现代控制系统反馈系统的稳定分析PPT学习教案

1、会计学17 7. .1 1.2 .2 稳定的充要条件稳定的充要条件 稳定的充要条件：稳定的充要条件：系统所有闭环特征根均具有负的实部，系统所有闭环特征根均具有负的实部， 或所有闭环特征根均位于左半或所有闭环特征根均位于左半s平面。平面。0)(lim tkt根据系统稳定的定义，若根据系统稳定的定义，若 , ,则系统是稳定的则系统是稳定的。 )()( )()()( )()()()(2121nnmmsssazszszsbsDsMs niiinnsAsAsAsAssC12211)()( nititnttinieAeAeAeAtk1212)( 0lim)(lim1 nitittieAtk ni, 2,

2、1 必要性必要性：0 i 充分性：充分性：0 i ni, 2, 1 0)(1 nittiieAtk 第1页/共40页稳定判据稳定判据0)(0111 asasasasDnnnn(1)(1)必要条件必要条件)0( na0 ia1, 2, 1, 0 ni说明说明：0128296)(2345 ssssssD)3)(2)(1()( ssssD)3)(23(2 sss611623 sss08964)(245 sssssD010275)(234 sssssD例例1 1不稳不稳定定不稳不稳定定可能稳定可能稳定第2页/共40页1、间接判别（工程方法）劳斯判据：劳斯表中第一列各值严格为正，则系统稳定，如果劳斯表第

3、一列中出现小于零的数值，系统不稳定。胡尔维茨判据：当且仅当由系统分母多项式构成的胡尔维茨矩阵为正定矩阵时，系统稳定。2、直接判别MATLAB提供了直接求取系统所有零极点的函数，因此可以直接根据零极点的分布情况对系统的稳定性及是否为最小相位系统进行判断。第3页/共40页由开环频率特性直接判定闭环系统的稳定性由开环频率特性直接判定闭环系统的稳定性 可研究如何调整系统结构参数改善系统稳定性及性能问可研究如何调整系统结构参数改善系统稳定性及性能问题题频域稳定判据频域稳定判据 Nyquist 判据判据 对数稳定判据对数稳定判据 第4页/共40页0)(012211 asasasasasDnnnnnn(2)

4、 (2) 劳斯（劳斯（Routh）判据判据0321sssssnnnn 劳斯表劳斯表642 nnnnaaaa7531 nnnnaaaa4321bbbb4321cccc劳斯表第一列元素均大于零时系统稳定，否则系统不稳定劳斯表第一列元素均大于零时系统稳定，否则系统不稳定 且第一列元素符号改变的次数就是特征方程中正实部根的个数且第一列元素符号改变的次数就是特征方程中正实部根的个数 0a13211 nnnnnaaaaab15412 nnnnnaaaaab17613 nnnnnaaaaab121311bbaabcnn 131512bbaabcnn 141713bbaabcnn 第5页/共40页s4s3s2

5、 s1 s0解解. 列劳斯表列劳斯表 1 7 10 5 2劳斯表第一列元素变号 2次，有2个正根，系统不稳定。 33184 5335335275 10501105 331845331052533 10331841051033184 1010 例例2：D(s)=s4+5s3+7s2+2s+10=0 第6页/共40页时域（时域（t t）稳定边界稳定边界 稳定程度稳定程度频域（频域（w w）稳定程度稳定程度虚轴虚轴阻尼比阻尼比 x x到到(-1,(-1,j0)j0)的距离的距离(-(-1,1,j0)j0)稳定裕稳定裕度度( (开环频率指标开环频率指标) )第7页/共40页稳定裕度的定义稳定裕度的定义

6、的的几何意义几何意义h, c截止频率截止频率 相角裕度相角裕度( (PM)PM)(180cjGw w 1)( cjGg相角交界频相角交界频率率h幅值裕度幅值裕度( (GM)GM)(1gjGhw w 180)(gjG系统在系统在 方面的稳定储备量方面的稳定储备量 h幅值幅值相角相角第8页/共40页n如果系统对频率为截止频率的信号的相角滞后再如果系统对频率为截止频率的信号的相角滞后再增大增大 度，则系统处于临界稳定状态。度，则系统处于临界稳定状态。 n 系统稳定，则系统稳定，则 h1、 0 。 含义含义h含义含义一般要求一般要求 40 2 h第9页/共40页1 1) ) nyquist nyqui

7、st格式格式1 1：nyquist(sys) re,im,w=nyquist(sys)nyquist(sys) re,im,w=nyquist(sys)格式格式2 2：nyquist(sys,w) re,im,w=nyquist(sys,w)nyquist(sys,w) re,im,w=nyquist(sys,w)格式格式3 3：nyquist(sys,iu,w) re,im,w=nyquist(sys,iu w)nyquist(sys,iu,w) re,im,w=nyquist(sys,iu w)说明：说明： sys sys为为tf(),zpk(),ss()tf(),zpk(),ss()中任

8、一种模型中任一种模型。w w设定频率范围设定频率范围 省略时由机器自动产生。对于不带返回参数的将省略时由机器自动产生。对于不带返回参数的将绘制绘制NyquistNyquist曲曲线线。对于带有返回参数的将不对于带有返回参数的将不绘制绘制曲线曲线,返回参数返回参数 rere, ,imim 为为开环开环G(jw)G(jw)在各在各频率点的实部和虚部即：频率点的实部和虚部即：re=Re(re=Re(G(jw)G(jw),), im=Im(im=Im(G(jw).G(jw). MATLBMATLB相关函数相关函数第10页/共40页 2)2) bode bode格式格式1 1： bode(sys) ma

9、g,phase,w= bode(sys) bode(sys) mag,phase,w= bode(sys)格式格式2 2： bode(sys,w) mag,phase,w= bode(sys,w) bode(sys,w) mag,phase,w= bode(sys,w)格式格式3 3： bode(sys,iu,w) mag,phase,w= bode(sys,iu w) bode(sys,iu,w) mag,phase,w= bode(sys,iu w)说明：说明： bode bode函数的输入变量定义与函数的输入变量定义与nyquistnyquist相同相同BodeBode图可用于分析系统的

10、增益裕度、相位裕度、增益、带宽以及图可用于分析系统的增益裕度、相位裕度、增益、带宽以及稳定性等特性。稳定性等特性。magmag和和phasephase分别是幅值和相位数组。分别是幅值和相位数组。iuiu表示表示从系从系统第统第iuiu个输入到所有输出的个输入到所有输出的BodeBode图图 第11页/共40页3) 3) marginmargin格式格式1 1：marginmargin（syssys）格式格式2 2：marginmargin（mag,phase,wmag,phase,w）格式格式3 3： Gm,Pm, Wcg, Wcp=marginGm,Pm, Wcg, Wcp=margin（s

11、yssys） Gm,Pm, Wcg , Wcp=margin Gm,Pm, Wcg , Wcp=margin（mag,phase,wmag,phase,w） 说明：说明：marginmargin函数可从频率响应数据中计算出幅值裕度函数可从频率响应数据中计算出幅值裕度( (不不 是是db)db)、相角裕度和剪切频率。相角裕度和剪切频率。格式格式1 1 画出画出bodebode图，并标注幅值裕度和对应频率，相角裕图，并标注幅值裕度和对应频率，相角裕 度和对应频率。度和对应频率。格式格式2 2 由给定的幅值由给定的幅值magmag、相位相位phasephase及频率及频率w w画出画出bodebod

12、e图图格式格式3 3：不画图，返回幅值裕度：不画图，返回幅值裕度GmGm和对应频率和对应频率Wcg ,Wcg ,相角裕度相角裕度PmPm和对应频率和对应频率Wcp Wcp 。第12页/共40页4) 4) nichols（syssys）for more see Matlab,especially ltiview() * Step * Impulse * Bode * Bode Magnitude * Nyquist * Nichols * Sigma * Pole-Zero * Root Locus第13页/共40页稳定裕度的稳定裕度的手工计算手工计算)(180cjGw w 解法解法I：由幅相曲

13、线求由幅相曲线求。h, 例例)10)(2(100)110)(12(5)( sssssssG，求求。h, (1)(1)令令1)( cjG2222102100 cccw ww ww w1000400104242 cccw ww ww w9 . 2 cw w试根试根得得)9 . 2(180 109 . 2arctan29 . 2arctan90180 5 .181 .164 .5590第14页/共40页)(1gjGhw w (2.1)(2.1)令令 180)(gw w 10arctan2arctan90ggw ww w 90tan2011022gggw ww ww w可得可得 9010arctan2

14、arctanggw ww w202 gw w47. 4 gw w)dB6 . 7(4 . 210010247. 42222ggggwwww第15页/共40页)(1gjGhw w (2.2)(2.2)将将G(jw w)分解为实部、虚部形式分解为实部、虚部形式)10)(2(100)(w ww ww ww wjjjjG 令令0)(Im YGjGw w)100)(4()20(1001200222w ww ww ww ww w jYXjGG 47. 420 gw w得得4167. 0)( gXGw w代入实部代入实部4 . 24167. 01 4167. 0)( gGw w第16页/共40页)47. 4

15、(1jGh )110)(12(5)( ssssG由由L(w w):1)( cjGw w16. 310 cw w得得4 . 24167. 01 解法解法II：由：由BodeBode图求图求。h, 210125cccw ww ww w )(180cjGw w )16. 3(180 1016. 3arctan216. 3arctan90180 8 .14541.1767.57909 . 2 5 .1847. 4102 gw wZ=;P=0 -2 -10; K=100;sys=zpk(Z,P,K); Z=;P=0 -2 -10; K=100;sys=zpk(Z,P,K); margin(sys)mar

16、gin(sys)MatlabMatlab计算计算第17页/共40页例：考虑如下系统模型：例：考虑如下系统模型：2325 .3)(23ssssG求它的幅值裕度和相角裕度，并求其闭环阶跃响应求它的幅值裕度和相角裕度，并求其闭环阶跃响应。sys=tf(3.5,1 2 3 2);Gm,Pm=margin(sys)sys1=feedback(sys,1);step(sys1)第18页/共40页 A() 称称幅频特性幅频特性，()称称相频特性相频特性。二者统称为频率特性。二者统称为频率特性。p 基本概念基本概念第19页/共40页幅频特幅频特性性一、频率特性一、频率特性 G(jw w) 的定义的定义22T1

17、1)()()(w ww w trtcjGs相频特性相频特性Tarctan)()()(w ww w trtcjGs)(w wjG定义定义I：)(w wjG定义定义II：)()()(w ww ww wjGjGjG w ww wjssGjG )()(TarctanT1122w ww w Tj11Tj11w ww w Tj11w w w wjs 1Ts1tsin)(w wAtr T)arctan-tsin(T1)(22wwwAtcsw ww wjssjG 1T1)(以以为例为例第20页/共40页二、频率特性二、频率特性 G(jw w) 的表示方法的表示方法w ww wjssjG 1T1)(以以为例为例

18、幅频幅频相频相频)(w wjG. 频率特性频率特性. 幅相幅相特性特性( (Nyquist) ). 对数频率对数频率特性特性( (Bode) ). 对数幅相对数幅相特性特性( (Nichols) )对数幅频对数幅频对数相频对数相频)(w wjG )(lg20)(w ww wjGL )()(w ww w jG 第21页/共40页KsG )(三、典型环节的幅相频率特性三、典型环节的幅相频率特性 比例环节比例环节 微分环节微分环节 积分环节积分环节 惯性环节惯性环节KjG )(w wKG 0GssG )(w ww wjjG )(w w G 90GssG1)( w ww wjjG1)( w w1 G

19、90G1T1)( ssGT11)(w ww wjjG 22T11w w GTarctanw w G第22页/共40页 0101)0(jjG27. 092. 0)6 . 0(jjG 4 .16959. 04 . 08 . 0)1(jjG 6 .26804. 05 . 05 . 0)2(jjG 45707. 04 . 02 . 0)4(jjG 4 .63447. 034. 006. 0)8(jjG 76237. 0 0000)(jjG2215 . 01)( sssGw ww wjjG 22)(惯性环节幅相曲线绘制惯性环节幅相曲线绘制第23页/共40页 一阶复合微一阶复合微分分1T)( ssGT1)

20、(w ww wjjG 22T1w w GTarctan180w w 不稳定惯性环不稳定惯性环节节1Ts1)( sGTj11)(w ww w jG22T11w w GTarctan1801-Tarctanw ww w GTarctanw w G第24页/共40页 振荡环节振荡环节2222211nnGw ww wx xw ww w 22-12arctannnGw ww ww ww wx x 2222)(nnnsssGw wx xw ww w 12)(12 nnssw wx xw wnnjjGw ww wx xw ww ww w211)(22 01)0( jG 1800)( jG第25页/共40页不

21、稳定振荡环节不稳定振荡环节2222211nnGw ww wx xw ww w 3601)0( jG 1800)( jG2222)(nnnsssGw wx xw ww w nnjjGw ww wx xw ww ww w211)(22 22-12arctannnGw ww ww ww wx x 12)(1)(2 nnsssGw wx xw w22-12arctan360nnw ww ww ww wx x 第26页/共40页 二阶复合微二阶复合微分分222221nnGw ww wx xw ww w 22-12arctannnGw ww ww ww wx x 1T2T)(22 sssGx x12)(2

22、1T nnssnw wx xw ww wnnjjGw ww wx xw ww ww w21)(22 22-12arctannnGw ww ww ww wx x 22-12arctan360nnw ww ww ww wx x 第27页/共40页 延迟环节延迟环节1 G w w GsesG )(w w w wjejG )(sesRsCsG )()()()()(ttr 1)( sR)()()( ttktcsesC )(第28页/共40页五、五、Bode图介绍图介绍 幅值相乘幅值相乘 = = 对数相加，便于叠加作图；对数相加，便于叠加作图；纵纵轴轴横横轴轴坐标特坐标特点点特特点点按按 lgw w 刻度

23、，刻度，dec “十倍频程十倍频程”按按 w w 标定，等距等比标定，等距等比“分贝分贝”dB)(lg20)(w ww wjGL )(lg10)(lg分分贝贝贝贝尔尔rcrcPPPP 可在大范围内表示频率特性；可在大范围内表示频率特性； 利用实验数据容易确定利用实验数据容易确定 L(w w), ,进而确定进而确定G(s)第29页/共40页KjG )(w w典型环节的典型环节的BodeBode图图 比例环比例环节节 微分环节微分环节 积分环节积分环节 惯性环节惯性环节KLlg20)( w w 0)(w w w ww wjjG )(w ww wlg20)( L 90)(w w w ww wjjG1

24、)( w ww wlg20)( L 90)(w w T11)(w ww wjjG 22T1lg20)(w ww w L )(w w Tarctanw w Tarctan180w w 第30页/共40页 一阶复合微分一阶复合微分1T)( ssGT1)(w ww wjjG 22T1lg20)(w ww w LTarctan180w w Tarctanw w )(w w 第31页/共40页 振荡环节振荡环节222221lg20)(nnLw ww wx xw ww ww w )(w w 2222)(nnnsssGw wx xw ww w nnjjGw ww wx xw ww ww w211)(22 2

25、2-12arctan360nnw ww ww ww wx x 22-12arctannnw ww ww ww wx x1 nw ww w0)( w wL 0)(w w 3601 nw ww w( () )nLw ww ww wlg40)( 180)(w w 第32页/共40页 二阶复合微分二阶复合微分222221lg20)(nnLw ww wx xw ww ww w )(w w 12)()(2 nnsssGw wx xw wnnjjGw ww wx xw ww ww w21)(22 22-12arctan360nnw ww ww ww wx x 22-12arctannnw ww ww ww

26、wx x第33页/共40页 延迟环节延迟环节01lg20)( w wLw w w w 3 .57)(sesG )(w w w wjejG )(第34页/共40页)1T()1T()1()1()(vn1m1 sssssKsGv开环系统的开环系统的BodeBode图图GLlg20)( w wG )(w w w ww ww wv-n1T1lg20T1lg20lg20jjv w ww wv-n1TarctanTarctan90 vw w w w mjjK 1lg201lg20lg201w w w w marctanarctan1 第35页/共40页绘制开环系统绘制开环系统BodeBode图的步骤图的步骤

27、 化化G(jw w)为尾为尾1标准型标准型 顺序列出转折频率顺序列出转折频率 确定基准线确定基准线 叠加作叠加作图图)1)(12 . 0()15 . 0(100)(2 ssssssG)1)(2 . 0()5 . 0(40)(2 ssssssG例例3 30.2 0.2 惯性环节惯性环节0.5 0.5 一阶复合微分一阶复合微分1 1 振荡环节振荡环节)lg20)1(, 1(KL w w基准点基准点decdB20 v 斜率斜率一阶一阶惯性环节惯性环节 -20dB/dec复合微分复合微分 +20dB/dec二阶二阶振荡环节振荡环节 -40dB/dec复合微分复合微分 +40dB/decw0.2w0.2

28、 惯性环节惯性环节 - -2020w0.5w0.5 一阶复合微分一阶复合微分 +20 +20w1w1 振荡环节振荡环节 -40 -40第一转折频率之左第一转折频率之左的特性及其延长线的特性及其延长线第36页/共40页 修正修正 检查检查 两惯性环节转折频率很接近时两惯性环节转折频率很接近时 振荡环节振荡环节 x x (0.38, 0.8) 时时 L(w w) 最右端曲线斜率最右端曲线斜率=-20(n-m) dB/dec 转折点数转折点数=(=(惯性惯性)+()+(一阶复合微分一阶复合微分)+()+(振荡振荡)+()+(二阶复合微分二阶复合微分) ) (w)(w) -90(n-m)lg20)1(, 1(KL w w基准点基准点decdB20 v 斜率斜率w0.2w0.2 惯性环节惯性环节 - -2020w0.5w0.5 一阶复合微分一阶复合微分 +20 +20w1w1 振荡环节振荡环节 -40 -40Z=-0.5;P=0 -0.2 -0.5000 + 0.8660i -0.5000 - 0.8660i; K=40;sys=zpk(Z,P,K); bode(sys)第37页/共40页)15)(