五年级下册数学专项训练奥数第四讲最大公约数和最小公倍数_全国版(含答案)

1、第 1 页 第四讲 最大公约数和最小公倍数 本讲重点解决与最大公约数和最小公倍数有关的另一类问题有 关两个自然数 . 它们的最大公约数、最小公倍数之间的相互关系的问题。 定理 1 两个自然数分别除以它们的最大公约数， 所得的商互质 . 即如 果（a, b） =d，那么（a*d, b*d）= 1。 证明：设 a*d=ai, b*d=b,那么 a = aid, b=bd。 假设（ai, bj 工 1,可设（ai, m（m 1）,于是有 &= b =bm. （a2, b2是整数） 所以 a=aid = a2mcd b= bd = b2mc。 那么 md 是 a、b 的公约数。 又T n 1

2、,v mddo 这就与 d 是 a、b 的最大公约数相矛盾.因此，（a1, bj 工 1 的假设 是不正确的.所以只能是（a1, bj =1，也就是（a* d, b* d）= 1。 定理 2 两个数的最小公倍数与最大公约数的乘积等于这两个数的乘 积. （证明略） 定理 3 两个数的公约数一定是这两个数的最大公约数的约数 .（证明 略） 下面我们就应用这些知识来解决一些具体的问题。 例 1 甲数是 36，甲、乙两数的最大公约数是 4，最小公倍数是 288，求乙 数. 解法 1：由甲数x乙数=甲、乙两数的最大公约数x两数的最小公倍 数，可得 36x 乙数=4x 288, 乙数=4x 288* 36

3、, 解出 乙数=32。 答：乙数是 32。 解法 2:因为甲、乙两数的最大公约数为 4,则甲数=4x 9,设乙数=4 x 匕，且（b1, 9） =1o 第 2 页 因为甲、乙两数的最小公倍数是 288， 贝 U 288 = 4X 9X bi, b = 288-36, 解出 bi= & 所以,乙数 =4X 8=32。 答：乙数是 32。 例 2 已知两数的最大公约数是 21,最小公倍数是 126,求这两个数的和 是多少？ 解：要求这两个数的和,我们可先求出这两个数各是多少 .设这两个 数为 a、b, avbo 因为这两个数的最大公约数是 21,故设 a=21a, b= 21bi,且（ai

4、, bj= 1 o 因为这两个数的最小公倍数是 i26， 所以 126=21 X a1X b1 ， 于是 a 1X b1=6， 因此，这两个数的和为 21 126=147，或 4263=105o 答：这两个数的和为 147 或 105o 例 3 已知两个自然数的和是 50，它们的最大公约数是 5，求这两个自然 数。 解：设这两个自然数分别为 a 与 b，avb. 因为这两个自然数的最大 公约数是 5,故设 a=5a, b=5b，且（ai, bi） =1, aiv bio 因为 ab=50， 所以有 5a1+5b1=50， ai+bi=i0o 满足（ai, bi） =i, aivbi的解有： 答

5、：这两个数为 5 与 45 或 i5 与 35o 例 4 已知两个自然数的积为 240,最小公倍数为 60,求这两个数。 解：设这两个数为 a 与 b, avb,且设（a, b）= d, a= da, b = db, 其中（ai, bj= 1。 第 3 页 因为两个自然数的积=两数的最大公约数x两数的最小公倍数， 所以 240=d x 60, 解出 d = 4, 所以 a=4a1, b=4b1. 因为 a 与 b 的最小公倍数为 60, 所以 4 x ax b= 60, 于是有 a iX b = 15。 答：这两个数为 4 与 60 或 12 与 20。 例 5 已知两个自然数的和为 54,它

6、们的最小公倍数与最大公约数的差为 114,求这两个自然数。 解：设这两个自然数分别为 a 与 b, avb,（ a, b）= d, a = da, b =dbi,其中（ai, bi）= 1 o 因为 a+b= 54,所以 dai+dbi=54o 于是有 dx（ai+ 54,因此，d 是 54 的约数。 又因为这两个数的最小公倍数与最大公约数的差为 114, 所以 da1b1-d=114, 于是有 dx（ a1b1-1 ） =114, 因此，d 是 114 的约数。 故 d 为 54 与 114 的公约数。 由于（54, 114）= 6, 6 的约数有：1、2、3、6,根据定理 3, d 可 能

7、取 1 、 2、 3、 6 这四个值。 如果 d= 1,由 dx（曰+4）= 54,有 a+ b=54;又由 dx（曰 4-1 ） = 114,有 a1b1=115。 115=1X 115=5X 23,但是 1+ 115=11654, 5 + 23=28 工 54,所以 d 丰1. 如果 d= 2,由 d X( a1 + bj= 54,有 a1+b=27；又由 d X( a1b-1 ) =114,有 a1b1=58。 第 4 页 58= 1X 58 = 2X 29,但是 1 + 58= 59 工 27, 2+29= 31 工 27,所以 d2。 如果 d=3,由 dX (+ b1) =54,有

8、 a1+b= 18;又由 dX (ab-1 ) =114, 有 a1b1=39。 39= 1X 39 = 3X 13,但是 1 + 39= 40 工 18, 3+ 13= 16 工 18,所以 d 工 3。 如果 d=6,由 dX (a+ b1) =54,有 曰+ b=9;又由 dX (ab-1 ) =114, 有 a1b1=20。 20 表示成两个互质数的乘积有两种形式： 20=1X 20=4X 5,虽然 1 + 20=21 工 9,但是有 4+ 5 = 9,所以取 d = 6 是合适的，并有 a 仁 4, b1 = 5。 a= 6X 4= 24, b= 6X 5= 30。 答：这两个数为

9、24 和 30。 例 6 已知两个自然数的差为 4,它们的最大公约数与最小公倍数的积为 252,求这两个自然数。 解：设这两个自然数分别为 a 与 b,且 ab, a = da, b=db,(a1, b1)= 1 。 因为 a-b=4，所以 da1-db1=4,于是有 dX(a-b。=4,因此 d 为 4 的 约数。 因为这两个自然数的最大公约数与最小公倍数的积为 252,所以 dX dab = 252,于是有 d2X ab= (2X 3) 2X 7,因此 d 为 2X 3 的约数。 故 d 为 4 与 2X 3 的公约数。 由于( 4, 2X 3)= 2, 2 的约数有 1 和 2 两个,所

10、以 d 可能取 1、2 这两个值。 如果 d=1,由 dX (a1-bj=4,有 a-b1=4;又由 d2X ab=252,有 &5=252。 252 表示成两个互质数的乘积有 4 种形式： 252=1X 252=4X 63=7X 36 =9X 28,但是 252-1 = 251 工 4, 63-4 = 59 工 4, 36-7=29 工 4, 28-9 = 19工 4,所以 dM 1。 如果 d=2,由 dx (ai-bi) =4,有 a-bi=2；又由 d2x ab= 252,有 ab=63。 63 表示为两个互质数的乘积有两种形式： 63= 1 x 63=7x 9,但 63-1

11、=62 工 2,而 9-7 = 2,且(9, 7) =1,所以 d=2,并且 a= 9, bi = 7。 因此 a=2x 9= 18, b= 2x 7= 14。 答：这两个数为 18 和 14。 第 5 页 在例 2例 5 的解答中之所以可以在假设中排除 a=b 这种情形(在各 例中都只假设了 av b),分别是由于：例 2 和例 5,若 a= b,贝 U(a, b) =a , b = a,与条件(a, b)工a , b矛盾；例 3,若 a=b,则 a= b= (a, b) =5,因此 a+ b= 10工 50,与条件矛盾；例 4, ax b=240 不是平方数。 从例题的解答中可以看出， 在处理涉及两数的最大公约数或者最小公 倍数的很多问题中，经常用到的基本关系是：若两数为 a、b,那么 a=aid, b= bid,其中 d= (a, b),( ai, bi)= 1,因此a , b = dab，有时为了 确定起见，可设a b.对于很多情形，可以排除 a=b 的情形(如上述所示), 而只假设 av b.第 6 页 习题四 1. 已知某数与 24 的最大公约数为 4，最小公倍数为 168，求此数。 2. 已知两个自然数的最大公约数为 4，最小公倍数为 120