大, 可近似看作(x, y)在Di上是不变的. 从而可用算均匀薄板的质量的方法算出Di这一小块质量的近似值.(ii)即, ( i , i) Di , 以 ( i , i)作为Di 这一小片薄板的面密度. 从而,第 i 片薄板的质量 mi ( i , i) i(iii)故, 平面薄板的质量niiiiM1),(iv) ,max 1的直径若记iniD.),(lim 10niiiiM则1.1.定义定义

5、设z=f (x,y)是定义在有界闭区域DR2上的有界函数. 将D任意分割成n个无公共内点的小区域Di(I=1, 2, , n), 其面积记为 i. (i, i) Di, 作积f (i, i) i,.max1的直径记iniD,),(1niiiif作和 二、二重积分的概念与性质二、二重积分的概念与性质 若对任意的分法和任意的取法, 当 0时, 和式niiiif1),(的极限存在且极限值都为I, 则称f (x,y)在D上可积, 记为f (x,y) R(D),并称此极限值 I 为f (x,y)在D上的二重积分. 记作Ddyxf,),(即其中“ ”称为二重积分符号, D称为积分区域, f (x,y)称为

6、被积函数, d称为面积元素, x, y称为积分变量. 和式.),(1称为积分和niiiif注注1. 定积分niiibaxfdxxf10)(lim)(二重积分niiiiDfdyxf10),(lim),(区别在将小区间的长度 xi 换成小区域的面积 i,将一元函数 f (x)在数轴上点 i 处的函数值 f (i)换成二元函数 f (x, y)在平面上点(i, i)处的函数值 f (i, i).可见, 二重积分是定积分的推广. 注注2. 若将D用两族平行于x轴和y轴的直线分割.(如图)DiD则除边界上区域外, Di的面积i = xi yi, 故也将二重积分写成Ddxdyyxf),(注注3. 可以证明

7、若f (x, y)在D上连续, 则f (x, y)在D上可积, 若f (x, y)在D上有界, 且在D内只有有限个不连续点, 或只在有限条曲线上不连续, 则f (x, y)可积.设D为有界闭区域, 以下涉及的积分均存在.性质1. .|,|的面积为区域其中DDDdD性质2. DDDdyxgyxfdyxgyxf),(),(),(),(性质3. DDdyxfkdyxkfk),(),(,则为常数设性质4. 则无公共内点且设,2121DDDDD21),(),(),(DDDdyxfdyxfdyxf若在D上有f (x, y) g (x, y), 则DDdyxgdyxf),(),(特别: (i) 若在D上f

8、(x, y)0, 则0),(Ddyxf(ii)DDdyxfdyxf| ),(|),(这是因为 | f (x, y)| f (x, y) | f (x, y) |积分后即得.性质5. 若在D上 m f (x, y) M, 则|),(DMdyxfDmD设 f (x, y) C(D), 则(,)D, 使得|),(),(DfdyxfD性质6. 性质7. (i) 当z=f (x, y)0时,.),(曲顶柱体的体积Ddyxf(ii) 当z= f (x, y)0时,)(),(曲顶柱体的体积Ddyxf(iii)则上在上在无公共内点且若, 0),(, 0),(,212121yxfDyxfDDDDDD21),()

9、,(),(DDDdyxfdyxfdyxf= (D1上曲顶柱体体积) (D2上曲顶柱体体积).),(,的代数和表示各小曲顶柱体体积一般Ddyxf由二重积分的几何意义知, 当f (x, y)0时, VdyxfD曲顶柱体的体积),(如图若点x处截面面积为A(x), 则体积.)(badxxAVxy0axA(x)三、二重积分的计算三、二重积分的计算., 0),(,),(连续其中考虑yxfzdyxfD(1)设积分区域D是由两条平行于y轴的直线x=a, x=b及两条曲线 y = y1(x), y = y2(x)围成. 如图即, D: y1(x) y y2(x),a x b称为x型区域.特别情形是A、B退缩成

10、一点, E、F退缩成一点.xy0ABEFDy = y1(x)y = y2(x)ab由几何意义知,),(),(为顶表示以yxfzdyxfD以D为底的曲顶柱体体积V. 如图.过点x0作平面x= x0,截面是平面x= x0上的, 以z=f (x0, y)为曲边的曲边梯形. 由定积分的几何意义,)()(000201,),()(xyxydyyxfxA)()(21.),()(,xyxydyyxfxA一般zx0yy2(x0)y1(x0)Dy=y2(x)y=y1(x)z=f (x, y)z=f (x0, y)x0ab从而, baxyxybadxdyyxfdxxAV,),()()()(21故 baxyxyDdx

11、dyyxfdyxf),(),()()(21右端称为先对 y , 再对 x 的二次积分(累次积分).计算原则计算原则: 由里到外.即先将x 看作常数, 以y 为积分变量, 求里层积分.得到的结果是只含x, 不含 y 的函数式, 再求外层积分(以x为积分变量).注注1. 公式 baxyxyDdxdyyxfdyxf),(),()()(21虽是在条件 f (x, y) 0下得到的, 但对一般的 f (x, y)都成立, 只须D是x型区域即可.注注2. 习惯上常将右端的二次积分记作baxyxydyyxfdx)()(21),(即baxyxyDdyyxfdxdyxf)()(21),(),( baxyxydx

12、dyyxf),()()(21(2)类似, 若D: x1(y) x x2(y), c y d, 称为 y 型区域,则二重积分可化为先对 x, 再对 y 的二次积分. 即 dcyxyxdydxyxf)()(21),(xy0dcEFx=x2(y)x=x1(y)DDdyxf),(dcyxyxdxyxfdy)()(21),(3)若D既是 x型区域, 又是 y型区域. 比如x0yx0yx0y则既可先对 x 积分, 又可先对 y 积分.等等,dcyxyxbaxyxydxyxfdydyyxfdx)()()()(2121),(),(Ddyxf),(当用某次序算二重积分不好算时, 可改换积分次序, 可能好算.此时

13、,(4)若D的形状较复杂, 既不是 x型区域, 也不是 y型区域.xy0D1D2D3D则可用一些平行于 x 轴和平行于 y 轴的直线将其分成若干块, 使每一块或为x型, 或为 y型, 分块积. 如图321),(),(),(),(DDDDdyxfdyxfdyxfdyxf(5) 设D: y1(x) y y2(x), a x b, 为 x 型区域.其中y2(x)为分段函数. 如图则baxyxyDdyyxfdxdyxf)()(21),(),(由于y2(x)是分段函数, 里层积分上限无法确定用哪一个表达式. 故应将D分成D1, D2, 分块积分.xy0D1D2y = 1(x)y = 2(x)ab(6)

14、不论是先对 x 积分dcyxyxDdxyxfdydyxf)()(21),(),(baxyxyDdyyxfdxdyxf)()(21),(),(还是先对 y 积分里层积分的上、下限总是曲线的函数表达式, 而外层积分的上、下限是点的坐标.且上限上限 下限下限.称为从里到外、线从里到外、线线线; 点点点点. 例例1.1.,)(2围成和由其中求xyxyDdyxDxy0y=xy=x2x为确定累次积分的上、下限.作与y轴同向的射线, 从下至上穿过D.则y是由下方的曲线y=x2变到上方的曲线y=x的.解解: : 先画区域D的图形.法1. 先对y积分.里层积分的下限为x2, 上限为x.由于该射线变化范围是0,

15、1.因此, 外层积分下限为0, 上限为1. 即102)()(xxDdyyxdxdyxdxyxyxx210221dxxxx104322123203101416310543xxxxy0y=xy=x211法法2. 先对 x 积分.作与 x 轴同向射线, 从左至右穿过D.y则 x 是从左方曲线x=y变到右方曲线y=x2. 即.的yx 故里层对 x 积分的下限为y, 上限为. y而该射线的变化范围是0, 1. 故外层对 y 的积分下限为0, 上限为1.10)()(yyDdxyxdydxdyyx10221dyyxxyy102232321dyyyy203635241103252yyy例例2.2. .0, 2

16、,2第一象限的区域围成的和由其中求yxyxyDxydxdyD解解: : 先画D的图形.先对 x 积分. 作与 x 轴同向的射线穿过D. 易知, x 从左方曲线y=x2即变到yx 102yyDxydxdyxydxdy右方曲线 y=x+2即 x=2 y. 而 y0, 1. xy0y=x+2y=x2112故所以, 原式 = 102yyxydxdy102221dyxyyy102)2(21dyyyy247问问, 若先对若先对 y 积分积分, 情形怎样情形怎样?xy0y=x+2y=x2112例例3.3. 求.sin110ydxxxdy解：解：由于1sinydxxx是“积不出”的，怎么办？要改换积分次序.

17、先画积分区域D的图形.由积分表达式知，D： y x 1, 0 y 1画曲线 x=y 和 x=1，直线y=0, y=1.如图：故 原式 =Ddxdyxxsinxdyxxdx010sin10sinxdxxx10sindxx1cos1cos10 xyx0Dy = x由例2，例3知，选择适当的积分顺序，有时能使积分变得简便，易行。在作题时，当按某一顺序积分很难，或不可行时，可改换积分顺序试一试。例例4.4. 改换.),(2140的积分顺序xxdyyxfdx解：解：写出D的表达式，. 40,21:xxyxD画 D 的图形改为先对x再对y的积分xxdyyxfdx2140),(yydxyxfdy2202),

18、(yx0Dxy21xy 24例例5.5. 关于分块函数在D上的积分.Ddxy|求其中D：0 x 1, 0 y 1解：解：积分区域如图记 f (x, y) = | y x |=yx, 当y x时,xy, 当y x时,且区域D1: y x和D2: y x分处在直线y=x的上，下方.故，原式 =21)()(DDdyxdxyyx011DD2y = xD1xxdyyxdxdyxydx010110)()(10021012)21()21(dxyxydxxyyxx10210221)2121(dxxdxxx31注：注：分块函数的积分要分块(区域)来积.另外，带绝对值的函数是分块函数。yx0D211y = xD1

19、D在将二重积分化为二次积分的公式,),(),()()(21中xyxybaDdyyxfdxdyxf右边的二次积分不是两个定积分之积，计算时必须由里至外，这当然较繁琐. 但在某些情形下，可将右端化为两个定积分之积。例例6.6. 设D：a x b, c y d. f(x, y)=f1(x)f2(y)可积，则.)()(),(21dcbaDdyyfdxxfdyxfyx0dcabDdyxf),(:证Ddxdyyfxf)()(21dcbadyyfxfdx)()(21badcdxdyyfxf)()(21.)()(12badcdxxfdyyf比如，.32103210dyexdxdyxedxyy.sin2sin1

20、01020rdrrrdrrd只须要求里层积分dcdyyf)(2的被积函数f2(y)和上、下限都与x无关即可。关于利用对称性积分的问题(1) 若D的图形关于x轴对称.(i) 若f (x, y) = f (x, y), 其中点(x, y) 与(x, y) 关于x轴对称，即函数也关于x轴对称.yx0D2D11),(2),(DDdyxfdyxf则(ii) 若f (x, y) = f (x, y), 0),(Ddyxf则(2) 若D的图形关于y轴对称.yx0D2D1(i) 若f ( x, y) = f ( x, y). 其中( x, y)是 (x, y)的关于y轴的对称点.1),(2),(DDdyxfd

21、yxf则(ii) f ( x, y) = f( x, y)，则0),(Ddyxf(3) 一般，若D关于平面上某直线l对称.yx0D2y = xD1对(x, y)D1，有关于l的对称点(x1, y1)D2. .),(2),(1DDdyxfdyxf则若f (x, y)= f (x1, y1)，则. 0),(Ddyxf若f (x, y) = f (x1, y1).例例7.7. (1). 0cos. 1:22DydxyxD则, 10 , 10:)2(对称关于知设xyDyxD).,(),(0000 xyxyyx的对称点为的关于直线点,),(nnyxyxf易知).,(),(yxfxyxyfnn. 0)(Dnndyx从而yx0(x0, y0)(y0, x0)y= xy0 x0考虑Ddxdyyxf,),(若作变量代换x=g(u, v), y=(u, v),应如何计算作了变量代换后的二重积分？定理定理1. 设变换x=g(u, v), y= (u, v)时uov平面上的有界闭区域D*一一对应地变成xoy平面上的有界闭区域D，且满足若f (x, y)可积，则.),(),(),()