弹性力学与有限元法

1、2 有限元法有限元法是结构分析的一种是结构分析的一种数值计算方法数值计算方法。它在。它在20世纪世纪50年代初年代初期随着计算机的发展应运而生。期随着计算机的发展应运而生。这一方法这一方法目前已成为目前已成为机械产品动机械产品动、静静、热特性分析热特性分析的重要手段，的重要手段，它的程序包是它的程序包是机械产品计算机辅助设计方法库机械产品计算机辅助设计方法库中不可缺少的内容之一。中不可缺少的内容之一。 本章本章介绍了介绍了如下内容如下内容: :u 有限元法的发展历史有限元法的发展历史u 有限元法的基本思想有限元法的基本思想u 平面问题有限元分析原理及步骤平面问题有限元分析原理及步骤u 有限元法

2、的设计应用及计算实例有限元法的设计应用及计算实例第一章第一章 有限元法的基本概念有限元法的基本概念 课程目标课程目标（1 1）了解什么是有限元法、有限元方法的基本思路。）了解什么是有限元法、有限元方法的基本思路。（2 2）掌握有限元法的基本原理，主要结合弹性力学问题来介绍）掌握有限元法的基本原理，主要结合弹性力学问题来介绍有限元法的基本方法，包括单元分析、整体分析、载荷与约束处理、有限元法的基本方法，包括单元分析、整体分析、载荷与约束处理、轴对称问题的概念等。轴对称问题的概念等。（3 3）了解有限元软件的发展水平，了解用有限元软件分析简单）了解有限元软件的发展水平，了解用有限元软件分析简单工程

3、问题的方法。工程问题的方法。1 有限元法的基本概念有限元法的基本概念 2021-12-124 在在工程分析工程分析和和科学研究科学研究中，常常会遇到大量的由中，常常会遇到大量的由常微分方程常微分方程、偏偏微分方程微分方程及相应的及相应的边界条件边界条件描述的描述的场问题场问题，如位移场、应力场和温度，如位移场、应力场和温度场等问题。目前求解这类场等问题。目前求解这类场问题场问题的方法主要有的方法主要有两种两种： 用用解析法解析法求得精确解；求得精确解； 用用数值解法数值解法求其近似解。求其近似解。 其中，其中， 能用能用解析法解析法求出求出精确解精确解的只能是方程性质比较简单且几的只能是方程性

4、质比较简单且几何边界相当规则的少数问题。何边界相当规则的少数问题。而对于绝大多数问题，则很少能得出而对于绝大多数问题，则很少能得出解析解解析解。这就需要研究它的。这就需要研究它的数值解法数值解法，以求出，以求出近似解近似解。1.1 1.1 有限元法的发展历史有限元法的发展历史2021-12-125 目前，工程中实用的目前，工程中实用的主要有主要有三种三种： 有限差分法有限差分法 有限元法有限元法 边界元法边界元法 其中，以其中，以有限元法有限元法通用性最好通用性最好，解题效率高解题效率高，工程应用最广工程应用最广。目。目前它已成为前它已成为机械产品动机械产品动、静静、热特性分析热特性分析的重要

5、手段，的重要手段，是是机械产品计算机辅助设计方法库机械产品计算机辅助设计方法库中不可缺少的内容之一中不可缺少的内容之一。2021-12-126“ ” 的的早在早在20世纪世纪40年代初期就有人提出，但年代初期就有人提出，但真正用于工程中则是真正用于工程中则是电子计算机电子计算机出现以后。出现以后。 “ ” 这一名称是这一名称是1960年美国的年美国的克拉夫克拉夫（Clough，R.W.）在一篇题为在一篇题为 “平面应力分析的有限元法平面应力分析的有限元法” 论文中首先使用。此后，论文中首先使用。此后，有有限元法限元法的应用得到蓬勃发展。的应用得到蓬勃发展。 到到20世纪世纪80年代初期国际上较

6、大型的年代初期国际上较大型的结构分析有限元通用程序结构分析有限元通用程序多多达达几百种几百种，从而为，从而为工程应用工程应用提供了方便条件。由于有限元通用程序提供了方便条件。由于有限元通用程序使用方便，计算精度高，其计算结果已成为使用方便，计算精度高，其计算结果已成为各类工业产品设计各类工业产品设计和和性性能分析能分析的可靠依据。的可靠依据。 2021-12-12图图1 1 新型双向拉索悬索桥新型双向拉索悬索桥图图2 2 中华和钟中华和钟材料力学材料力学研究简单形状物体的应力和应变，复杂形状物体如何研究？研究简单形状物体的应力和应变，复杂形状物体如何研究？2021-12-12如何处理如何处理？

7、连续体连续体离散体离散体弹性体离散过程分为弹性体离散过程分为自然离散（如架）自然离散（如架）逼近离散（连续体）逼近离散（连续体） 有限元法的计算步骤归纳为以下三个基本步骤：有限元法的计算步骤归纳为以下三个基本步骤：网格划分，单网格划分，单元分析，整体分析。元分析，整体分析。（1）网格划分网格划分 有限元法的基础是用有限个单元体的集合来代替原有的连续体。有限元法的基础是用有限个单元体的集合来代替原有的连续体。因此首先要对弹性体进行必要的简化，再将弹性体划分为有限个单因此首先要对弹性体进行必要的简化，再将弹性体划分为有限个单元组成的离散体。单元之间通过单元节点相连接。元组成的离散体。单元之间通过单

8、元节点相连接。由单元、结点、由单元、结点、结点连线构成的集合称为网格。结点连线构成的集合称为网格。 1 1.3 .3 有限元法的计算步骤有限元法的计算步骤图图3 三角形三角形3节点单元节点单元 图图4 四边形四边形4节点单元节点单元 图图5 5 平面问题的三角形单元划分平面问题的三角形单元划分图图6 6 平面问题的四边形单元划分平面问题的四边形单元划分对于弹性力学问题，单元分析，就是建立各个单元的节点位移和节点对于弹性力学问题，单元分析，就是建立各个单元的节点位移和节点力之间的关系式。由于将单元的节点位移作为基本变量，进行单元分析首力之间的关系式。由于将单元的节点位移作为基本变量，进行单元分析

9、首先要为单元内部的位移确定一个近似表达式，然后计算单元的应变、应力，先要为单元内部的位移确定一个近似表达式，然后计算单元的应变、应力，再建立单元中节点力与节点位移的关系式。再建立单元中节点力与节点位移的关系式。图图7 7 三角形三角形3 3结点单元结点单元（2）单元分析单元分析以平面问题的三角形以平面问题的三角形3 3结点单元为例。如图所示，结点单元为例。如图所示，单元有三个结点单元有三个结点I I、J J、M M，每个结点有两个位移每个结点有两个位移u u、v v和两个结点力和两个结点力U U、V V。单元的所有结点位移、结点力，可以表示为结点位移向量单元的所有结点位移、结点力，可以表示为结

10、点位移向量：结点位移结点位移结点力结点力单元的结点位移和结点力之间的关系用张量（单元的结点位移和结点力之间的关系用张量（tensortensor）来表示：来表示： mmjjiievuvuvu mmjjiieVUVUVUF eeeKF 对由各个单元组成的整体进行分析，建立节点外载荷与结点位移的对由各个单元组成的整体进行分析，建立节点外载荷与结点位移的关系，以解出结点位移，这个过程为整体分析。再以弹性力学的平面问关系，以解出结点位移，这个过程为整体分析。再以弹性力学的平面问题为例，如图题为例，如图9 9所示，在边界结点所示，在边界结点i i上受到集中力上受到集中力 作用。结点作用。结点i i是是三

11、个单元的结合点，因此要把这三个单元在同一结点上的结点力汇集在三个单元的结合点，因此要把这三个单元在同一结点上的结点力汇集在一起建立平衡方程。一起建立平衡方程。iyixPP ,图图9 9 整体分析整体分析（3）整体分析整体分析i结点的结点力：结点的结点力：i结点的平衡方程：结点的平衡方程：eeiiiiUUUU)()3()2()1(e)e(i)3(i)2(i)1(iVVVViyeeieixeiPVPU)()(变形体受力情况的描述变形体受力情况的描述基本变量基本变量: u(: u(位移位移), ), 应变应变(), (), 应力应力()()基本方程基本方程: : (1) (1) 力平衡方程力平衡方程

12、 (2) (2) 几何方程几何方程 (3) (3) 物理方程物理方程即即 三大类变量三大类变量 三大类方程三大类方程 求解方法求解方法 ： ( (1) 1) 经典解析经典解析 (2) (2) 半解析法半解析法 (3) (3) 传统数值解法传统数值解法 (4) (4) 现代数值解法现代数值解法( (计算机软硬件、规范化、标准化、计算机软硬件、规范化、标准化、 规模化、计算机化规模化、计算机化受自重作用的等截面直杆受自重作用的等截面直杆1 1.2 .2 有限元法的基本思路有限元法的基本思路 下面用自重作用下的等截面直杆来说明有限元法的思路：下面用自重作用下的等截面直杆来说明有限元法的思路：（1 1

13、）等截面直杆在自重作用下的材料力学解答）等截面直杆在自重作用下的材料力学解答 例：受自重作用的等截面直杆，杆的长度为例：受自重作用的等截面直杆，杆的长度为L L，截面积为截面积为A A，弹性模量弹性模量为为E E，单位长度的重量为单位长度的重量为q q，杆的内力为杆的内力为N N。试求：杆的位移分布，杆试求：杆的位移分布，杆的应变和应力。的应变和应力。 )()(xLqxNEAdxxLqEAdxxNxdu)()()(xxLxEAqEAdxxNxu02)2()()()(xLEAqdxdux)(xLAqExxo（2 2）等截面直杆在自重作用下的有限元法解答）等截面直杆在自重作用下的有限元法解答 1

14、1）离散化）离散化 2 2）用单元结点位移表示单元内部位移）用单元结点位移表示单元内部位移 )()(1iiiiixxLuuuxuiiiiLuudxdu1iiiiiLuuEE)(1iiiiiLuuEAAN)(1位移位移应变应变应力应力载荷载荷3 3）把外载荷集中到节点上）把外载荷集中到节点上NiNi+1i+14 4）建立结点的力平衡方程）建立结点的力平衡方程01u根据约束条件，根据约束条件，对于第对于第n+1个结点，个结点，建立所有结点的力的平衡方程，可以得到由建立所有结点的力的平衡方程，可以得到由n+1个方程构成的方程组，可解个方程构成的方程组，可解出出n+1个未知的结点位移个未知的结点位移例

15、：将受自重作用的等截面直杆划分成例：将受自重作用的等截面直杆划分成3 3个等长的单元，个等长的单元， 试按有限元法的思路求解各节点的位移？试按有限元法的思路求解各节点的位移？对于结点对于结点1 1，对于结点对于结点2 2，同样，对于结点同样，对于结点3 3有有，对于结点对于结点4 4，可以有两种处理方法：，可以有两种处理方法：解：定义单元的长度为解：定义单元的长度为3La 01uEAqauuu23212EAqauuu2432223qaN auuEAN)(343EAqauu224304L45uu 433LL2353433)11 (2)1 (aEAquuuEAqauu2243(1)(1)直接用第直

16、接用第3 3个单元的内力与结点个单元的内力与结点4 4上的载荷建立平衡方程上的载荷建立平衡方程 (2)(2)假定存在一个虚拟结点假定存在一个虚拟结点5 5，与结点，与结点4 4构成了虚拟单元构成了虚拟单元4 4 在结点在结点4 4上前面公式：上前面公式：整理后得到线性方程组，整理后得到线性方程组，EAqaEAqaEAqauuu211121012222432EAqauEAqauEAqau29425242322解得解得： 有限元法的基本思路有限元法的基本思路: :用单元节点的位移表示单元内任用单元节点的位移表示单元内任意一点的位移、应变和应力。意一点的位移、应变和应力。 从二十世纪从二十世纪60年

17、代中期以来，进行了大量的理论研究，不但拓展年代中期以来，进行了大量的理论研究，不但拓展了有限元法的应用领域，还开发了许多通用或专用的有限元分析软件。了有限元法的应用领域，还开发了许多通用或专用的有限元分析软件。软件名称软件名称简介简介MSC/Nastran著名结构分析程序，最初由著名结构分析程序，最初由NASA研制研制MSC/Dytran动力学分析程序动力学分析程序MSC/Marc非线性分析软件非线性分析软件ANSYS通用结构分析软件通用结构分析软件ADINA非线性分析软件非线性分析软件ABAQUS非线性接触问题分析软件非线性接触问题分析软件1.4 1.4 算法与有限元软件算法与有限元软件表表

18、1 常用的有限元分析软件常用的有限元分析软件有限元软件开发商的网址：有限元软件开发商的网址： MSCMSC中国，中国， http:/http:/ /ANSYSANSYS中国，中国， httphttp：/ /ABAQUSABAQUS， http:/ http:/ /ADINAADINA， http:/ http:/ /DEFORMDEFORM， http:/ http:/ /AUTOFORMAUTOFORM， http:/ http:/www.autoform.dewww.autoform.de/ / 有限元法已经成功地应用在以下一些领域：有限元法已经成功地应用在以下一些领域：固体力学，包括强度

19、、稳定性、震动和瞬态问题的分析；固体力学，包括强度、稳定性、震动和瞬态问题的分析；传热学；传热学；电磁场；电磁场；流体力学。流体力学。 下面介绍一些有限元法应用的实例。下面介绍一些有限元法应用的实例。 图图1010 转向机构支架的强度分析转向机构支架的强度分析1.5 1.5 应用实例应用实例采用采用ANSYS, ABAQUS, ADINA ,MSC四大知名软件分析四大知名软件分析环板式针摆行星传动针齿与摆线轮动态啮合分析环板式针摆行星传动针齿与摆线轮动态啮合分析实体模型实体模型简化实体模型简化实体模型网格划分网格划分摆线针轮应力云图摆线针轮应力云图2021-12-12slide31箱体一阶振型

20、图箱体一阶振型图箱体二阶振型图箱体二阶振型图 环板第一阶振型环板第一阶振型 环板第三阶振型环板第三阶振型四环板针摆行星传动典型零件的有限元模态分析四环板针摆行星传动典型零件的有限元模态分析2021-12-12slide32输入轴第三阶输入轴第三阶 输入轴第四阶振型输入轴第四阶振型输出轴第一阶振型图输出轴第一阶振型图 输出轴第三阶振型图输出轴第三阶振型图 图图1111 型材挤压成形的分析型材挤压成形的分析 图图1212 螺旋齿轮成形过程的分析螺旋齿轮成形过程的分析采用采用DEFORM DEFORM 软件模拟挤压时微观组织变化，预测平均粒度的变化和缺陷发生发软件模拟挤压时微观组织变化，预测平均粒度

21、的变化和缺陷发生发展的过程。展的过程。挤压成形挤压成形 ( (a)a)模拟结果模拟结果 ( (b)b)实物实物图图1313 T T形锻件的成形分析形锻件的成形分析锻造成形锻造成形图图1414 焊接过程的温度分布与轴向残余应力焊接过程的温度分布与轴向残余应力焊接过程残余应力焊接过程残余应力 图图1616 淬火淬火3.06 3.06 min min 时的温度分布时的温度分布淬火温度分析淬火温度分析思考题思考题1 1、什么是有限元法？、什么是有限元法？2 2、试简述有限元法的基本思路。、试简述有限元法的基本思路。作业作业1 1、用有限元法解决等截面直杆问题。、用有限元法解决等截面直杆问题。2021-

22、12-12第二章第二章 弹性力学平面问题的基本方程弹性力学平面问题的基本方程本章本章介绍了介绍了如下内容如下内容: :u 弹性力学的基本变量弹性力学的基本变量u平面应力和平面应变问题平面应力和平面应变问题u平面问题的基本方程平面问题的基本方程 弹性力学的基本方程弹性力学的基本方程 1、平衡方程、平衡方程 2、几何方程、几何方程 3、物理方程、物理方程弹性力学的基本假定弹性力学的基本假定 1 1、完全弹性、完全弹性 2 2、连续、连续 3 3、均匀，各向同性、均匀，各向同性 4 4、小变形、小变形2.1 2.1 弹性力学基本变量弹性力学基本变量 ( (1 1) )体力：体力：体力是分布在物体体体

23、力是分布在物体体积内的力，例如重力和惯性力。积内的力，例如重力和惯性力。( (2 2) ) 面力：面力：面力是分布在物体表面力是分布在物体表面上的力，例如接触压力、流体面上的力，例如接触压力、流体压力。压力。( (3 3) )应力：应力：物体受到约束和外力物体受到约束和外力作用，其内部将产生内力。物体作用，其内部将产生内力。物体内某一点的内力就是应力。内某一点的内力就是应力。SAQA0lim 图图1 1 应力定义应力定义 图图2 2 应力分量应力分量剪应力互等：剪应力互等：yxxyzyyzzxyzxyzyx,物体内任意一点的应力状态可以用六个独立的应力分量来表示物体内任意一点的应力状态可以用六

24、个独立的应力分量来表示xzzx应力分量的下标约定：应力分量的下标约定： 第一个下标表示应力的作用面的法线方向，第二个下标表示应力第一个下标表示应力的作用面的法线方向，第二个下标表示应力的作用方向。的作用方向。正应力由于作用表面与作用方向垂直，用一个下标。正应力由于作用表面与作用方向垂直，用一个下标。应力分量的方向定义：应力分量的方向定义： 如果某截面上的外法线如果某截面上的外法线 是沿坐标轴的正方向，这个截面上的应力是沿坐标轴的正方向，这个截面上的应力 分量以沿坐标轴正方向为正；分量以沿坐标轴正方向为正； 如果某截面上的外法线如果某截面上的外法线 是沿坐标轴的负方向，这个截面上的应力是沿坐标轴

25、的负方向，这个截面上的应力 分量以沿坐标轴负方向为正。分量以沿坐标轴负方向为正。（4）位移）位移位移就是位置的移动。物体内任意一点的位移，用位移在位移就是位置的移动。物体内任意一点的位移，用位移在x，y，z坐坐标轴上的投影标轴上的投影u、v、w表示。表示。 （5）应变）应变物体的形状改变可以归结为长度和角度的改变。物体的形状改变可以归结为长度和角度的改变。各线段的单位长度的伸缩，称为正应变，用各线段的单位长度的伸缩，称为正应变，用表示。表示。两个垂直线段之间的两个垂直线段之间的直角直角的改变，用弧度表示，称为剪应变，用的改变，用弧度表示，称为剪应变，用表表示。示。与应力定义类似，物体内任意一点

26、的变形，可以用六个应变分量与应力定义类似，物体内任意一点的变形，可以用六个应变分量 表示。表示。 zxyzxyzyx、共同特点：共同特点：等厚度的薄板；等厚度的薄板；面力和体力都平行于板面，且面面力和体力都平行于板面，且面力沿厚度均匀地作用在板的周边力沿厚度均匀地作用在板的周边上；上；在板面上无外力作用。在板面上无外力作用。图图3 平面应力问题示意图平面应力问题示意图平面问题分为平面问题分为: : 1 1、平面应力问题、平面应力问题; ; 2 2、平面应变问题、平面应变问题2.2 2.2 平面应力和平面应变问题平面应力和平面应变问题( (1 1) ) 平面应力问题平面应力问题注意：注意： 上述

27、弹性体，在与上述弹性体，在与z z轴垂直的两个侧面上不受约束，轴垂直的两个侧面上不受约束， 可以任意可以任意变形。所以在平面应力问题中有：变形。所以在平面应力问题中有：z z =0 =0 而而 zz0 0设板厚为设板厚为t，则在板两表面上的边界条件为：，则在板两表面上的边界条件为：02tzz02tzzx02tzzy由于平板很薄，外力不沿厚度变化，因此，在整块板上有：由于平板很薄，外力不沿厚度变化，因此，在整块板上有：0z0zx0zy剩下三个应力分量：剩下三个应力分量：xyxy未知未知，(2)平面应变问题平面应变问题共同特点：共同特点：几何形状：近似等截面的几何形状：近似等截面的长柱形体，长长柱

28、形体，长度比横截面大很多。度比横截面大很多。受力：支承情况不沿长度变化，只受到受力：支承情况不沿长度变化，只受到平行于横截面而且不沿长度变化的面力和平行于横截面而且不沿长度变化的面力和体力。（隧道、水坝）体力。（隧道、水坝）图图4 平面应变问题示意图平面应变问题示意图注意注意：平面应变问题：平面应变问题 z= 0 而而z 0以柱体的任意横截面为XY平面，任一纵线为Z轴,假定该柱体为无限长，则任一截面都可以看作对称面。由对称性，有由于没有由于没有Z方向的位移，方向的位移，Z方向的应变方向的应变0, 0, 0wzyzx0z未知量为三个应变分量未知量为三个应变分量:物体在物体在z方向处于自平衡状态方

29、向处于自平衡状态图图4 平面应变问题示意图平面应变问题示意图(1)(1)平衡方程平衡方程在物体中取出一个微小单元体建立平衡方程。在物体中取出一个微小单元体建立平衡方程。 2.3 2.3 平面问题的基本方程平面问题的基本方程图图5 5 平面问题中的应力表达平面问题中的应力表达0.tdydxXtdxtdxdyytdytdydxxyxyxyxxxx0 xF0Xyxyxx0yF0Yxyxyy同理，由同理，由有：有：由由0oM得：得：02. .2. .2. .2. .dytdxdytdxdyydxtdydxtdydxxyxyxyxxyxyxy略去三阶高次项后，有略去三阶高次项后，有yxxy剪应力互等定理

30、剪应力互等定理00YxyXyxxyyyxx应力分量和体力分应力分量和体力分量之间的关系量之间的关系（2 2）几何方程）几何方程yxPBdxAdyB A PuvA2vvdxxB2uudyyB1vvdyyA1dxxuux x方向的正应变方向的正应变: : xudxdxxuPAPAAPxyvdydyyvPBPBBPxy y方向的正应变方向的正应变: :角度变化角度变化: :xvdxvdxxvvyudyudyyuuxvyuxy表示位移和变形之间的关系表示位移和变形之间的关系u=0v=0000 xyyx刚体位移刚体位移xuxyvxxvyuxy刚体位移刚体位移000 xvyuyvxuxvvyuu00, 0

31、 xu由由, 0yv分别对分别对X，y积分可得：积分可得： xfvyfu21,将将f1，f2代入代入0 xvyu dxxdfdyydf21可得：可得：积分后得到：积分后得到： xvxfyuyf0201得到位移分量为：得到位移分量为：xvvyuu00 xvvyuu00y方向上的刚体平移x方向上的刚体平移讨论0, 0, 000vu0, 0, 000vu0, 0, 000vu绕固定点转动讨论：讨论：物理方程物理方程：在材料力学中根据广义虎克定律可以导出：在材料力学中根据广义虎克定律可以导出：E-E-弹性模量弹性模量G G 剪切模量剪切模量 柏松比柏松比zyxxE1zxyyE1yxzzE1xyxyG1

32、yzyzG1zxzxG112EG（1）平面应力问题的物理方程）平面应力问题的物理方程yxxE1xyyE1xyxyE12yxxE21xyyE21xyxyE120zyxzE平面应力问题有：平面应力问题有：（2）平面应变问题的物理方程）平面应变问题的物理方程yxxE112xyxyE12xyyE1120zyxz平面应变问题有：平面应变问题有：两种平面问题都可以写成矩阵形式：两种平面问题都可以写成矩阵形式： D xyyx xyyx 2100010112ED其中其中D矩阵的元素只与弹性常数有关，故称为弹性矩阵，它是一个矩阵的元素只与弹性常数有关，故称为弹性矩阵，它是一个对称矩阵。对称矩阵。平面应力问题平面

33、应力问题:在平面应力问题的物理方程中，将在平面应力问题的物理方程中，将E替换为替换为替换为替换为 ，可以得到平面应变问题的物理方程，可以得到平面应变问题的物理方程;21E1在平面应变问题的物理方程中，将在平面应变问题的物理方程中，将E替换为替换为替换为替换为 ，可以得到平面应力问题的物理方程，可以得到平面应力问题的物理方程;2121E1弹性力学平面问题示意图弹性力学平面问题示意图 2.4 边界条件边界条件边界条件包括：位移边界和力的边边界条件包括：位移边界和力的边界界（1）位移边界条件）位移边界条件平面问题中关于平面问题中关于X方向和方向和y方向的位方向的位移边界条件为：移边界条件为：On S

34、uvvuu力的边界条件力的边界条件在力的边界上取微小单元体在力的边界上取微小单元体dx.dy.tdx.dy.t dyldsdxmdsxxyx.l.mPxyxy.m.lPxyyx 由微体由微体x x方向的平衡，有方向的平衡，有边界外法线的方向余弦为：边界外法线的方向余弦为：则，则，略去高阶无穷小，整理得：略去高阶无穷小，整理得：xxyx.l.mP On S上上0.21.dytdxXtdsPtdxtdyxxyx虚功方程：虚功方程： tdxdyPTAT*外力在虚位移上所做的虚功外力在虚位移上所做的虚功W，恒等于应力乘虚应，恒等于应力乘虚应变的虚变形功（或虚变形能）。变的虚变形功（或虚变形能）。2.5

35、 虚功方程虚功方程作业：作业：1 1）思考题：）思考题：2 25 52 2）习）习 题：题：2 22 2本章总结本章总结00YxyXyxxyyyxx应力分量和体力分应力分量和体力分量之间的关系量之间的关系表示表示应变与位移应变与位移之间的关系之间的关系xuxyvxxvyuxyxyxyxyyyxxEEE121122xyyxxyyxE2100010112、两类边界条件：位移边界；力的边界、两类边界条件：位移边界；力的边界（3）物理方程）物理方程:平面应力问题平面应力问题 平面应变问题平面应变问题（2）几何方程）几何方程（1）平衡方程：）平衡方程：3、弹性力学平面问题的基本方程、弹性力学平面问题的基

36、本方程2、两类平面问题、两类平面问题（1）平面应力问题）平面应力问题;（2）平面应变问题）平面应变问题1弹性力学的基本假定弹性力学的基本假定（1）完全弹性完全弹性;（2）连续）连续;（3）均匀，各向同性）均匀，各向同性;（4）小变形。）小变形。 三大方程的前提条件三大方程的前提条件D矩阵矩阵表示表示应力与应变的关系应力与应变的关系2021-12-12可概括如下：可概括如下： 连续体离散化连续体离散化 单元分析单元分析 整体分析整体分析 确定约束条件确定约束条件 有限元方程求解有限元方程求解 结果分析与讨论结果分析与讨论Guidelines第三章 用常应变三角形单元解弹性力学平面问题实例实例1

37、1：长度：长度500500mmmm宽度宽度100100mmmm厚度厚度1010mm mm ，右端施加力，右端施加力100100kgkg（应用应用I-DEAS9I-DEAS9求解）求解）网格划分、施加约束与载荷网格划分、施加约束与载荷单元应力图单元应力图修匀后单元应力云图修匀后单元应力云图应力等值线图应力等值线图3.1 连续体离散化连续体离散化jmij( m)F 假定将连续的假定将连续的弹性体弹性体分割成由分割成由单元单元所组成的离散体，所组成的离散体，单元间由单元间由结点结点连接。结构离散是有限元单元分析的基础。连接。结构离散是有限元单元分析的基础。例：悬臂梁例：悬臂梁 三角形三角形3节点单元

38、节点单元四边形四边形4节点单元节点单元（1）常用单元）常用单元四面体四节点单元四面体四节点单元六面体六面体8节点单元节点单元 平面问题的三角形单元划分平面问题的三角形单元划分平面问题的四边形单元划分平面问题的四边形单元划分（2）网格划分实例）网格划分实例三维实体的四面体单元划分三维实体的四面体单元划分三维实体的六面体单元划分三维实体的六面体单元划分曲轴的网格划分模型曲轴的网格划分模型机体的网格划分模型机体的网格划分模型二、单元分析二、单元分析1 1、单元位移函数（或单元位移模式）、单元位移函数（或单元位移模式）多项式多项式 ：.26524321yaxyaxayaxaau.26524321ybx

39、ybxbybxbbv 按照按照有限元法有限元法的的基本思想基本思想：首先需设定：首先需设定一种函数一种函数来近似表达单元来近似表达单元内部的内部的实际位移分布实际位移分布，称为，称为位移函数位移函数，或，或位移模式位移模式。 三节点三角形单元三节点三角形单元有有6个自由度个自由度，可以确定，可以确定 6个待定系数个待定系数，故，故三三角形单元角形单元的的位移函数位移函数为为 三三角角形形单单元元 ijmiiyx ,jjyx ,mmyx ,iuivjujvmumvyx位移函数位移函数：mmmjjjiiiyaxaauyaxaauyaxaau321321321321111aaayxyxyxuuumm

40、jjiimjiT mjiuuuaaa1321T矩阵形式：矩阵形式：A2T A为三角形单元的面积为三角形单元的面积将水平位移分量和结点坐标代入将水平位移分量和结点坐标代入 u得得:TTT*1 jmmjmiimijji*jmmiijmjimjix yx yx yx yx yx yTyyyyyyxxxxxx求求: : TT的伴随矩阵的伴随矩阵iijjmm1xy1xy1xyijmijmijmaaabbbccca bjjmmxy1xy 1的代数的代数余子式余子式 T=T=将垂直位移分量和结点坐标代入将垂直位移分量和结点坐标代入mjimjimjimjiuuucccbbbaaaAaaa21321mjimji

41、mjimjivvvcccbbbaaaAaaa21654yaxaau32121mmjjiimmjjiimmjjiiyucyucyucxubxubxubuauauaAu11()2iijjmmaaua ua uA21()2iijjmmabub ub uA31()2iijjm macuc uc uA)()()(21mmmmjjjjiiiiuycxbauycxbauycxbaAu)()()(21mmmmjjjjiiiivycxbavycxbavycxbaAvmmjjiimjimjivuvuvuNNNNNNvu000000 eNf（下标下标i i，j j，m m轮换轮换）)(21ycxbaANiiii令令

42、形函数形函数形函数矩阵形函数矩阵 在单元结点上形态函数的值为在单元结点上形态函数的值为1 1或为或为0 0。 在单元中的任意一点上，三个形态函数之和等于在单元中的任意一点上，三个形态函数之和等于1 1。 三角形单元在单元边界上的形函数与第三个顶点的坐标三角形单元在单元边界上的形函数与第三个顶点的坐标 无关。无关。ycxbaANiiii21( i, j, m 轮换轮换 )形态函数性质形态函数性质例题例题1 1：如图所示等腰三角形单元，求其形态矩阵：如图所示等腰三角形单元，求其形态矩阵 NN。 三角形单元三角形单元XYi (a,0)j (0,a)m (0,0)ijmmjax yx yijmbyyi

43、mjcxy（i , j , m)i , j , m)轮换轮换三角形面积为三角形面积为21Aa2形函数为形函数为iiii211xNab xc y0ax02Aaajjjj211yNab xc y00ay2Aaa2mmmm211xyNab xc yaaxay12Aaaa 形函数矩阵为形函数矩阵为 xyxy0010aaaaNxyxy0001aaaa 第三章用常应变三角形单元解弹性力学平面问题三角形单元的形函数几何含义三角形单元的形函数几何含义jmmjiyxyxamjiyybjmixxcycxbaANiiii21IJMPMIjSSNIJMPIJmSSNmmjjyxyxyxA11121IJMPJMIJMP

44、JMSSSS22P(x,y)jimXYo 为保证解答的收敛性，单元位移模式应满足以下条件为保证解答的收敛性，单元位移模式应满足以下条件 1 1）完备性条件）完备性条件: :反映单元的刚体位移与常量应变。反映单元的刚体位移与常量应变。 2 2）协调性条件）协调性条件: :相邻单元在公共边界上的位移连续，相邻单元在公共边界上的位移连续，单元之间不能重叠，也不能脱离。即位移函数在单元之单元之间不能重叠，也不能脱离。即位移函数在单元之间连续。间连续。3.33.3单元载荷移置单元载荷移置 移置载荷遵循的原则移置载荷遵循的原则: :非结点载荷移置到结点上非结点载荷移置到结点上虚功等效原则虚功等效原则是指原

45、载荷与结点载荷在任何虚位移上所做是指原载荷与结点载荷在任何虚位移上所做的虚功二者相等的虚功二者相等XyijmqP单元的虚位移表示方法单元的虚位移表示方法( (线位移线位移) ) eNf*结点载荷结点载荷 mmjjiieYXYXYXR eNf实实位位移移虚虚 位位移移 yxPPP(1)(1)集中载荷移植集中载荷移植ijmPxPyPc由虚功等效原则由虚功等效原则 TT* ee* RfPTTijmxiijjmmyijmN0N0N0PX Y X Y XYP0N0N0N eTRN P结点力作功结点力作功外力作功外力作功xyoT* eT N PiiiixjjyjjmmmmXN0Y0NPXN0PY0NXN0

46、Y0N移植到结移植到结点上等效点上等效结点力结点力集中力集中力TNXiijmxyoYjXjYiYmXm例题例题1 1：在均质、等厚的三角形单元：在均质、等厚的三角形单元ijmijm的任意一点的任意一点o o（0.4a0.4a，0.4a0.4a）上作）上作用有集中载荷用有集中载荷P=100N P=100N ，与水平方向成，与水平方向成 =45=45，求单元的等效结点载荷。，求单元的等效结点载荷。Po yxi (a,0)j (0,a)m (0,0) xyxy0010aaaaNxyxy0001aaaa iiTijmxjyjijmmmXYN0N0N0PXPY0N0N0NXY 解：解：（1 1）求形函数

47、矩阵）求形函数矩阵（2 2）求单元等效结点载荷）求单元等效结点载荷0.4000.40.4050 200.450 20.2000.220 220 220 220 210 210 20.400.400.2000.400.400.2(2) (2) 体力的移植体力的移植 TTee*Rfq tdxdy令单元所受的均匀分布力为令单元所受的均匀分布力为由虚功等效原则由虚功等效原则 TeT*Nq tdxdy结点力作功结点力作功体力作功体力作功eTRN qtdxdy XqY例题例题2 2：设有均质、等厚的三角形单元：设有均质、等厚的三角形单元ijmijm，受到沿受到沿y y方向的重力载荷密度方向的重力载荷密度q

48、 qy y的作用的作用, ,板厚度为板厚度为t,t,求均布体力移置到各结点的载荷。求均布体力移置到各结点的载荷。iiiijjyjjmmmmXN0Y0N0XN0tdxdyqY0NXN0Y0Nijmqycxyo y0qq0, 0, 0mjiXXXiiyyiYN q tdxdyq tN dxdy iiii1N dxdy(ab xc y)dxdy2Aiy1Yq At3 jymy11Yq At,Yq At33 同理同理iicic1(ab xc y )dxdy2Aiicic1A(ab xc y )2A1A3xijmqycyoiyijjymmy01Xq At3Y0X1Yq At3X0Y1q At3（3 3）

49、分布面力的移置）分布面力的移置 TpX,Y TTee*RfP t.ds结点力作功结点力作功面力作功面力作功 TeT*NP t.ds TRNP .t.ds由虚功等效原则由虚功等效原则 Xyijmp2021-12-12例例3.均质、等厚的三角形单元均质、等厚的三角形单元ijm的的结点坐标如图所示，结点坐标如图所示，jm边上作用有沿边上作用有沿y轴负方向按三角形分布的载荷，单元的厚度为轴负方向按三角形分布的载荷，单元的厚度为1，求单元的等效结点载荷。，求单元的等效结点载荷。jmmjiyxyxamjiyybjmixxc （ i ，j ，m轮换） 101iiicba111jjjcba011mmmcba将

50、i ，j ，m的坐标代入得：21A 解法一解法一: 1、 三角形面积: yycxbaAyxNiiii121),(yxycxbaAyxNjjjj121),(xycxbaAyxNmmmm121),(2、计算形函数：2021-12-123、计算等效节点载荷：、计算等效节点载荷： iT010210N000000000000RNP tds(1)001000010(1)jmijejLmmNNxtdstdsxx qtdxNqsxqsxNxNxqtdx 在边界在边界jm上的面力为：上的面力为： qsqLs00P因为积分沿逆时针方向，所以有因为积分沿逆时针方向，所以有xs1ds= -dxqtqt31061000

51、2021-12-1200ijmijmiSSSNsLhhsSSNijmikmj121)1 (21sLhshSSNijmijkm2121解法二解法二：根据形函数的几何含义：根据形函数的几何含义：在边界在边界jm上的面力为：上的面力为： qsqLs00P qdssqdsssttdsqsssssttdsqsNNNNNijLmmjjie2101010iT0)1 (000000100100000000000NtdsPNRqtqt31061000例题例题4 4：在均质、等厚的三角形单元：在均质、等厚的三角形单元ijmijm的的ijij边上作用有沿边上作用有沿x x方向按三角方向按三角形分布的载荷，形分布的载

52、荷，ijij长为长为L,L,求移置后的结点载荷。求移置后的结点载荷。oijmxysqqxLsNi1LsNj0mN面力载荷为：面力载荷为： 在在ijij边上，以局部坐标表示的形函数为边上，以局部坐标表示的形函数为 0PqLs000102131qtL 0i2T0010(1)N0010000RNP tds0000000000000ijLiLjeLjLmmsssLqdsLLsNLssNsqqsqdstdstdstLLLLNsNLN TRNP .t.dseTRN qtdxdy集中力集中力体力体力面力面力单元上同时作用集中力、体力、面力单元上同时作用集中力、体力、面力等效结点载荷为：等效结点载荷为： TT

53、TeRNPNq tdxdyNp tds TeRNPXyijmqP小结小结p二、均质、等厚的三角形单元二、均质、等厚的三角形单元ijm的结点坐标如图所示，的结点坐标如图所示，ij边上作用有沿边上作用有沿y方向按梯方向按梯形分布的载荷，形分布的载荷，ij边长为边长为1,单元的厚度为单元的厚度为t，求单元等效结点载荷。（，求单元等效结点载荷。（15分）分）i（1,1）yq2q1j（0,1）m（1,0）xosmmjjiimmjjiitdsNNNNNNYXYXYXyq0000000取局部坐标s，在m点s=0，在i点s=1，sNi1sjN0mN， 载荷为s1qqq121yq TetR00)q21q(0q2

54、1q03121123.4 3.4 由结点位移求单元的应变由结点位移求单元的应变根据单元的位移函数根据单元的位移函数 mmjjiimjimjivuvuvuNNNNNNvu000000由几何方程可以得到单元的应变表达式由几何方程可以得到单元的应变表达式: : mmjjiimmjjiimjimjivuvuvubcbcbccccbbbAxvyuyvxu00000021eBB矩阵称为矩阵称为几何矩阵几何矩阵 B矩阵可以表示为分块矩阵的形式矩阵可以表示为分块矩阵的形式 mjiBBBB iiiiibccbAB0021B矩阵称为几何矩阵矩阵称为几何矩阵 或应变转换矩阵。或应变转换矩阵。3.5 3.5 由结点位

55、移求单元应力由结点位移求单元应力由物理方程得：由物理方程得： DD称为弹性矩阵称为弹性矩阵 eBDD 21000101)1 (2ED平面应力问题平面应力问题应力矩阵应力矩阵 BDS mjiSSSS iiiiiiiibccbcbAEBDS2121)1 (22同理可以得到平面应变问题的应力矩阵同理可以得到平面应变问题的应力矩阵将应力矩阵分块表示为，将应力矩阵分块表示为，3.6 3.6 由结点位移求单元结点力由结点位移求单元结点力在外力作用下处于平衡状态的弹性体，如果发生虚位移，在外力作用下处于平衡状态的弹性体，如果发生虚位移，则所有外力在虚位移上做的虚功等于内应力在虚应变上做则所有外力在虚位移上做

56、的虚功等于内应力在虚应变上做的虚功。的虚功。单元的结点力记为：单元的结点力记为： TmmjjiieVUVUVUF单元的虚应变为：单元的虚应变为： eB*单元的外力虚功为单元的外力虚功为 ： eTeF*单元的内力虚功为：单元的内力虚功为： tdxdyT*虚功原理：虚功原理：由虚功原理得：由虚功原理得： tdxdyFTeTe* TTeTeTBB)(* eeBDS eTTeeTetdxdyBDBF* eTetdxdyBDBF外力虚功外力虚功内力虚功内力虚功*(1)(1)单元刚度矩阵的定义单元刚度矩阵的定义 tdxdyBDBKTe在在3结点等厚三角形单元中结点等厚三角形单元中B和和D的分量均为常量，则

57、单元刚度的分量均为常量，则单元刚度矩阵可以表示为：矩阵可以表示为： tABDBKTe3.7 3.7 单元刚度矩阵单元刚度矩阵eeeKF(2) (2) 单元刚度矩阵分块矩阵表示法单元刚度矩阵分块矩阵表示法 mmmjmijmjjjiimijiieKKKKKKKKKKtABDBKsTrrsr=i,j,m s=i,j,msyrysxrysyrxsxrxrsKKKKK,ixmyixmxixjyixjxixiyixixmmjjiiKKKKKKVUVUVU,(3)(3)单元刚度矩阵的性质与物理意义单元刚度矩阵的性质与物理意义假设单元的结点位移如下：假设单元的结点位移如下： Te000001 eeeKF表示表

58、示i结点在水平方向产生单位结点在水平方向产生单位位移时，在结点位移时，在结点i的垂直方向上的垂直方向上需要施加的结点力。需要施加的结点力。ixiyK,因此因此,单元刚度矩阵中的每个元素都单元刚度矩阵中的每个元素都可以理解为刚度系数，即在结点产可以理解为刚度系数，即在结点产生单位位移时需要施加的力生单位位移时需要施加的力单元刚度矩阵的性质单元刚度矩阵的性质（1）对称性）对称性 eTeKK证明：证明： sTrrsBDBK rTssrBDBK TrTsTsrBDBK)( sTTrBDB sTrBDBrsK eTeKK即即（2）奇异性）奇异性假定单元产生了假定单元产生了x方向的刚体移动，方向的刚体移动

59、， Te010101此时对应的结点力为零此时对应的结点力为零 010101000000eK在单元刚度矩阵中在单元刚度矩阵中1，3，5列中对应行的系数相列中对应行的系数相加为零，由行列式性质知：加为零，由行列式性质知：0eK0eK可以得到在单元刚度矩阵中可以得到在单元刚度矩阵中2，4，6列中对应行列中对应行的系数相加为零，同样有的系数相加为零，同样有 Te0101010eK同样假定单元同样假定单元y方向上的刚体位移方向上的刚体位移3.8 3.8 整体分析整体分析刚度集成法：刚度集成法：由单元刚度矩阵中的元素累加得到整体刚度矩阵中的元由单元刚度矩阵中的元素累加得到整体刚度矩阵中的元素，即整体刚度矩

60、阵是单元刚度矩阵的集成。素，即整体刚度矩阵是单元刚度矩阵的集成。整体分析步骤：整体分析步骤：1）建立整体刚度矩阵；）建立整体刚度矩阵；2）根据支承条件修改整体刚度矩阵；）根据支承条件修改整体刚度矩阵；3）解方程组，求出结点的位移；）解方程组，求出结点的位移；4）根据结点位移，求出单元的应变和应力。）根据结点位移，求出单元的应变和应力。(1)(1)刚度集成法的物理意义刚度集成法的物理意义刚体集成法即结构中的结刚体集成法即结构中的结点力是相关单元结点力的点力是相关单元结点力的叠加，整体刚度矩阵的元叠加，整体刚度矩阵的元素是相关单元的单元刚度素是相关单元的单元刚度矩阵元素的集成。结点矩阵元素的集成。