拉普拉斯变换-1PPT课件

1、Laplace变换变换 本章介绍本章介绍Laplace变换的概念、性质变换的概念、性质以及以及Laplace逆变换逆变换. .最后给出最后给出Laplace变变换一些应用的例子换一些应用的例子. . Fourier变换在许多领域中发挥着重要的作用变换在许多领域中发挥着重要的作用,但是在通常意义下，但是在通常意义下，Fourier变换存在的条件需要变换存在的条件需要实函数实函数f (t)在在(- ,+ )上绝对可积上绝对可积. 很多常见的初等很多常见的初等函数函数(例如，常数函数、多项式函数、正弦与余弦例如，常数函数、多项式函数、正弦与余弦函数等函数等)都不满足这个要求都不满足这个要求. 另外，

2、很多以时间另外，很多以时间t 为为为自变量的函数，当为自变量的函数，当t0时，往往没有定义，或者时，往往没有定义，或者不需要知道不需要知道t0的情况的情况. 因此因此, Fourier变换在实际变换在实际应用中受到一些限制应用中受到一些限制. 当函数当函数f (t)在在t0时没有定义或者不需要知时没有定义或者不需要知道时道时, 可以认为当可以认为当t0时时, f (t) 0. 这时这时, Fourier变换的表达式为变换的表达式为 0 ( )( )d .i tf tf t et F F但是仍然需要但是仍然需要f (t)在在 0,) 上绝对可积的条件，上绝对可积的条件， 这个要求限制了它的应用这

3、个要求限制了它的应用. 对定义在对定义在 0,) 上的函数上的函数 f (t), 如果考虑如果考虑 1( )( ) (0),tf tf t e 那么那么 1( )f t容易满足在容易满足在 0,) 上绝对可积的上绝对可积的 要求要求. 例如，例如， ( )f t为常数、多项式、正弦与余弦为常数、多项式、正弦与余弦函数时函数时, 1( )( ) (0)tf tf t e 都在都在 0,) 上绝对可积上绝对可积. 这是因为这是因为 时时, t te 是衰减速度很快的函数，称它为指数衰减函数是衰减速度很快的函数，称它为指数衰减函数. 如果如果 0 取得适当大，那么取得适当大，那么 1( ), 0(

4、)0, 0tf t etf tt 的的Fourier变换可能有意义变换可能有意义. 1( )f t的的Fourier变换变换可表示为可表示为 ()00( )d( )d .ti titf t eetf t et 将将 i 记为记为s, 可写成可写成 0( )( )d .stF sf t et 这就是本章要讨论的这就是本章要讨论的Laplace变换变换, 它放宽了对函它放宽了对函数的限制并使之更适合工程实际数的限制并使之更适合工程实际, 定义设定义设 ( )f t在在0t 上有定义上有定义, 并且积分并且积分 0( )( )dstF sf t et (s是复参变量是复参变量)关于某一范围关于某一范

5、围s 收敛，则由这个积分确定的函数收敛，则由这个积分确定的函数0( )( )d ,stF sf t et 称为函数称为函数 ( )f t的的Laplace变换变换, 并记做并记做 ( ),f tL L即即 0 ( )( )( )d .stf tF sf t et L LLaplace变换的定义变换的定义的的像函数，像函数， ( )F s称为称为 ( )f t( )f t称为称为 ( )F s的的像原函数像原函数. 已知已知 ( )F s是是( )f t的的Laplace变换，则记变换，则记 1( )( ),f tF s L L并称并称( )f t为为( )F s的的Laplace逆变换逆变换.

6、 .内分段连续内分段连续, 并且当并且当t 时时, ( )f t的增长速度不的增长速度不超过某一指数函数超过某一指数函数, 即存在常数即存在常数0M 实数实数0,s使得在使得在 0,) 上，上， 在在定理定理 设函数设函数 ( )f t0t 的任何有限区间的任何有限区间0( ),s tf tMe 则在半平面则在半平面0Ress 上，上， ( )f tL L存在存在, 且且 ( ) ( )F sf t L L是是s的解析函数的解析函数, 其中其中 0s称为称为( )f t的增长指数的增长指数. Laplace变换存在定理变换存在定理 解解 0( )( )( )ststtt edtt edt=1

7、1t 例例 求单位脉冲函数求单位脉冲函数 的拉氏变换的拉氏变换 t0011 ( )d.ststu tetess L L因为在因为在Laplace变换中不必考虑变换中不必考虑 0t 时的情况，时的情况，所以经常记作所以经常记作 11.s L L例例1 求单位阶跃函数求单位阶跃函数 1, 0( )0, 0tu tt 的的Laplace变换变换.根据根据Laplace变换的定义，变换的定义， 当当Re0s 时，时， 例例2 求指数函数求指数函数 ( )atf te (其中其中a是实数是实数)的的Laplace变换变换. ()00( ) ( )dd ,atatsts a tF sf tee etet

8、L LL L()01d,s a tetsa 所以所以根据根据Laplace变换的定义变换的定义 1 (Re).atesasa L Las )Re(这个积分当这个积分当 时收敛，且时收敛，且 as )Re(例例3 求正弦函数求正弦函数 的拉氏变换的拉氏变换 ( )sin)f tktkR ( 00020201( )sinsin1sincos0coscossin0stststststststf tktedtktdesektkektdtskektdtskektkektdts 解解 即即22sinkktsk同理可得同理可得22cossktsk 如如 22sin 204tRe ss 2cos309stRe

9、 ss 则则22200sinsinststkkktedtktedtss 例例 求单位斜坡函数求单位斜坡函数 的拉氏变换的拉氏变换 000tttt解解: : 21( )( )ttu ts )0)(Re(111)(2000ssdtestesdttetststst设设( )f t是以是以T 为周期的函数为周期的函数, 即即 ()( ) (0),f tTf tt 且在一个周期内分段连续，则且在一个周期内分段连续，则 0T0 ( )( )d=( )d( )dstststTf tf t etf t etf t et L周期函数的周期函数的Laplace变换变换1TT1100=( )d( )ds tstf

10、t etf t et （） 于是于是01 ( )( )d .1TstsTf tf t ete L L这就是这就是周期函数的周期函数的Laplace变换公式变换公式. 1T1100=( )d( )dststsTf t etef t et T0=( )dstsTf t ete ( )f tL例例 求全波整流函数求全波整流函数( )sinf tt 的的Laplace变换变换. 01 ( )sin d1stsf tet te L L201( sincos )11stsettes 21111ssees 所以由所以由( )f t的周期的周期,T tf (t)o 2 根据拉普拉斯变换的定义 Laplace

11、逆变换逆变换1( )( )d (0),2istif tF s esti 其中其中0,s 0s是是( )f t的增长指数的增长指数. 积分路径是积分路径是在右半平面在右半平面 0Ress 上的任意一条直线上的任意一条直线 Re.s 0 xy这就是这就是Laplace逆变换的逆变换的一般公式一般公式, 称为称为的的反演积分反演积分. 这是复变函数的这是复变函数的积分积分, 在一定条件下在一定条件下, 可利用留数来计算可利用留数来计算. Laplace 变换变换定理设定理设 12, , , nsss是是 ( )F s的所有孤立的所有孤立奇点奇点(有限个有限个)， 除这些点外除这些点外, ( )F s

12、处处解析处处解析, 且且在在,s 当当0|sR 时时, F(s)0选取选取, 使所有使所有孤立奇点都在孤立奇点都在 Res 内内, 则当则当 0t 时，时， 11( )dRes( ),2niststkikF s esF s esi 利用留数求利用留数求Laplace逆变换的公式逆变换的公式特别当特别当( )F s是有理函数，且为分母次数高于是有理函数，且为分母次数高于 分子次数的有理真分式，则分子次数的有理真分式，则Laplace逆变换存在，逆变换存在， 11( )( )Res( ),.nstkkf tF sF s es L L例求例求 2( )1sF ss 的的Laplace逆变换逆变换. 解解si 是是 21stses 的的1阶极点，阶极点， 由计算由计算 留数的法则，留数的法则， 21Res, ,122ststitsisseeiess 122( )Res, Res, 11ststssF seieiss L L1()cos .2ititeet