傅立叶级数超详解

1、 高等数学 附录3 傅立叶级数附录3 傅里叶级数傅里叶级数 本节介绍将函数本节介绍将函数 展为三角级数，即展为三角级数，即( )f x01( ) cossin2nnnaf xanxbnx.的的有有关关问问题题 一、物理背景一、物理背景 1.具有倍频率的简谐振动的叠加具有倍频率的简谐振动的叠加 简谐振动是最简单的振动，在适当坐标简谐振动是最简单的振动，在适当坐标系中，可用我们熟悉的正弦函数表示为系中，可用我们熟悉的正弦函数表示为sin()yAt， A其其中中 ， ，分分别别称称为为简简谐谐振振动动的的振振幅幅、角角频频率率和和初初相相. .通通常常我我们们也也将将简简谐谐振振动动叫叫做做正正弦弦

2、运运动动或或正正弦弦波波. . 设有一系列的简谐振动设有一系列的简谐振动111222sin,sin 2, sin, . (1)nnnyAtyAtyAn tnnn其其中中第第 个个的的角角频频率率是是第第一一个个的的 倍倍, ,其其周周期期则则21.nTnn是是第第一一个个的的即即 序列序列(1)称为具有倍频率的简谐振动列，称为具有倍频率的简谐振动列，显然第显然第1个个简谐振动的周期简谐振动的周期 是是序列序列(1)2T的公共周期的公共周期. . 序列序列(1)中的任意两个简谐振动的叠加，中的任意两个简谐振动的叠加，已不再是已不再是简谐振动了简谐振动了.比如两个同振幅、同比如两个同振幅、同初相但

3、不同频率的简谐振动初相但不同频率的简谐振动1121sinsin 2yAtyAt与与的合成运动为的合成运动为11sinsin 2yAtAt1sinsin 2Att132cossin22ttA3( )sin,2tA t1( )2cos2tA tAt其振幅随时间 而变化,故不再其振幅随时间 而变化,故不再是是简简谐谐振振动动. .但但它它仍仍然然是是一一个个周周期期性性运运动动，且且2.T周期周期至于一系列振幅、初相均不相同的具有至于一系列振幅、初相均不相同的具有0A倍频率的简谐振动以及一个稳恒运动 的叠加倍频率的简谐振动以及一个稳恒运动 的叠加01sinnnnAAn t就更是一种比简谐振动复就更是

4、一种比简谐振动复周周杂得多的杂得多的期期运动,运动,xt为为简简单单起起见见，作作变变换换并并利利用用三三角角恒恒等式，将其化为以2 为周期的三角级数：等式，将其化为以2 为周期的三角级数：01sinnnnAAn t01sincoscossinnnnnnAAnxAnx01cos,sin2nnnaanxbnx00,sin,cos,.2nnnnnnaAaAbAn+Z其其中中如果三角级数 如果三角级数 01cossin2nnnaanxbnx 在(- ,+ )内收敛，则知其和函数在(- ,+ )内收敛，则知其和函数01( )cossin2nnnaf xanxbnx 2必必定定是是一一个个以以为为周周期

5、期的的周周期期函函数数. .并并且且可可( )f x以推定在性质上会很复杂，不过这丝毫以推定在性质上会很复杂，不过这丝毫不不影影响响这这种种研研究究的的重重要要意意义义. . 2.周期振动的分解周期振动的分解谐波分析谐波分析 采用采用“逆向思维逆向思维”，可知我们实际上解，可知我们实际上解决决了上述问题的反问题：将一个周期运动分解了上述问题的反问题：将一个周期运动分解为一系列简谐振动的叠加，从而通过简谐振为一系列简谐振动的叠加，从而通过简谐振动来把握一般的、复杂的周期振动动来把握一般的、复杂的周期振动. .在物理在物理学的许多领域学的许多领域(力学、电工、电讯等力学、电工、电讯等)正是这正是这

6、样做的样做的.人们称之为人们称之为“谐波分析谐波分析”. 谐振分析，在数学上就是将一个周期函谐振分析，在数学上就是将一个周期函数展为三角级数数展为三角级数. .为此，至少要解决下面两为此，至少要解决下面两个问题：个问题：( )f x （1）具备什么条件就能展成三角级数（1）具备什么条件就能展成三角级数01cossin2nnnaanxbnx ，0( )nnf xaab如何由确定其中系数 ， ， ？如何由确定其中系数 ， ， ？ （2 2）所所展展成成的的三三角角级级数数01cossin2nnnaanxbnx ，( )?f x在什么范围内收敛？其和函数是否就是在什么范围内收敛？其和函数是否就是(

7、)( )?s xf x若不是，则和函数与有何关系若不是，则和函数与有何关系 二、二、 Fourier系数与系数与Fourier级数级数 利用三角函数系的正交性，很容易确定三角利用三角函数系的正交性，很容易确定三角级数级数01( ) cossin2nnnaf xanxbnx的系数的系数0,(1,2,).nna a b n 1.三角函数系的正交性三角函数系的正交性 (1)定义定义5.1 设函数系设函数系 在在12( ),( ),( ),kxxx , ( ) , ka bxa b区间上有定义，且每个在上可积，若区间上有定义，且每个在上可积，若,1,2,( )(,)d()0kbijai jxijxxx

8、 当时有则称当时有则称 , a b在在上上是是正正交交的的. . (2)三角函数系三角函数系1 cos ,sin ,cos2 ,sin2 ,cossin,xxxxnxnx， , 0, 2在或上是正交的，因为在或上是正交的，因为1 cosd0,;nx xn Z1 sind0,;nx xn Zcossind0,;mxnx xm nZcoscosd0,;mxnx xmnm nZsinsind0,.mxnx xmnm nZ即任意两个不同函数乘积在即任意两个不同函数乘积在 上的积分均为上的积分均为0. , 此外，还有此外，还有212d,x( )f x假设能展成三角级数，即假设能展成三角级数，即2cosd

9、;nx x2sind.nx x 2. Fourier系数系数01( )cossin2nnnaf xanxbnx( ) , f x又又假假设设在在上上可可积积、三三角角级级数数可可逐逐项项积积分分, ,且且cossinnxnx乘乘以以, ,后后仍仍可可逐逐项项积积分分. . 两边积分得两边积分得(注意三角函数系的正交性注意三角函数系的正交性)01( )ddcosdsind2kkkaf xxxakx xbkx x000,aa01( )d ;af xx由此得 由此得 0( )cosdcosd2af xnx xnx x1( )cosd ,;naf xnx x nZ由由此此得得 两边同乘以两边同乘以 后

10、，积分得后，积分得cosnx1coscosdsincosdkkkakxnx xbkxnx x, ,nanZ0( )sindsind2af xnx xnx x1( )sind , ;nbf xnx xnZ由由此此得得 两边同乘以两边同乘以 后，积分得后，积分得sinnx1cossindsinsindkkkakxnx xbkxnx x, ,nbnZ1( )cosd , , 1( )sind , .1nnaf xnx xnbf xnx xn可可写写为为 （）NZ,)(1)(nnfa bx公公式式所所确确定定的的称称为为关关于于三三角角函函数数系系FouriFouri的的erer系系数数. . 2.

11、Fourier级数级数 以以 的的Fourier系数为系数的三角级数称为系数为系数的三角级数称为( )f x 的的Fourier级数，记为级数，记为( )f x01( )cossin,2nnnaf xanxbnx,(1)nna b其其中中由由公公式式确确定定. . 由上面的分析可知：由上面的分析可知：( ) , , 2f xa a只要在上(或上)可积，只要在上(或上)可积，( )Fourierf x 就能确定一组系数，从而导出一就能确定一组系数，从而导出一Fourier( )Fourierf x个个级级数数, ,并并称称它它为为的的级级数数. .( ),f x是是否否就就是是将将在在后后面面讨

12、讨论论. .Fourier至于这个级数是否收敛，以及和函数至于这个级数是否收敛，以及和函数 例例1 设设0,0,( ),0 xg xxx 2( )Fourierg x是是以以为为周周期期的的周周期期函函数数，求求的的级级数数. .( )g x 的的解解图图形形如如下下：O33xy( )yg x0011( )dd,2ag xxx x011( )cosdcosdnag xnx xxnx x00sin11sindxnxnx xnn022(1)110co1s,nnxnnnZ00cos11cosdxnxnx xnn120111sinnnxnn011( )sindsindnbg xnx xxnx x1(

13、1),;nnnZ所以所以121( 1)1( 1)( )cossin,4nnng xnxnxnn121( 1)2( )cos(21)sin.4(21) nng xnxnxnn01( )cossin.2nnnaf xanxbnx 注意：注意：以上只是形式地求出了函数的以上只是形式地求出了函数的Fourier级级数，至于函数要满足的条件，以及级数的收敛性、数，至于函数要满足的条件，以及级数的收敛性、和函数等，均未涉及，故记为和函数等，均未涉及，故记为 3. Fourier级数收敛的级数收敛的Dirichlet条件条件 定理定理 (收敛定理，收敛定理， Dirichlet条件条件)( )2( )f x

14、f x设是以为周期的周期函数，若在一设是以为周期的周期函数，若在一个周期内满足个周期内满足Dirichlet条件，即条件，即 (1)连续或至多有有限多个第一类间断点；连续或至多有有限多个第一类间断点； (2) 至多只有有限多个极值点；至多只有有限多个极值点；则则 的的Fourier级数处处收敛，且和函数为级数处处收敛，且和函数为( )f x(0)(0)( ),(,).2f xf xs xx 即即01( )cossin2nnnaf xanxbnx( )( )( ), ( )(0)(0),2xf xxf xf xs xf xf x当当 为为的的连连续续点点时时，当当 为为的的间间断断点点时时. .

15、证明从略证明从略. 显然这是一个充分性条件，但这也是一个很宽显然这是一个充分性条件，但这也是一个很宽松的条件，以至于科学和工程技术中出现的函数松的条件，以至于科学和工程技术中出现的函数大都能够满足大都能够满足. 例例2 求例求例1中中Fourier级数的和函数级数的和函数 解解 由收敛定理，得由收敛定理，得121( 1)2cos(21)sin4(21) nnnxnxnn( ),(21),( ).,(21),2g xxks xkxkZ 并画出和函数的图形并画出和函数的图形.7( ), , (5),4s xss 70, (5)().44422ssssO33xy22120,4(21) nn 若令若令

16、 ，得，得0 x 22222111111.8(21)35(21)nnn 从而得从而得 ( )ys x3 ( )2, , ,0,2( )( ),0. 2.f xxf xf xx 例例设设是是以以为为周周期期的的函函数数 它它在在上上的的表表达达式式为为将将展展为为FourierFourier级级数数, ,并并作作出出和和函函数数的的图图形形 ( )Dirichlet,f x 显显然然满满足足条条件件解解且且1 ( )cosd0,0,1,2,;naf xnx xn012 ( )sindsind2nbf xnx xnx x01 ( 1)1 cos 1 cos,1,2,;nnnxnnnn 112 (

17、)sinsin(21)21nnkf xbnxkxk111 2 sinsin3sin5sin(21)3521xxxkxk,(21), 2 ,2 ( ).0, 2 , (21) ,2xkks xkxkxkkZO33xy22( )yf x( )ys x或任何或任何 )上给出的、且满足上给出的、且满足Dirichlet条件条件 , 2a a的函数的函数 ,也可以将其展为以也可以将其展为以 为周期的为周期的Fourier( )f x2级数级数.步骤如下：步骤如下： (1)将将 延拓延拓成在整个数轴有定义的以成在整个数轴有定义的以 为周为周 ( )f x2期的、且满足期的、且满足Dirichlet条件的函

18、数条件的函数 ；( )g x 4.对于只在长为对于只在长为 的区间的区间 (如如 ,或或 , 2 , )I (2)求出求出 的的Fourier级数，它在级数，它在 上的上的限制限制就就( )g xI 是是 的以的以 为周期的为周期的Fourier级数级数.( )f x2 注意注意: Fourier级数的和函数在级数的和函数在 的端点处的值的端点处的值I( 0)(.0)2ffs 相等，且相等，且O33xy( )yf x( ), ( )( )f x g xs x请请比比较较、三三者者图图形形的的联联系系与与区区别别. .0,0,4 ( )2,0 ( )( ).xf xxxf xS x 例例将将展展

19、为为为为周周期期的的FourierFourier级级数数, ,并并画画出出及及和和函函数数的的图图形形121( 1)2( )cos(21)sin.4(21) nnf xnxnxnn( )yg x( )yf xO33xyO33xyO33xy2( )yg xO33xy( )ys x (3)实际做展开时实际做展开时,没有必要将没有必要将 的图形画的图形画( )g x出出, ,更没有必要写出更没有必要写出 的解析表达式的解析表达式(通常很难通常很难),( )g x这是因为这是因为11cosd( )cosd ,0,1,2,;( )nanx xf xnxgx nx11sind( )sind( ),1,2,

20、.nbnx xf xnx x ng x01(0)(0)cossin,.22nnnaf xf xanxbnxxI于是于是Fourier.级级数数, ,并并画画出出和和函函数数的的图图形形25 ( )(02)2f xxx例例将将展展为为以以为为周周期期的的 ( )0, 2Dirichlet,f x 显显然然在在上上满满足足条条件件解解且且2222000811( )dd ;3af xxxx2220011( )cosdcosdnaf xnx xxnx x22200sin12sindnxxxnx xnn2200cos1210cosdnxxnx xnnn222140,1,2,;nnn2220011( )s

21、indsindnbf xnx xxnx x22200cos12cosdnxxxnx xnn222004sin121sindnxxnx xnnnn24410,1,2,;nnn 22141( )4cossin3nf xnxnxnn22, 2 , 2(1) ,.2 ,2 , xxkkkxkZO4242xy624622( )f x( )ys x 三、正弦级数与余弦级数三、正弦级数与余弦级数 1.奇函数与偶函数的奇函数与偶函数的Fourier级数级数 定理定理 ( ) , Dirichletf x设在上满足条件，则设在上满足条件，则( )( )2Fourierf xf x(1)(1)当为奇函数时,的以为

22、周期的当为奇函数时,的以为周期的级数是正弦级数级数是正弦级数1( ) sin,nnf xbnx02( )sind ,;1 2,nbf xnxnx其其中中( )( )2Fourierf xf x(2)(2)当为偶函数时,的以为周期的当为偶函数时,的以为周期的级数是余弦级数级数是余弦级数01( ) cos,2nnaf xanx02( )cosd ,0,1 2,.naxx nfnx其其中中( )( )cosf xf xnx (1) (1)奇奇函函数数时时, ,为为奇奇证证函函数数，而而( )sinf xnx为偶函数，故为偶函数，故1( )cosd0,0,1,2,naf xnx xn，012( )si

23、nd( )sind ,1,2,nbf xnx xf xnx x n1( ) sin.nnf xbnx(2)(1)完完全全与与类类似似. .Fourier级级数数. .6 ( ) , 2f xx例例将将在在上上展展为为以以为为周周期期的的 ( ) , f xx在在 上上是是偶偶函函数数解解，且且满满足足Dirichlet0 1,2,nbn条件，故（）;条件，故（）;00022( )dd,af xxx x0022( )cosdcosdnaf xnx xxnx x2000sincos212sind0 xnxnxnx xnnn220,2 ,2 ( 1)1.4,21,(21) nnkknknkZ( )

24、, f x在上处处连续，在上处处连续，2141( )cos(21) , , .221kf xxkx xk 2211.821kk由此也可得由此也可得1222222111( 1)11,.62412(2 )nnnnnnn进进一一步步可可得得 2. 只在半区间只在半区间 上给出的函数上给出的函数0, ( , 0或或等等展成以展成以 为周期的为周期的Fourier级数级数( )f x2( )0, )f x设在上有定义，且满足Dirichlet条件，设在上有定义，且满足Dirichlet条件， , 0)可将其向另外半区间上作延拓：可将其向另外半区间上作延拓：( ),0, ), ( )( ), , 0),f

25、 xxF xg xx ( ) ,)Dirichlet( )F xF x使在上满足条件；并将展为以使在上满足条件；并将展为以2Fourier0, ( )f x为为周周期期的的级级数数, ,它它在在)上上的的限限制制就就是是2Fourier的的为为周周期期的的级级数数. .为简单起见，通常是为简单起见，通常是( ), F x(1)(1)作作，使使在在(奇奇延延拓拓为为奇奇函函数数(),( , 0),( )0,0,( ),(0, ,fxxF xxf xx ( )f x 的的从从而而得得正正弦弦级级数数10(0)(0), (0,),( ) sin2, 0, . nnf xf xxf xbnxx02(

26、)sind ,1,2,.nbf xnx x n其中其中( ), F x(2)(2)作作，使使在在偶偶延延拓拓为为偶偶函函数数(), , 0),( )( ), 0, ,fxxF xf xx ( )f x 的的从从而而得得余余弦弦级级数数01(0)(0)( ) cos, 0, ,22nnaf xf xf xanxx02( )cosd ,0,1,2,.naf xnx x n其中其中xyO7 ( )1 (0)2f xxx例例将将分分别别展展为为以以为为周周期期的的正正弦弦级级数数和和余余弦弦级级数数。( )f x解：(1)将作奇延拓（一般不用写出解析式，解：(1)将作奇延拓（一般不用写出解析式，画画图

27、图即即可可）：1yx1,0,( )0,0,1,0.xxF xxxx 0022( )sind()sind1nbf xnx xnxx x000cos21cosdsindxnxnx xnx xnn10( 1)cos20nnxnn1( 1)1 ( 1)2nnnn 121 ( 1)(1)nn 2(2),1,3,5,2,2,4,6,;nnn2( ) 2 sinsin22f xxx1,0,0,0,.xxx2sin3sin434xx( )f x(2)(2)将作偶延拓将作偶延拓1yx1,0,( )1,0.xxF xxx xyO100022( )d()d21af xxxx，0022( )cosd()cosd1na

28、f xnx xnxx x000sin21sindcosdxnxnx xnx xnn22002( 1)1cossin20nnxnxnnn24,1,3,5,0,2,4,6,.nnn22241111coscos3cos4cos535xxxxx 0, .x 四、一般周期函数的四、一般周期函数的Fourier级数级数 1.实际应用中的周期函数实际应用中的周期函数 的周期往往不是的周期往往不是( )f t2,.T而是某个正数而是某个正数2 0.Tll为为方方便便起起见见，记记（, ,称称为为半半周周期期）( ) 0 2 f tl ll设设在在，( (或或 ,),)上上满满足足DirichletDirich

29、let条条件件，Fourier级数级数, 作变换作变换:( )2f tl要将展为以 为周期的要将展为以 为周期的 ,ltxxtl即即( )( ),( )2lf tfxxx记为记为则而就是以为周期的则而就是以为周期的 0 2函函数数, ,且且在在， ( (或或 ,),)上上满满足足DirichletDirichlet条条件件，其其Fourier级数为级数为01( ) cossin2nnnaxanxbnx(0)(0),(,).2xxx 1( )cosd ,0,1,2,1( )sind ,1,2,3,.nnaxnx x nbxnx x n其其中中 ( )2Fourierxtf tll将代入即得的以 为周期的级数：将代入即得的以 为周期的级数：01( ) cossin2nnnn tn tllaf tab(0)(0),(,).2f tf tt 1( )cosd ,0,1,2, (2)1( )sind ,1,2,3,.nnlllln tll