第二章第十一节变化率与导数

1、第二章 第十一节 变化率与导数、导数的计算一、选择题1.(2012·新田模拟)已知函数f(x)的图象如图所示，f(x)是f(x)的导函数，则下列数值排序正确的是()A0<f(2)<f(3)<f(3)f(2)B0<f(3)<f(3)f(2)<f(2)C0<f(3)<f(2)<f(3)f(2)D0<f(3)f(2)<f(2)<f(3)解析：由导数的几何意义可知，f(2)、f(3)分别表示曲线在x2，x3处的切线的斜率，而f(3)f(2)表示直线AB的斜率，即kABf(3)f(2)由图形可知0<f(3)<f

2、(3)f(2)<f(2)答案：B2(2011·山东高考)曲线yx311在点P(1,12)处的切线与y轴交点的纵坐标是()A9B3C9 D15解析：y3x2，故曲线在点P(1,12)处的切线斜率是3，故切线方程是y123(x1)，令x0得y9.答案：C3(2011·湖南高考)曲线y在点M(，0)处的切线的斜率为()A B.C D.解析：y，把x代入得导数值为.答案：B4设曲线yax2在点(1，a)处的切线与直线2xy60平行，则a()A1 B.C D1解析：y2ax，y|x12a.即yax2在点(1，a)处的切线斜率为2a.直线2xy60的斜率为2.这两直线平行，它们的

3、斜率相等，即2a2，解得a1.答案：A5(2012·泰安模拟)若点P是曲线yx2lnx上任意一点，则点P到直线yx2的最小距离为()A1 B.C. D.解析：设P(x0，y0)，则y|xx02x0.由2x01，得x01或x0(舍)P点坐标(1,1)P到直线yx2距离为d.答案：B6(2011·湖北高考)放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M(单位：太贝克)与时间t(单位：年)满足函数关系：M(t)M02，其中M0为t0时铯137的含量已知t30时，铯137含量的变化率是10ln2(

4、太贝克/年)，则M(60)()A5太贝克 B75ln2太贝克C150ln2 太贝克 D150太贝克解析：因为M(t)M02·ln2，所以M(30)M0ln210ln2.所以M0600.所以M(t)600×2.所以M(60)600×22150(太贝克)答案：D二、填空题7已知f(x)x22xf(1)，则f(0)_.解析：f(x)2x2f(1)，f(1)22f(1)，即f(1)2.f(x)2x4，f(0)4.答案：48(2012·启东模拟)已知函数f(x)x3ax4(aR)，若函数yf(x)的图象在点P(1，f(1)处的切线的倾斜角为，则a_.解析：f(x)

5、3x2a，yf(x)的图象在点P处的切线的倾斜角为，即f(1)tan，3a1，解得a4.答案：49若曲线f(x)ax5lnx存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是_解析：曲线f(x)ax5lnx存在垂直于y轴的切线，即f(x)0有解又f(x)5ax4，方程5ax40有解5ax51有解又x>0，a<0.故实数a的取值范围是(，0)答案：(，0)三、解答题10求下列函数的导数(1)yx2sin x；(2)y；解：(1)y(x2)sin xx2(sin x)2xsin xx2cos x.(2)法一：y.法二：y1，y1()，即y.11已知曲线f(x)e2x1在点A处的切线和曲线g(x

6、)e2x1在点B处切线互相垂直，O为坐标原点且·0，求AOB的面积解：f(x)e2x1·(2x1)e2x1，g(x)e2x1·(2x1)e2x1，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，y1，y2，f(x1)，g(x2)，x1x21，x1x2，x1，x2，y1，y2，OA，OB，即A(，)，B(，)·0，SAOB××.12已知曲线S：y3xx3及点P(2,2)(1)求过点P的切线方程；(2)求证：与曲线S切于点(x0，y0)(x00)的切线与S至少有两个交点解：(1)设切点为(x0，y0)，则y03x0x.又f(x)33x2，切线斜率k33x.即3x0x2(x02)(33x)(x01)(x01)230.解得x01或x01±.相应的斜率k0或k9±6，切线方程为y2或y(9±6)(x2)2.(2)证明：与曲线S切于点(x0，y0)的切线方程可设为yy0(33x)(xx0)，与曲线S的方程联立，消去y，得3x