华师大2713_圆周角(2)

1、27.1.3 27.1.3 圆周角圆周角(2)(2)特征：特征： 角的顶点在圆上角的顶点在圆上. 角的两边都与圆相交角的两边都与圆相交.1、圆周角定义圆周角定义: 顶点在圆上顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角叫圆周角并且两边都和圆相交的角叫圆周角.一、旧知回放一、旧知回放:2、圆心角与所对的弧的关系、圆心角与所对的弧的关系3、圆周角与所对的弧的关系、圆周角与所对的弧的关系4、同弧所对的圆心角与圆周角的关系、同弧所对的圆心角与圆周角的关系一、旧知回放一、旧知回放:圆周角圆周角定理定理一条弧所对的一条弧所对的圆周角圆周角等于它所对的等于它所对的圆心角圆心角的一半的一半. .OABCOABCOABC

2、即即 ABC = AOC.ABC = AOC.211、100的弧所对的圆心角等于的弧所对的圆心角等于_，所对的圆周角等于，所对的圆周角等于_。2、一弦分圆周成两部分，其中一部分是另一部分的、一弦分圆周成两部分，其中一部分是另一部分的4倍，则倍，则这弦所对的圆周角度数为这弦所对的圆周角度数为_。3、如图，在、如图，在O中，中，BAC=32，则，则BOC=_。4、如图，、如图，O中，中，ACB = 130，则，则AOB=_。5、下列命题中是真命题的是（、下列命题中是真命题的是（ ）（A）顶点在圆周上的角叫做圆周角。）顶点在圆周上的角叫做圆周角。（B）60的圆周角所对的弧的度数是的圆周角所对的弧的度

3、数是30（C）一弧所对的圆周角等于它所对的圆心角。）一弧所对的圆周角等于它所对的圆心角。（D）120的弧所对的圆周角是的弧所对的圆周角是60测验测验AOCBBAOC1005036或问题讨论问题讨论问题问题1、如图、如图1, ,在在O O中中,B,D,E,B,D,E的大小有什么关的大小有什么关系系? ?为什么为什么? ?图图1问题问题2、如图、如图2，AB是是O的直径，的直径，C是是O上任一点，上任一点，你能确定你能确定BACBAC的度数吗的度数吗? ?BAOC图图2问题问题3、如图、如图3，圆周角，圆周角BAC =90，弦，弦BC经过圆心经过圆心O吗？为什么？吗？为什

4、么？B = D= EBAC =90OBACDEOBCA图图3问题解答问题解答1、圆周角定理的推论、圆周角定理的推论1：同圆或等圆中，同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。相等的圆周角所对的弧也相等。2、圆周角定理的推论、圆周角定理的推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90的圆周角所对的弦是直径。的圆周角所对的弦是直径。用于找相等的用于找相等的角角用于找相用于找相等的弧等的弧用于判断某个用于判断某个圆周角是否是圆周角是否是直角直角用于判断某用于判断某条线是否过条线是否过

5、圆心圆心已知：如图，在已知：如图，在ABC中，中，AB=AC,以以AB为直径的圆交为直径的圆交BC于于D,交交AC于于E,求证：求证：BD=DE证明证明：连结：连结AD.AB是圆的直径，点是圆的直径，点D在圆上，在圆上，ADB=90，ADBC，AB=AC，AD平分顶角平分顶角BAC，即，即BAD=CAD， BD= DE（同圆或等圆中，相等的圆周角所对弧相等（同圆或等圆中，相等的圆周角所对弧相等）。）。ABCDE例例2： 如图，如图，P是是ABC的外接圆上的一点的外接圆上的一点APC=CPB=60。求证：。求证：ABC是等边三角形是等边三角形APBCO证明：证明：ABC和和APC 都是都是所对的

6、圆周角。所对的圆周角。 ACABC=APC=60(同弧所对的圆周角相等）同弧所对的圆周角相等）同理，同理，BAC和和CPB都是都是所对的圆周角，所对的圆周角，BCBAC=CPB=60。ABC等边三角形。等边三角形。例例3: 船在航行过程中，船长常常通过测定船在航行过程中，船长常常通过测定角度来确定是否会遇到暗礁。如图角度来确定是否会遇到暗礁。如图A,B表示表示灯塔，暗礁分布在经过灯塔，暗礁分布在经过A,B两点的一个圆形两点的一个圆形区域内，区域内，C表示一个危险临界点，表示一个危险临界点，ACB就就是是“危险角危险角”，当船与两个灯塔的夹角大，当船与两个灯塔的夹角大于于“危险角危险角”时，就有

7、可能触礁。时，就有可能触礁。ABECPO弓形所含的圆周角弓形所含的圆周角C=50,问船在航问船在航行时怎样才能保证不行时怎样才能保证不进入暗礁区进入暗礁区?（1）当船与两个灯塔的夹角）当船与两个灯塔的夹角大于大于“危险角危险角”时，船位于哪个区域？为什么？时，船位于哪个区域？为什么？（2）当船与两个灯塔的夹角）当船与两个灯塔的夹角小于小于“危险角危险角”时，船位于哪个区域？为什么？时，船位于哪个区域？为什么？ABECPO一个圆形人工湖一个圆形人工湖,弦弦AB是湖上的一座桥是湖上的一座桥,已知桥已知桥AB长长100m.测得圆周角测得圆周角C=45求这个人工求这个人工湖的直径湖的直径.ABC一个圆

8、形人工湖一个圆形人工湖,弦弦AB是湖上的一座桥是湖上的一座桥,已知桥已知桥AB长长100m.测得圆周角测得圆周角C=45求这个人工求这个人工湖的直径湖的直径.ABCD1.如图，在如图，在 O中中ABC=50，则则AOC等于（等于（ ）A.50； B.80；C.90； D.100ACBOD2.如图，如图，ABC是等边三角形，是等边三角形，动点动点P在圆周的劣弧在圆周的劣弧AB上，且不上，且不与与A、B重合，则重合，则BPC等于（等于（ ）A.30； B.60；C.90； D.45CABPB巩固练习巩固练习3.如图如图,ABC的顶点的顶点A、B、C都在都在 O上上,C30 ,AB2,则则 O的半径

9、是的半径是 。CABO2巩固练习巩固练习ABCDOO1垂直垂直平行平行4随堂练习随堂练习 3.如图如图,A=50,ABC=60 ，BD是是 O的直径，则的直径，则AEB等于（等于（ ）A.70 B.110 C.90 D.120 CABODEBACBODE1200随堂练习随堂练习分析分析：同一条弧所对：同一条弧所对的圆周角有很多，圆的圆周角有很多，圆周角的位置灵活多变，周角的位置灵活多变，可以把注意力放在圆可以把注意力放在圆周角所对的弧上周角所对的弧上.4. 如图，如图，AB是是 O的直径的直径, C 和和D是圆上的两是圆上的两点点,若若ABD=40,求求BCD的度数的度数.ABOCD40随堂练

10、习随堂练习例例5. 5. 如图，如图，ABAB为为O O的一条固定直径，自上半圆的一条固定直径，自上半圆上一点上一点C C，作弦，作弦CDCDABAB，OCDOCD的平分线交的平分线交O O于于点点P P，当点，当点C C在半圆（不含在半圆（不含A,BA,B两点）上移动时，两点）上移动时，问：点问：点P P的位置是否变化？的位置是否变化？PABDCOE分析分析 延长延长CO与与 O交于点交于点E，易证易证CA=DA，又，又CA=BE，则，则DA=BE，由，由OCD的平分线的平分线得得DP=PE，则，则AP=BP，所以，所以点点P为半圆的中点为半圆的中点. 例题讲解例题讲解分析分析 连结连结AO

11、，CO，由勾股，由勾股定理不难得到定理不难得到ABD为等腰为等腰直角三角形，则直角三角形，则AOC=90，又，又OA=OC，AC长度已知，则可以求出半长度已知，则可以求出半径和直径径和直径. 更一般的情况要用更一般的情况要用正弦定理来求正弦定理来求.OCBAD5. 如图，如图，A，B，C三点在三点在 O上，上，ADBC于于D，且，且AC=5，DC=3，AB= ，求，求 O的直径的直径.24随堂练习随堂练习 6. 6. 如图如图,O,O中中, ,弦弦DCDC、ABAB的延长线相交于点的延长线相交于点P,P,如果如果AOD=120AOD=1200 0,BDC=25,BDC=250 0, ,那么那么

12、P=P= ADCPBO350走进中考走进中考 7. 7.如图如图, ,在在O O中中,AOB,AOB的度数为的度数为m.Cm.C是是ACBACB上一点上一点,D,D、E E是是ABAB弧上不同的两点弧上不同的两点( (不与不与A,BA,B两点两点重合重合),),则则D+ED+E的度数为（的度数为（ ）A.mA.m B B C C D D1802m902m2mCBODEA走进中考走进中考 B8如图如图, O中中,AB是直径是直径,半径半径COAB,D是是CO的中点的中点,DE / AB,求证求证:EC=2EA.ABEODC9.如图，如图，OABC，AOB50，试确定，试确定ADC的大小？的大小？

13、AOCBD10.如图，在如图，在ABC中，中，ABAC6,以以AB为为直径的半圆交直径的半圆交BC于于D，交，交AC于于E，若，若DAC30，则，则BAC，BD。OCDABE60度度311.已知已知BC为半圆为半圆O的直径，的直径，AB=AF,AC交交BF于点于点M，过，过A点作点作ADBC于于D，交，交BF于于E，则，则AE与与BE的大小有什么关系？的大小有什么关系？为什么？为什么？BCOAFMDE12.12.求证：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，求证：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形（提示：作出以这条那么这个三角形是直角三角形（提示：作出以这条边为直径

14、的圆边为直径的圆. .）ABCO求证：求证： ABC 为直角三角形为直角三角形.证明：证明：以以AB为直径作为直径作 O，AO=BO，AO=BO=CO. 点点C在在 O上上.又又AB为直径为直径,ACB= 90.12已知：已知： CO 是是ABC 的的AB边上的中线，边上的中线，且且CO= AB ABC 为直角三角形为直角三角形.CO= AB,12随堂练习随堂练习 1313. .如图如图, ,在足球比赛中在足球比赛中, ,甲、乙两名队员互相配合甲、乙两名队员互相配合向对方球门向对方球门MNMN进攻进攻, ,当甲带球冲到当甲带球冲到A A点时点时, ,乙已跟随乙已跟随冲到冲到B B点点, ,从数

15、学角度看从数学角度看, ,此时甲是自己直接射门好此时甲是自己直接射门好, ,还是迅速将球回传给乙还是迅速将球回传给乙, ,让乙射门好？让乙射门好？ 拓展提高拓展提高 提示提示: :从数学角度看从数学角度看, ,甲、甲、乙谁射门好乙谁射门好, ,关键是比较关键是比较MANMAN与与MBNMBN的大小的大小, ,角度角度越大越大, ,射门的机会越好。射门的机会越好。 14.14.如图如图, ,在足球比赛中在足球比赛中, ,甲、乙两名队员互相配合甲、乙两名队员互相配合向对方球门向对方球门MNMN进攻进攻, ,当甲带球冲到当甲带球冲到A A点时点时, ,乙已跟随乙已跟随冲到冲到B B点点, ,从数学角度看从数学角度看, ,此时甲是自己直接射门好此时甲是自己直接射门好, ,还是迅速将球回传给乙还是迅速将球回传给乙, ,让乙射门好？让乙射门好？ 拓展提高拓展提高 提示提示: :从数学角度看从数学角度看,