线性代数课件PPT学习教案

1、会计学1行列式行列式矩阵矩阵线性方程组线性方程组向量空间向量空间矩阵的特征值矩阵的特征值二次型二次型1.教材内容教材内容:2.学习方法与要求学习方法与要求;预习预习+课堂学习课堂学习+课外练习课外练习 课本课本+练习本练习本+笔笔 本期应完成:10次作业、2次考试（4次考试） 第1页/共86页加法与乘法被看成是代数系统中的一般运算。加法与乘法被看成是代数系统中的一般运算。 一一.代数代数:是指由字母或符号来研究数及其结构的科学。是指由字母或符号来研究数及其结构的科学。1.初等代数初等代数 代数的起源可以追溯至3000多年前的古埃及人和古巴比伦人。 初期的代数主要源于解方程. 我国古代的九章算术

2、中就有方程问题。第2页/共86页初等代数研究的对象:代数式的运算和方程的求解。 整式、分式和根式是初等代数的三大类代数式。 四则运算，乘方和开方运算,通常称为初等代数的代数运算.初等代数的十条规则: (1)五条基本运算律： 加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律、分配律； (2)两条等式基本性质: 第3页/共86页等式两边同时加上一个数，等式不变； 等式两边同时乘以一个非零的数，等式不变；(3)三条指数律： 同底数幂相乘，底数不变指数相加； 指数的乘方等于底数不变指数相乘； 积的乘方等于乘方的积。人们在解方程的研究过程中发现了无理数、负数和复数，从而使数的概念得到了扩充。第4页/共86

3、页1799年高斯（Gauss）证明： 复数域上任意一个一元n次（n0）方程121210.0nnnnnna xaxaxa x a 任何一个一元n次方程在复数域上有且仅有n个根（重根按重数计算）至少有1个根,这就是说,至少有1个复数x满足这个等式； 第5页/共86页方程的代数解是指:方程经过有限次代数运算得到的解。 例如：20axbxc 的解. 22024bba xcaa 222424bbacxaa 21,242bbacxa ， 阿贝尔（Abel）(18021829)证明了五次方程不可能有代数解第6页/共86页20axbxc12,x x12bxxa 12cxxa 韦达定理:设一元二次方程在复数域上

4、的两个根为,则有 121210.0nnnnnna xaxaxa x a 12,nxxx112nnnaxxxa 212131nnnnax xx xxxa 一般地:设在复数域上的n个根为,则有 第7页/共86页312312421nnnnnax x xx x xxxxa 0121nnnax xxa 2.高等代数 1832年法国数学家伽罗瓦运用年法国数学家伽罗瓦运用“群群”的思想彻的思想彻底解决了用根式求解代数方程的可能性底解决了用根式求解代数方程的可能性,由此由此代数转变成为研究代数运算结构的科学代数转变成为研究代数运算结构的科学.第8页/共86页“线性”的含义是指未知量的一次式。 例如: y=ax

5、表示变量y是变量x的一个线性函数， y=ax1+bx2表示变量y是x1，x2的线性关系。 一个线性表示不能包含诸如x2和x1x2的二次项，这些二次项是非线性的。 线性代数的研究对象:线性方程组、线性空间和线性变换。 行列式和矩阵的是线性代数的两个重要工具.第9页/共86页例1：明代程大为著的算法统宗中记载：100个和尚分100个馒头。大和尚一人3个，小和尚3人一个，刚好分完。问大、小和尚各多少人？解：设有大和尚x人，小和尚y人，于是有100131003xyxy 100yx820033x 25,75xy用代入法求得：，代入，解出：第10页/共86页例2：中国古代算书张丘建算经记载百鸡问题：公鸡每

6、只值五文钱，母鸡每只值三文钱，小鸡三只值一文钱，现在用一百文钱买一百只鸡，问：在这一百鸡中，公鸡、母鸡、小鸡各有多少只？解：设有公鸡x只，母鸡y只，小鸡z只，则有1001531003xyzxyz 有（2）3（1）得148200 xy 74100 xy 7254yx 第11页/共86页因为y是整数，可设 代入得：4xk4257753xkykzk 又y0,可知k=1,2,3,由此得41878xyz 81181xyz 12484xyz 或或或或第12页/共86页 211322231x+ y-z =x+ y+ z =x- y+ z = 35xk 21322xyzxyz (1)(2)(3)解解: 由由(

7、2)-(1)得得(3)方程组与下列方程组方程组与下列方程组同解同解 (4)(5)由由(5)2(4):13yk zk k是任意常数是任意常数令令:第13页/共86页 1231231231232224222130 xxxxxxxxxxxx 解解:利用高斯（利用高斯（ Gauss ）消元法求解）消元法求解.将1,2两个方程互换位置得123123123123422222130 xxxxxxxxxxxx 第14页/共86页由第1个方程分别乘-2,-2,-3,后与2,3,4方程相加,得12323232344310493xxxxxxxxx 同理:将2,3方程互换位置,得12323232344943103xx

8、xxxxxxx 把第3,4两个方程分别加上第2个方程的-4,-1倍,得第15页/共86页123233344922xxxxxxx 同理;得 123233449200 xxxxxx 从第3个方程回代 123112xxx 第16页/共86页利用高斯消元法求解线性方程组 12312312343222322xxxxxxxxx 解:原方程组 123232344310432xxxxxxx 无解无解.若我们进一步变换可得: 123234431008xxxxx 第17页/共86页从以上例题可以看出,线性方程组的解有3种情况:唯一解、无穷解和无解。 当未知量或方程组的个数增多时, 常用高斯消元法求解方程组. 一般

9、地,方程组可表示为:11111212111212122222221122nnnnmmmmmnmnma xa xa xba xa xa xba xa xa xb 它是线性代数的主要研究对象。第18页/共86页某地区有某地区有1 1个工厂个工厂, ,生产甲生产甲, ,乙乙, ,丙丙3 3种产品种产品, ,x xi i(i=1,2,3),(i=1,2,3),表示工厂生产这表示工厂生产这3 3种产品的数量种产品的数量, ,a ai i(i=1,2,3)(i=1,2,3)表示第表示第i i种产品的单价种产品的单价,y,y表示这表示这3 3种产品的总收入种产品的总收入, ,则有则有: :332211xax

10、axay 若某地区有若某地区有1,2,3,41,2,3,4个工厂个工厂, ,生产甲生产甲, ,乙乙, ,丙丙3 3种种产品产品,x,xkiki(k=1,2,3,4;i=1,2,3)(k=1,2,3,4;i=1,2,3)是是k k工厂生产工厂生产i i种种产品的数量产品的数量,a,ai i(i=1,2,3)(i=1,2,3)表示表示i i种产品的单价种产品的单价, ,y yk k表示表示k k工厂的总收入工厂的总收入, ,则有则有: :2、线性代数的数学模型第19页/共86页1331221111xaxaxay 2332222112xaxaxay 3333223113xaxaxay 4334224

11、114xaxaxay 在一个经济系统中在一个经济系统中,一个企业既是生产者又是消一个企业既是生产者又是消费者费者,作为生产者作为生产者,它有产出它有产出,作为消费者它有投作为消费者它有投入入,企业之间的这种平衡关系可以用一系列的线企业之间的这种平衡关系可以用一系列的线性方程组来表示性方程组来表示,这就是列昂节夫这就是列昂节夫(诺贝尔经济学诺贝尔经济学奖获得者奖获得者)的投入产出数学模型的投入产出数学模型.第20页/共86页 要想知道卡车在公路上行驶时的位置可利用要想知道卡车在公路上行驶时的位置可利用GPS系统系统.这个系统是由这个系统是由24颗高轨道卫星组成颗高轨道卫星组成,卡卡车从其中车从其

12、中3颗卫星接受信号颗卫星接受信号,接受器里的软件利接受器里的软件利用线性代数方法来确定卡车的位置用线性代数方法来确定卡车的位置. 当卡车和一颗卫星联系时当卡车和一颗卫星联系时,接受器从信号往返接受器从信号往返的时间能确定卡车到卫星的距离的时间能确定卡车到卫星的距离,例如例如14000公里公里,从卫星来看从卫星来看,知道卡车位于以卫星为球心知道卡车位于以卫星为球心,半径为半径为14000公里的球面上的某地公里的球面上的某地.设卡车位置设卡车位置(x,y,z),第第一颗卫星位置一颗卫星位置(a1,b1,c1)即即 221212114000 czbyax第21页/共86页同理同理 假设第假设第2,3

13、颗卫星的位置分别是颗卫星的位置分别是(a2,b2,c2)和和(a3,b3,c3)距卡车的距离分别是距卡车的距离分别是17000和和16000公里公里,则有则有 222222217000 czbyax 223232316000 czbyax这些关系式不是线性关系式这些关系式不是线性关系式,要求要求(x,y,z)由由(1)减减(2),(3)得得: 1121212222222Rzccybbxaa 2131313222222Rzccybbxaa 第22页/共86页动画设计中常常用到坐标变换如动画设计中常常用到坐标变换如:平移平移 旋转等旋转等设平面上的点为设平面上的点为(x,y) 平移变换后为平移变换

14、后为 yx ,则则:byyaxx 设平面上的点为设平面上的点为(x,y) 旋转变换后为旋转变换后为 yx ,则则: cossinsincosyxyyxx (x,y) yx ,r第23页/共86页一一.2阶行列式和阶行列式和3阶行列式的定义阶行列式的定义(一一)2阶行列式的定义阶行列式的定义(二二)3阶行列式的定义阶行列式的定义二二.n阶行列式的定义阶行列式的定义第24页/共86页行列式出现于线性方程组的求解。 它是数学语言上的改革, 它的简化的记法常常是深奥理论的源泉。 P.S.Laplace是一种速记表达式. 行列式的概念最早是由十七世纪日本数学家 关孝和提出来的(1683 年 ) Vand

15、ermonde 首次对行列式理论进行系统的阐述 成为行列式理论的奠基人. 第25页/共86页用消元法解二元线性方程组用消元法解二元线性方程组 .,22221211212111bxaxabxaxa 1 2 :122a ,2212221212211abxaaxaa :212a ,1222221212112abxaaxaa ，得，得两式相减消去两式相减消去2x(一一)2阶行列式的定义阶行列式的定义第26页/共86页;212221121122211baabxaaaa ）（，得，得类似地，消去类似地，消去1x,211211221122211abbaxaaaa ）（时，时，当当021122211 aaaa

16、方程组的解为方程组的解为，211222112122211aaaabaabx ）（3.211222112112112aaaaabbax .,22221211212111bxaxabxaxa 1 22222111211baabaa由方程组的四个系数确定由方程组的四个系数确定.第27页/共86页 由四个数排成二行二列（横排称行、竖排由四个数排成二行二列（横排称行、竖排称列）的数表称列）的数表)4(22211211aaaa)5(42221121121122211aaaaaaaa行行列列式式，并并记记作作）所所确确定定的的二二阶阶称称为为数数表表（表表达达式式 即即.2112221122211211aa

17、aaaaaaD 第28页/共86页11a12a22a12a主对角线副对角线2211aa .2112aa 二阶行列式的计算二阶行列式的计算若记若记,22211211aaaaD .,22221211212111bxaxabxaxa对于二元线性方程组系数行列式第29页/共86页 .,22221211212111bxaxabxaxa,22211211aaaaD ,2221211ababD .,22221211212111bxaxabxaxa,22211211aaaaD .2211112babaD 第30页/共86页则二元线性方程组的解为则二元线性方程组的解为,222112112221211aaaaab

18、abDD 注意注意 分母都为原方程组的系数行列式分母都为原方程组的系数行列式.222112112211112aaaababaDD 211222112122211aaaabaabx 211222112112112aaaaabbax 第31页/共86页 . 12,12232121xxxx求解二元线性方程组求解二元线性方程组解解1223 D)4(3 , 07 112121 D,14 121232 D,21 DDx11 , 2714 DDx22 . 3721 第32页/共86页解三元一次方程组 111122133121122223323113223333a xa xa xba xa xa xba xa

19、 xa xb 由（1）（2）消x3,同理（1）（3）消x3得 1111221331111122133121122223323113223333a xa xa xba xa xa xb,a xa xa xba xa xa xb 11 23132111223132221 232 1311 33133111233133221 333 13a aa axa aa axbab aa aa axa aa axbab a 第33页/共86页由二元一次方程组可知:若系数行列式: 11 2313 2112 3313 3211 3313 3112 2313 220D a aa aa aa aa aa aa aa

20、a 即即:11 12 23 3311 13 23 3212 13 21 3313 13 21 3211 12 23 3312 13 23 3111 13 22 3313 13 22 31a a a aa a a aa a a aa a a aa a a aa a a aa a a aa a a a 13112233122331132132aa a aa a aa a a 111213132122233132330aaaaaaaaaa 112332122133132231a a aa a aa a a 第34页/共86页 11 232 1312 3313 321 333 1312 2313 22

21、Dbabaa aa ababaa aa a 13122332133231223ab a ab a ab a a 11213132222333233baaabaabaa 123322123331322b a ab a ab a a那么那么:1x 112132222333233baabaabaa111213212223313233aaaaaaaaa第35页/共86页111213121222323132333a xa ya zba xa ya zba xa ya zb x 三元线性方程组三元线性方程组:111213212223313233aaaaaaaaa112132222333233baabaab

22、aa若若系数行列式不等于零系数行列式不等于零,有解有解:y 111213212223313233aaaaaaaaa111132122331333abaabaabaz 111213212223313233aaaaaaaaa111212122231323aabaabaab第36页/共86页333231232221131211339aaaaaaaaa列的数表列的数表行行个数排成个数排成设有设有,312213332112322311322113312312332211)1(aaaaaaaaaaaaaaaaaa 333231232221131211aaaaaaaaa（1）式称为数表所确定的.第37页/共

23、86页323122211211aaaaaa .312213332112322311aaaaaaaaa (1)(1)沙路法沙路法三阶行列式的计算322113312312332211aaaaaaaaa D333231232221131211aaaaaaaaaD . .列标列标行标333231232221131211aaaaaaaaaD 第38页/共86页333231232221131211aaaaaaaaa332211aaa .322311aaa 注意 红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三元素的乘积冠以负号说明 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式322113aaa 312312aaa 312213

24、aaa 332112aaa 第39页/共86页2-43-122-4-21D 计算三阶行列式计算三阶行列式按对角线法则，有按对角线法则，有 D4)2()4()3(12)2(21 )3(2)4()2()2(2411 24843264 .14 第40页/共86页11121314212223243132333441424344aaaaaaaaaaaaaaaa不适用对角线定义不适用对角线定义.第41页/共86页 10011100011001111 +1三阶行列式的沙路法和对角线法不适用四三阶行列式的沙路法和对角线法不适用四阶行列式阶行列式第42页/共86页134123412312345423214210

25、 xxxxxxxxxxxxxx 134542xxx 41x 求求x4=?(1)(2)(3)(4)由由(2)+(3)得得:得得:504211 2141201111 10504311 2141211110 341DD 第43页/共86页观察观察2阶和阶和3阶行列式阶行列式:22211211aaaa21122211aaaa ,312213332112322311322113312312332211aaaaaaaaaaaaaaaaaa 333231232221131211aaaaaaaaa44434241343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaaaaa=?第44页/共8

26、6页三阶行列式三阶行列式:+1232313121322133210个个2个个2个个偶排列偶排列1个个1个个3个个奇排列奇排列,312213332112322311322113312312332211aaaaaaaaaaaaaaaaaa 333231232221131211aaaaaaaaa记记: 321pppN为排列的逆序数总数为排列的逆序数总数.321321pppaaa 3211pppN 第45页/共86页1111aa 规定规定44434241343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaaaaa43214321ppppaaaa 43211PPPPN 2221121

27、1aaaa21122211aaaa 2121ppaa 21) 1(ppN =行列式的一般项定义行列式的一般项定义.第46页/共86页332211aaa 333231232221131211aaaaaaaaa补充说明补充说明:行列式的一般项定义中列标可按自行列式的一般项定义中列标可按自然顺序排列然顺序排列.322311aaa 312312aaa 322113aaa 332112aaa ,aaa312213 231231aaa 133221aaa 233211aaa 331221aaa 132231aaa 例如例如:321321pppaaa 3211kkkN 3213213211ppppppNaa

28、a 第47页/共86页 nnnnnnnpppPPPNaaaaaaaaaDaaannnnn212222111211212.)1(2121 记记作作的的代代数数和和个个元元素素的的乘乘积积取取自自不不同同行行不不同同列列的的阶阶行行列列式式等等于于所所有有个个数数组组成成的的由由行列式的行列式的一般项一般项简记简记 ija其中其中aij是行列式的元数是行列式的元数.第48页/共86页例：写出四阶行列式中含有因子 的项. 例：计算行列式111213142223243333444000000aaaaaaaDaaa 2311aa142323241000000000000aaDaa 11221334400

29、0000000000aaDaa 112122432323341424344000000aaaDaaaaaaa 第49页/共86页例例1 1计算对角行列式计算对角行列式0004003002001000分析分析展开式中一般项中的元素积展开式中一般项中的元素积:43214321ppppaaaa41 p若若, 011 pa所以所以 只能等于只能等于 , 1p4同理可得同理可得1, 2, 3432 ppp解解即行列式中不为零的项为即行列式中不为零的项为.aaaa41322314 432114321 N.24 第50页/共86页第51页/共86页行列式 称为行列式 的转置行列式. 若记 ，则 .记性质1

30、行列式与它的转置行列式相等,即 .111212212212, nnnnnnaaaaaaaaDa TDDdet(), det()TijijDaDb ijjiba TDD 212211121212nnnnTnnaaaaaaDaaa 第52页/共86页性质1 行列式与它的转置行列式相等.证明根据行列式的定义，有若记 ，则行列式中行与列具有同等的地位,行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.121212()12( 1)nnnt p ppTppnpp ppDbbb det(), det()TijijDaDb ,1,2,ijijbai jn 1121221()2( 1)nnnppt p ppp ppp

31、naaa D 第53页/共86页性质2 互换行列式的两行（列）,行列式变号.验证于是推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零.证明互换相同的两行，有 ，所以 . 备注：交换第 行（列）和第 行（列），记作 .175662358175358662196 196 175175662358358662 DD 0D ji()ijijrr cc第54页/共86页性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一个倍数 ，等于用数 乘以此行列式.验证我们以三阶行列式为例. 记 根据三阶行列式的对角线法则，有备注：第 行（列）乘以 ，记作 .kk111213212223313233,aaaDaa

32、aaaa 1112131212223313233kkaaaDaaaaaak ki()iirk ck第55页/共86页推论 行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面备注：第 行（列）提出公因子 ，记作 .1112131212223313233kkaaaDaaaaaak 112233122331132132132231122133112332()()()()()()aaaaaaaaaaaaaaakkkkkkaaa112233122331132132132231122133112332a a aa a aa a aa a aa a aaaka Dk ki()iirk ck第56

33、页/共86页验证我们以4阶行列式为例. 性质4 行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零212223242122232431323334111213141112311121314111213213333431141400aaaaakkkakaaaaaaaaaaaaaaaakakaaaaaaaaa第57页/共86页性质5 若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和,例如：则121222221113212331332323aaDaaabababaa 111311132123212331331212222232331323aaaaDaaaabababaaaaa第58页/共86页验证我们以三阶

34、行列式为例. 121222221113212331332323aaDaaabababaa 221231312322()13( 1)()ppt p p pppp p pabaa 123123131312322123()()132213( 1)( 1)t p p pt p p pppppp p pp p pppaaaaba 111311132123212331333131212222223332aaabaabaaaaaaabaaa第59页/共86页性质6 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一个倍数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变则验证我们以三阶行列式为例. 记 备注：以数 乘第 行

35、（列）加到第 行（列）上，记作 .1.DD 122211132123313323,aaDaaaaaaa 1112131212213233323313233aaaDaaakakakaaaa ki().ijijrkr ckc j第60页/共86页,312213332112322311322113312312332211aaaaaaaaaaaaaaaaaa 333231232221131211aaaaaaaaa例如 3223332211aaaaa 3321312312aaaaa 3122322113aaaaa 333123211333312321123332232211aaaaaaaaaaaaaaa

36、 323122213113333123212112333223221111111aaaaaaaaaaaaaaa 3或或2阶行列式的按第阶行列式的按第1行展开式归纳如下行展开式归纳如下:四阶行列式与四阶行列式与n阶行列式按行展开式定义阶行列式按行展开式定义.131312121111AaAaAa 第61页/共86页按照这一规律观察按照这一规律观察2阶阶:22211211aaaa21122211aaaa 44434241343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaaaaa=规定规定:1111aa 21122211aaaa 21211222111111aaaa 1414Aa

37、 1111Aa1212Aa 1312Aa 12121111AaAa 第62页/共86页在在 阶行列式中，把元素阶行列式中，把元素 所在的第所在的第 行和第行和第 列划去后，留下来的列划去后，留下来的 阶行列式叫做元素阶行列式叫做元素 的的余子式余子式，记作，记作nijaij1 nija.Mij ，记记ijjiijMA 1叫做元素叫做元素 的的代数余子式代数余子式ija例如例如44434241343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaaaaaD 的余子式和的余子式和代数余子式代数余子式22a第63页/共86页44434134333114131122 222222 1

38、.M22 44434241343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaaaaaD 第64页/共86页,44434241343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaaaaaD ,44434134333124232112aaaaaaaaaM 1221121MA .12M .个代数余子式个代数余子式对应着一个余子式和一对应着一个余子式和一行列式的每个元素分别行列式的每个元素分别 的余子式和的余子式和代数余子式代数余子式12a第65页/共86页定义定义: :由由n n2 2个数个数aijij(ij=1,2,(ij=1,2,n)n)组成的组成的n

39、n阶行阶行列式列式nnAaAaAaD1112121111 njjjAa111nnnnnnaaaaaaaaaD212222111211 是一个算式是一个算式.当当n=1时时,定义定义D=1111aa 当当n2时时,定义为定义为 其中其中: jjjMA1111 第66页/共86页例例13351110243152113 D3 =40按第按第1行的元素展开行的元素展开1414131312121111AaAaAaAa 351102315123511024151133111243511413121 335110431 111 第67页/共86页推论 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余

40、子式乘积之和等于零，即分析 我们以3阶行列式为例. 把第1行的元素换成第2行的对应元素，则 11220,.ijijinjna Aa Aa Aij 111213212223AAaaa A212223313232122233aaaaaaaaa 111213111112121313212223313233aaaa Aa Aa Aaaaaaa0. 第68页/共86页定理 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即推论 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即综上所述，有同理可得 11221,2,iiiiinina Aa Aa AD in 1

41、1220,.ijijinjna Aa Aa Aij 1122,0,niinijjjDija Aa Aa Aij 1122,0,ijijinjnDija Aa Aa Aij 第69页/共86页例 计算行列式5312017252023100414002350D 第70页/共86页例 设 求及3521110513132413D 11121314AAAA11213141.MMMM第71页/共86页第72页/共86页第73页/共86页二元线性方程组 若令 (方程组的系数行列式)则上述二元线性方程组的解可表示为11112212112222a xa xba xa xb 11122122aaDaa 1211222bbaDa 1221121baDab 1122122111221221DDb aa bxa aa a 1121212211221221a bb aDxa aa aD 第74页/共86页如果线性方程组的系数行列式不等于零，即11112211211222221122(1)nnnnnnnnnna xa xa xba xa xaxb