导数系列：一类以自然指数对数为背景导数压轴题解法教师版

1、一类以自然指数和对数为背景的压轴题解法注 : 本文以目前数学成绩在一本线上下的学子的数学水准，进行展开讲解。根据“遗传学规律”明年全国乙卷再次考到的可能性极大，打出来给学生将保准学生横扫此类压轴题！源于课本 ：1-1 课本 99 页 B 组 1 题或课本 2-2 第 32 页 B 组 1 题的习题：利用函数的单调性，证明下列不等式，并通过函数图像直观验证： ex1 x ；【探究拓展】探究 1：证明不等式 ex1x *变式 1：设 fxexx a ，其中aR,若对于任意 xR ，f ( x) 0恒成立，则参数a的取( )值范围是 _ a1变式 2：设 f ( x)exax1 ，其中 aR ，若对

2、于任意 xR ， f ( x)0恒成立，则参数 a 的取值范围是 _a1变式 ：设f ( x)xx1，其中 aR ，若对于任意 xR ， f (x)0恒成立，则参数 a 的3ae取值范围是 _a1点评：太巧了：增之一分则太肥，减之一分则太瘦 .探究 2：不等式 ex1x * 有哪些等价变形并在坐标系中画图？变形 1： e x1x变形 2： e xx1x11变形 3： ln(1x)x( x1)变形 4： ln xx1( x0) *变形 5： ln 1x1( x0)x1变形 6： ln x1( x 0)x归一：我们只要通过画图并记住 ex1x *, ln xx 1( x0) * 即可，考试出现了其

3、它变形换元转化为这2 个不等式即可。探究 3：观察：“插中”不等式（当然是我编的名字）变形 4： ln xx 1( x0) *变形 6： ln x11( x0) *xln x还是右边 11 )的大小并证明：两式相加除以 2， 试比较：左边( x2x结论：“插中”不等式 *: 若 0111,则 ln x11x 1，则 ln xx. ；若 xx;2x2x请在坐标系中画出图像：这个图像很漂亮，容易记住。点评：数学很美，插中不等式很明显是加强，更加精准了，在高考中经常考到，往后看.总结：ex1x *,ln xx1( x0) *“插中”不等式 * ，以上三式都是将自然指数和对数放缩为我们更加熟悉的一次函

4、数或者反比例函数进行放缩处理。题型一：化归为指数型 ex1x 放缩例 1（ 2010 年全国）设函数x2fxe 1xax1a 0，求fx20 时。（ ）若的单调区间；（ ）若 xf x0 ，求 a 的取值范围。（提示： exx1）解：（ 1） a 0 时， f ( x)ex1x ， f '(x)ex1 .当 x (,0) 时， f '( x)0 ；当 x(0,) 时， f '(x) 0.故 f ( x) 在 (,0) 单调减少，在 (0,) 单调增加（ 2） f '(x) ex 1 2ax由（ I ）知 ex1x ，当且仅当x0 时等号成立 .故f '(

5、x)x2ax(12a) x ，从而当 12a0，即 a1时， f '(x) 0( x0) ，而 f(0) 0，2于是当 x0 时， f ( x)0 .由 ex1x( x0)可得 e x1x( x0).从而当 a1时，2f '(x)ex12a(e x1)e x (ex1)(ex2a) ，故当 x (0,ln2a) 时， f '(x)0 ，而 f (0)0 ，于是当 x(0,ln2a) 时， f (x) 0 .综合得 a 的取值范围为 (,1 .2练习 1：（ 2012 年全国）已知函数fxf ' 1ex 1f0 x1 x2 ，（ 1）求 fx 的解析式及单调区间；

6、12（ 2）若 f xx2axb, 求 a1b 的最大值。（很简单，省略）2练习 2：（ 2013 年全国）已知函数fxexln xm .当 m2 时，证明fx0. （很简单，省略）练习3：（ 2016年广一模）已知函数fx ex mx3, g x ln x12 。 1 ）若曲线 yf x 在点0, f0处的切线斜率为1m的值。2）当 m 1时，证明：fx g x x3 。（2016年广二，求实数模也有用到）练习 4：已知函数f ( x)exax1(a0, e为自然对数的底数) .求函数f ( x) 的最小值；若 f ( x) 0对任意的 xR 恒成立，求实数 a的值；在的条件下，证明：(1)

7、n(2) n(n1)n(n ) ne(nN*) .nnnne 110, f( x)exa ，由 f(x)exa0 得 xln a .解：（ ）由题意 a当 x(,lna) 时 ,f(x)0 ；当 x(ln a,) 时， f (x)0 . f ( x) 在(,ln a) 单调递减，在 (ln a,) 单调递增 .即 f ( x) 在xln a处取得极小值，且为最小值，其最小值为f (ln a)eln aa ln a1aa ln a1.（ 2）f (x) 0 对任意的 xR 恒成立，即在 xR 上， f ( x) min0 .由（ 1），设 g (a) aa ln a1. ，所以 g(a)0 .由

8、 g (a) 1ln a 1ln a 0 得 a 1 . g (a) 在区间 (0,1)上单调递增，在区间(1,) 上单调递减， g (a) 在 a1 处取得极大值g(1)0 .因此 g (a)0 的解为 a1 ， a1.（ 3）由（2）知，因为 a1 ，所以对任意实数x 均有 exx1 0，即 1x ex .kkk令 x(nN*, k0,1,2,3, , n1) ，则01k e n . (1k )n (e n )ne k .nnn1n2nn 1 nnn( n 1)e( n 2)e2e111 e n1e( )( )()( ) e1 e11 e 1e 1 . nnnn练习 5：已知函数f (x)

9、 =eaxx ，其中 a 0.（ 1）若对一切x R， f ( x) 1 恒成立，求a 的取值集合 .（ 2）在函数f (x) 的图像上取定两点A( x1 , f ( x1 ) ， B( x2 , f (x2 ) (x1x2 ) ，记直线 AB的斜率为 K，问：是否存在 x （ x ， x ），使 f ( x0 )k 成立？若存在，求x0 的取值范围；若不存在，请说明理由.012【答案】（ 1）若 a0 ，则对一切 x0 ， f (x) eaxx 1 ，这与题设矛盾，又 a 0，故 a 0 .而( )ax1, 令得11xaef( x)0,xln .faa当 x1 ln1时， f(x)0, f

10、(x) 单调递减； 当 x1 ln1时， f( x)0, f ( x) 单调递增， 故当 x1 ln 1aaaaa a时， f ( x) 取最小值 f ( 1 ln 1 )11 ln 1 .a aaaa于是对一切 xR, f (x)1恒成立，当且仅当11 ln 11 .aaa令 g(t )tt ln t, 则 g (t )ln t.当 0t1 时， g (t )0, g(t ) 单调递增；当 t1时， g (t ) 0, g (t) 单调递减 .故当 t1时， g(t ) 取最大值 g (1)1. 因此，当且仅当 11 即 a1时，式成立 .a综上所述， a 的取值集合为1 .（ 2）由题意知

11、， kf ( x2 )f (x1)eax2eax1x2x1x21.x1令 (x)f(x)kaeaxeax2eax1, 则x2x1( x1 )eax1ea( x2x1 )a(x2x1)1 ,x2x1( x )eax2a( x1 x2)a(x x)1 .e2x2x112令 F (t )ett1，则 F (t ) et1.当 t 0时， F (t )0, F (t ) 单调递减；当 t0时， F(t )0, F (t ) 单调递增 .故当 t0 ， F (t )F (0)0, 即 ett10.从而 ea( x2 x1 )a(x2x1) 10 ， ea (x1x2 )a( x1 x2 )10, 又ea

12、x10,eax20,x2x1x2x1所以 (x1 )0,( x2 )0.因 为 函 数 y( x) 在 区 间 x1, x2上 的 图 像 是 连 续 不 断 的 一 条 曲 线 ， 所 以 存 在 x0( x1 , x2 ) 使(x0 )0, ( x)a2 eax0,( x) 单调递增，故这样的c 是唯一的，且c1ln eax2eax1. 故当且仅当aa( x2x1)1eax2eax1, x2 ) 时，f ( x0 )k .x ( lnaa( x2x1)综上所述，存在x0( x1 , x2 ) 使 f (x0 )k 成立 . 且 x0 的取值范围为 ( 1 ln eax2eax1, x2 )

13、 .aa(x2x1 )【点评】本题考查利用导函数研究函数单调性、最值、不等式恒成立问题等，考查运算能力，考查分类讨论思想、函数与方程思想，转化与划归思想等数学思想方法. 第一问利用导函数法求出f (x) 取最小值f ( 1 ln 1 )aa1 1 a aln1 .对一切 ax R，f(x)1 恒成立转化为f ( x) min1，从而得出a 的取值集合；第二问在假设存在的情况下进行推理，通过构造函数，研究这个函数的单调性及最值来进行分析判断.练习 4：（ 2012 年山东） 已知函数 fln xk，曲线 yfx在点 1, f1处的切线与 x 轴平行。 1）xex求 k 的值； 2）求 fx的单调

14、区间；3）设 gxx2xf 'x , 其中 f 'x 为 fx 的导函数，证明：对任意 x0, g(x)1e 2 。（答案略）例 2、(2011 年湖北）已知函数 fxln xx1, x0,. 求函数的最大值； 2）设 ak , bk k1,2,.n均为正数，证明：若a1b1 a2b2.anbnb1b2.bn ，则 a1b1 a2b2 .anbn1（提示： ln xx1）解：（ 1） f (x) 的定义域为 (0,) ，令 f / ( x)110x1 ，xf (x) 在 (0,1)上递增，在 (1,) 上递减，故函数f ( x) 在 x1处取得最大值f (1)0（ 2）由（）知

15、当x(0,) 时有 f (x)f (1)0 即 ln xx1，nn ak , bk0 ， bkln akbk (ak1),( k1,2,n)ln akbkbk (ak1)k 1k 1 nak bknbk nln akbk0即 ln( a1b1 a2b2anbn )0a1b1 a2b2anbn1k1k1k1练习1: 2006年全国）函数fxx 1 lnx1，若对所有的 x 1都有fxax成立，求实数a的（取值范围。（很简单，省略）练习 2：已知函数f (x)(x1)ln x x1.（ 1）若 xf '(x)x2ax1 ，求 a 的取值范围；（ 2）证明： ( x 1) f ( x)0 .

16、解：（） f( x)x1ln x1ln x1，xxf( x)x ln x1,题设 xf( x)x2ax1等价于 ln xxa .令 g ( x)ln x x ，则 g ( x)1 1x当 0 x1 ， g' (x)0 ；当 x1 时， g'(x)0 ， x1 是 g( x) 的最大值点，g( x) g (1)1综上， a 的取值范围是1,.( ) 有（）知，g (x) g(1)1 即 ln xx 10.当 0 x1 时， f (x)( x1)ln xx1x ln x (ln x x 1) 0；当 x1时，f ( x)l nx(xl nxx1l nxx ( l nx11 )xln

17、 xx(ln11x1)x0练习 3：（ 2014 年陕西）设函数fxln 1x , g xxf ' x , x0,其中 f ' x 是 fx 的导函数。若fxag x 恒成立，求实数a 的取值范围。（很简单，省略）练习 4：（ 2011浙江理 22,替换构造） 已知函数 f ( x)2a ln(1x)x( a0) .求 f ( x) 的单调区间和极值；lg elg elg e(1n)n*求证： 4lg elg enn1)(nN) .23n( n解：定义域为1,f '( x)2a1.1x令 f '(x)01x2a 1 ，令 f '(x)0x2a1故 f (

18、x) 的单调递增区间为1,2a1， f ( x) 的单调递减区间为2a1,f ( x) 的极大值为2a ln 2a2a1lg elg elg e(1n )n证明：要证 4lg en1)23nlg e n(n(1 n )n(1 n )nnn1 11即证1 11 lg e(n 1) ， 即证 4ln e(n 1)nn423nlg e23n即证11113ln( n 1) (11) n23nn令 a1，由可知f ( x) 在 (0,) 上递减，故f ( x)f (0) 0211ln n11即 ln(1x)x ，令 x( nN * ) ，故 ln(1)ln( n1)ln nnnnn累加得， ln( n1

19、)111123nln(11 )1ln(11 )n1(1 1 )ne3nnnn故 11113ln( n1)(11 )n ，得证23nn1n01 12 1n 11 11法二： (1 n)= CnCn nCnn2Cn nn22!3!n!1111(111 )12222n33 ，其余相同证法2222n12n112练习 5：已知函数f ( x)ln( x1)k( x1)1.（ 1）求函数f ( x) 的极值点。（ 2）若 f ( x)0 恒成立，试确定实数k 的取值范围。（ 3）证明： ln 2ln3ln 4ln n(n 4)( n 1)(n N , n 1) .3815n216解： (1)f (x) 的

20、定义域为（1，+）， f /( x)1k .x1当 k0 时， x1,f / ( x)0 ，则 f ( x) 在（ 1， +）上是增函数。f ( x) 在（ 1， +）上无极值点 .当 k0 时，令 f / ( x)0 ，则 x 11.k1) 时， f/( x)1k1k0 ，所以当 x(1,1x1111kk f ( x) 在 (1,11 ) 上是增函数，k当 x(11f /( x)11k1k0,) 时，x111，kk f ( x) 在 (11 ,) 上是减函数。1k x1时， f (x) 取得极大值。k综上可知，当 k0 时， f ( x) 无极值点；当 k0 时， f ( x) 有唯一极值点

21、x11.k(2) 由 (1) 可知，当 k0 时， f (2)1k0， f ( x)0 不成立 . 故只需考虑 k 0 .由 (1)知， f ( x) maxf (11ln k ，)k1 )若 f ( x)0 恒成立，只需f ( x) maxf (1ln k0 即可，k化简得： k1, 所以 k 的取值范围是 1 ，+） .(3) 由 (2) 知，当k1时理解得 ：ln xx1，x 1. ln n3n31 (n 1)(n 2n 1) (n 1)(n 1) 2 . ln nn1 (nN , n 1)n 213ln 2ln 3ln 4ln n145n1)3815n 21(331 (3 n 1)(n

22、1)(n 4)(n 1)N ,n1)326(n练习 6：已知函数f ( x)ln( x1)k( x1)1.求函数f ( x) 的单调区间；若 f ( x) 0恒成立，试确定实数k 的取值范围；n证明：当x2 时， ln( x1)x2 ；i 1ln in(n 1) (n N * ,n 1) .i 14解：函数的定义域为(1,) 中， f( x)1k .x1当 k 0时， f ( x)0，则 f ( x) 在 (1,) 上是增函数 .当 k0 时， f (x) 在 (1,1 1) 上是增函数，在(1 1,) 上是减函数 .kk由知，当k 0时， f ( x) 在 (1,) 上是增函数 .而 f (

23、2)1 k0 ， f ( x) 0不成立 .当 k0 时，由知 ymaxf (11 )ln k ，要使 f ( x) 0恒成立，则ln k 0，解得 k 1.k由知当 k1时，有 f (x) 在 (1,) 上恒成立，且f (x) 在 (2,) 是减函数 .又 f (2)0，当 x2 时， f (x)f (2)0，即 ln( x1)x 2 .令 x1n2 , 则 ln n2n21,即 2ln n( n1)(n1) ，从而 ln nn 1.n 12 ln 2ln 3 ln 4ln n123n1n(n1)成立.345n122224例 3、（2010湖北） 已知函数 （f x） axb（ca0）的图象

24、在点 (1, f (1)处的切线方程为 y x 1 .x用 a表示出 b、 c；若 f (x)ln x在1，)上恒成立，求 a 的取值范围；证明： 111ln(n1)n(n1) .123n1)2(n解：本题主要考察函数、导数、不等式的证明等基础知识，同事考察综合运用数学知识进行推理论证的能力和分类讨论的思想。 f '( x)abf (1)abc0ba12，则有f (1)ab1，解得cl.x2a由知， f (x)axa112a ，x令 g( x)f (x)ln xaxa112aln x ， x1,则 g (1)0 ，xa112x(a1)a(x 1)(x1a )g '(x)axaaxx2x2x2当 oa11a，12a若 11 a，则 g '(x)0， g(x) 是减函数，所以g( x)g(l )oxaf ( x)ln x ，故 f ( x) ln x 在 1,上恒不成立。 a11 a1时，a2若 f ( x) ln x ，故当 x1时， f (x)ln x 。a 的取值范围为1综上所述，所求,2由知：当1f ( x)ln x( x1) .a时，有2令 a1 ，有 f ( x)1 ( x1) ln x( x 1)22x当 x1 时， 1 ( x1) ln x.2x令 xk 1k 1 1 k 1k111，有 lnk2