最全的圆锥曲线轨迹方程求法(共23页)

1、圆锥曲线轨迹方程的解法目录一题多解2一直接法3二. 相关点法6三. 几何法10四. 参数法12五. 交轨法14六. 定义法16一题多解设圆C：（x1）2+y2=1，过原点O作圆的任意弦OQ，求所对弦的中点P的轨迹方程。一直接法设P（x,y），OQ是圆C的一条弦，P是OQ的中点，则CPOQ，x0,设OC中点为M（），则|MP|=|OC|=，得（x）2+y2=(x0)，即点P的轨迹方程是（x）2+y2= (0x1)。二定义法OPC=90°，动点P在以M（）为圆心，OC为直径的圆（除去原点O）上，|OC|=1，故P点的轨迹方程为（x）2+y2=(0x1)3 相关点法设P（x,y）,Q(x1

2、,y1)，其中x10,x1=2x,y1=2y,而（x11）2+y2=1(2x1)2+2y2=1,又x10,x0,即（x）2+y2=(0x1）四参数法设动弦PQ的方程为y=kx,代入圆的方程（x1）2+kx2=1，即（1+k2）x22x=0,设点P（x,y），则消去k得（x）2+y2=(0x1）另解 设Q点（1+cos,sin），其中cos1,P(x,y)，则消去得（x）2+y2=(0x1）一直接法 课本中主要介绍的方法。若命题中所求曲线上的动点与已知条件能直接发生关系，这时，设曲线上动点坐标后，就可根据命题中的已知条件研究动点形成的几何特征，在此基础上运用几何或代数的基本公式、定理等列出含有、

3、的关系式。从而得到轨迹方程，这种求轨迹方程的方法称为直接法。 例题1等腰三角形的定点为，底边一个端点是，求另一个端点的轨迹方程。练习一1.已知点、，动点满足。求点的轨迹方程。2. 线段AB的长等于2a,两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，求AB中点P的轨迹方程？3.动点P（x,y）到两定点和的距离的比等于2（即：）。求动点P的轨迹方程？4.动点P到一高为h的等边ABC两顶点A、B的距离的平方和等于它到顶点C的距离平方，求点P的轨迹？5.点与一定点的距离和它到一定直线的距离的比是。求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形。7.已知是圆内的一点，A、B是圆上两动点，且满足APB=90°，求

4、矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程。8.过原点作直线和抛物线交于A、B两点，求线段AB的中点M的轨迹方程。二. 相关点法利用动点是定曲线上的动点，另一动点依赖于它，那么可寻它们坐标之间的关系，然后代入定曲线的方程进行求解，就得到原动点的轨迹。例题2已知一条长为6的线段两端点A、B分别在X、Y轴上滑动，点M在线段AB上，且AM : MB=1 : 2，求动点M的轨迹方程。练习二1.已知点在圆上运动，求点M的轨迹方程。yQOxNP 2.设P为双曲线上一动点，O为坐标原点，M为线段OP的中点。求点M的轨迹方程。3.设，点在轴上，点在轴上，且，当点P在轴上运动时，求点N的轨迹方程。4.已知ABC的顶点，顶点

5、A在曲线上运动，求ABC重心G的轨迹方程。 5.已知A、B、D三点不在同一条直线上，且、，求E点的轨迹方程。6.ABC的三边AB、BC、CA的长成等比数列，且，点B、C坐标分别为、，求定点A的轨迹方程。7.已知点，P是圆O：上任意一点，P在x轴上的射影为Q ，动点G的轨迹为C，求轨迹C的方程。 8.已知椭圆上任意一点P，由点P向x轴作垂线段PQ，垂足为Q ，点M在PQ上，且，点M的轨迹为C，求曲线C的方程。9.如图，从双曲线上一点引直线的垂线，垂足为，求线段的中点的轨迹方程。10.已知双曲线的左、右焦点分别为、，过点的动直线与双曲线相交于A、B两点。（I） 若动点M满足（其中O为坐标原点），求

6、点M的轨迹方程；（II）在轴上是否存在定点C，使为常数？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由。三. 几何法求动点轨迹问题时，动点的几何特征与平面几何中的定理及有关平面几何知识有着直接或间接的联系，且利用平面几何的知识得到包含已知量和动点坐标的等式，化简后就可以得到动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方程的方法称为几何法。例题3已知定点，点P在曲线上运动，AOP的平分线交于Q点，其中O为原点，求点Q的轨迹方程。练习三1.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P是侧面BC1内一动点，若P到直线BC与直线C1D1的距离相等，求动点P的轨迹所在的曲线。2.已知点C的坐标是，过点C的直线CA与X

7、轴交于点A，过点C且与直线CA垂直的直线CB与Y轴交于点B。设点M是线段AB的中点，求点M的轨迹方程。 3.已知经过点的直线，经过的直线为，若，求与交点S的轨迹方程。4.求圆心在抛物线（）上，并且与抛物线的准线及轴都相切的圆的方程。5.已知双曲线中心在原点且一个焦点为，直线与其相交于M、N两点，MN中点的横坐标为，求此双曲线方程。6.已知动点P到定点F（1，0）和直线x=3的距离之和等于4，求点P的轨迹方程。四. 参数法有时候很难直接找出动点的横、纵坐标之间关系。如果借助中间量（参数），使之间的关系建立起联系，然后再从所求式子中消去参数，这便可得动点的轨迹方程。例题4 过不在坐标轴上的定点的动

8、直线交两坐标轴于点A、B，过A、B坐标轴的垂线交于点P，求交点P的轨迹方程。练习四1.过点P（2，4）作两条互相垂直的直线、，若交x轴于A点，交y轴于B点，求线段AB的中点M的轨迹方程。2.一个动圆的解析式为，求圆心的轨迹方程。3.过圆O：外一点A（4，0），作圆的割线，求割线被圆截得的弦BC的中点M的轨迹。 4.点，B、C是圆上的动点，且ABAC，求BC中点P的轨迹方程。五. 交轨法 求两条动曲线交点的轨迹方程时，可选择同一个参数及动点坐标X、Y分别表示两条曲线方程，然后联立消去参数便得到交点的轨迹方程，这种方法称为交轨法。例5 已知直线过定点，且是曲线的动弦P1P2的中垂线，求直线与动弦P

9、1P2交点M的轨迹方程。练习五 1.求两条直线与的交点的轨迹方程。2.当参数m随意变化时，求抛物线的顶点的轨迹方程。3.设A1、A2是椭圆的长轴两个端点，P1、P2是垂直于A1A2的弦的端点。求直线A1P1与A2P2交点的轨迹方程。4.已知双曲线=1 (m0，n0)的顶点为A1、A2，与y轴平行的直线交双曲线于点P、Q。求直线A1P与A2Q交点M的轨迹方程。5.已知椭圆，直线l：，P是L上一点，射线OP交椭圆于R，有点Q在OP上，且满足，当P在L上移动时，求点Q的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。六. 定义法求轨迹方程时，若动点轨迹的条件满足某种已知曲线（圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可以

10、直接根据定义求出动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫定义法。常见已知曲线：（1）圆：到定点的距离等于定长（2）椭圆：到两定点的距离之和为常数（大于两定点的距离）（3）双曲线：到两定点距离之差的绝对值为常数（小于两定点的距离）（4）抛物线：到定点与定直线距离相等。例题61.设圆的圆心为A，直线过点且与x轴不重合，交圆A于C、D两点，过B作AC的平行线交AD于点E。证明为定值，并写出点E的轨迹方程。 2.已知ABC的顶点A，B的坐标分别为，C 为动点，且满足。求点C的轨迹。练习六 1.已知圆M：，圆N：，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C。求C的方程。 2.动点P到直线的距离与它到点（2，1）的距离之比为，则点P的轨迹是什么？ 3.点M到点F（4，0）的距离比它到直线的距离小1。求