相容性独立性完全性PPT学习教案

1、会计学12第1页/共47页3第2页/共47页4第3页/共47页5第4页/共47页6第5页/共47页7第6页/共47页8第7页/共47页9（这里，（这里，“包含自然数系包含自然数系”不是特别的要求，不是特别的要求，一般的形式体系都包含自然数系。）一般的形式体系都包含自然数系。）第8页/共47页10永远也不能证明它了！永远也不能证明它了！第9页/共47页11 . . 哥德尔第二定理哥德尔第二定理：对于包含自然数系的任何对于包含自然数系的任何相容的形式体系，相容的形式体系，“的相容性的相容性”是不可判定的。是不可判定的。 只有有穷个命题的体系，只有有穷个命题的体系，“体系的相容性体系的相容性”原则上

2、是可原则上是可以判定的；但包含自然数系的形式体系中有无穷个命题以判定的；但包含自然数系的形式体系中有无穷个命题（因为自然数有无穷多个）（因为自然数有无穷多个），而哥德尔又证明了：对于包含自然数系的任何相容的形式体而哥德尔又证明了：对于包含自然数系的任何相容的形式体系，系，“的相容性的相容性”是不可判定的。是不可判定的。 这就是说，公理化体系对逻辑的三条最基本的要求这就是说，公理化体系对逻辑的三条最基本的要求相容性、独立性、完全性，是无法同时满足的相容性、独立性、完全性，是无法同时满足的。 公理化体系大厦的基础崩塌了！公理化体系大厦的基础崩塌了！第10页/共47页12第11页/共47页13第12

3、页/共47页14第13页/共47页15 当然，这里所说的当然，这里所说的“自我指谓自我指谓”，与罗素悖论，与罗素悖论的的“自我指谓自我指谓”还不完全一样，因为形式的公理化还不完全一样，因为形式的公理化方法本来就是自成系统的。所以这种方法本来就是自成系统的。所以这种“自我指谓自我指谓”的毛病，来自公理系统自身。的毛病，来自公理系统自身。 这表明，公理化方法确有局限性，公理化方法这表明，公理化方法确有局限性，公理化方法在逻辑方面的三大基本要求，本身是无法完全满足在逻辑方面的三大基本要求，本身是无法完全满足的。的。第14页/共47页16第15页/共47页17第16页/共47页18第17页/共47页1

4、9第18页/共47页20第19页/共47页21 . .算术相容性的证明算术相容性的证明 “算术相容性算术相容性”，本来在希尔伯特的，本来在希尔伯特的“元数学元数学”体系中是一个体系中是一个不可判定命题，但是根岑（不可判定命题，但是根岑（Gentzen,Gerhard,1909年年-1945年）在年）在年证明了它。年证明了它。 根岑是扩大了希尔伯特的元数学中所允许采用的逻辑而应用了根岑是扩大了希尔伯特的元数学中所允许采用的逻辑而应用了超限归纳法，从而完成了这一证明。超限归纳法，从而完成了这一证明。 哥德尔第一定理是说，在一个相容的形式系统内，有该系统无哥德尔第一定理是说，在一个相容的形式系统内，

5、有该系统无法证明也无法证否的命题。但根岑想到，在一个扩大的形式系统中该法证明也无法证否的命题。但根岑想到，在一个扩大的形式系统中该命题是可能被证明或证否的。这使我们找到了命题是可能被证明或证否的。这使我们找到了“补救补救”数学的途径。数学的途径。第20页/共47页22第21页/共47页23第22页/共47页24第23页/共47页25第24页/共47页26第25页/共47页27第26页/共47页28第27页/共47页29第28页/共47页30第29页/共47页31第30页/共47页32第31页/共47页33第32页/共47页34第33页/共47页35第34页/共47页36第35页/共47页37第36页/共47页38第37页/共47页39第38页/共47页40第39页/共