导数知识点归纳及应用

1、导数知识点归纳及应用知识点归纳一、相关概念1导数的概念函数 y=f(x), 如果自变量 x 在 x 0 处有增量x ，那么函数 y相应地有增量 y =f（x 0 +x ）f（x 0 ），比值y 叫做函数 y=f（x）在 x0 到 x 0 + xx之间的平均变化率， 即y=f ( x0x) f ( x0 )。如果当 x 0时，y有xxx极限，我们就说函数 y=f(x)在点 x 0 处可导，并把这个极限叫做 f （x）在点 x 0 处的导数，记作 f （ x 0 ）或 y|xx0 。即 f （x 0 ）= limy = limf ( x0x)f ( x0 ) 。x 0xx 0x说明：（1）函数 f

2、（x）在点 x 0 处可导，是指 x0 时， y 有极限。如果 yxx不存在极限，就说函数在点x 0 处不可导，或说无导数。（2） x 是自变量 x 在 x 0 处的改变量， x0 时，而 y 是函数值的改变量，可以是零。由导数的定义可知，求函数y=f （x）在点 x 0 处的导数的步骤：求函数的增量y =f （x 0 +x ） f （x 0 ）；求平均变化率y = f ( x0x)f ( x0 ) ；xx取极限，得导数 f (x 0 )= limy 。x0x例：设 f(x)= x|x|,则 f ( 0)=. 解析 ： limf (0 x) f (0)lim f ( x)lim | x | x

3、lim | x | 0 f x0xx 0xx 0xx 0( 0)=02导数的几何意义函数 y=f（x）在点 x 0 处的导数的几何意义是曲线y=f（x）在点 p（x 0 ，f （x 0 ）处的切线的斜率。也就是说，曲线y=f （x）在点 p（x 0 ，f（x 0 ）处的切线的斜率是f （ x 0 ）。相应地，切线方程为yy 0 =f / （x 0 ）（xx 0 ）。例：在函数 yx38x 的图象上，其切线的倾斜角小于的点中，坐标4为整数的点的个数是()A3B2C1D0 解析 ：切线的斜率为k y /3x 28又切线的倾斜角小于，即 0k14故 0 3x2 8 1解得： 3 x8或 8x 333

4、故没有坐标为整数的点3. 导数的物理意义如果物体运动的规律是s=s（t），那么该物体在时刻t 的瞬间速度 v= s（t）。如果物体运动的速度随时间的变化的规律是v=v（t），则该物体在时刻 t 的加速度 a=v（ t ）。例。汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间 t 的函数，其图像可能是（）ssssOtOtOt OtABCD答： A。练习：已知质点 M按规律 s2t 23做直线运动（位移单位：cm，时间单位： s）。（ 1）当 t=2 ，（ 2）当 t=2 ，t 0.01 时，求s ；tt 0.001时，求 s ； t（ 3）求质点 M在

5、 t=2 时的瞬时速度。答案：（1）8.02 cm s （2）8.002 cm s ；（ 3）8 cm s二、导数的运算1基本函数的导数公式: C0;（C为常数） xnnxn 1; (sin x)cos x ; (cos x)sin x ; (ex ) ex ; ( ax )a x ln a ; ln x1 ;xl o ga x1log a e.x例1：下列求导运算正确的是()A(x+ 1 )11B(log 2x) = 1xx 2x ln 2C(3xxD2) =3 log e (x cosx) =-2xsinx3 解析 ：A 错， (x+ 1 )11xx2B 正确， (log 2x) = 1x

6、 ln 2C错， (3 x) =3xln3D错， (x 2cosx) =2xcosx+ x 2(-sinx)例 2：设 f 0( x) sinx ，f 1( x) f 0( x) ，f 2( x) f 1( x) ， ， f n 1( x) f n( x) ，nN，则 f 2005( x) ()AsinxB sinxCcosxD cosx 解析 ： f 0( x)sinx ， f 1 ( x) f 0 ( x)= cosx， f 2( x) f 1 ( x)=- sinx ，f 3( x) f 2( x)= - cosx， f 4( x) f 3( x)= sinx ，循环了则 f 2005(

7、 x) f 1( x) cosx2导数的运算法则法则 1：两个函数的和 ( 或差 ) 的导数 , 等于这两个函数的导数的和( 或差) ，即： ( uv)'u 'v ' .法则 2：两个函数的积的导数, 等于第一个函数的导数乘以第二个函数, 加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即： (uv) ' u ' v uv' .若 C为常数 , 则 (Cu) 'C ' uCu '0Cu'Cu ' . 即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数：(Cu)'Cu ' .法则 3：两个函数的商的导数，等于分

8、子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方：uu' v uv' （ v0）。vv 2例：设 f(x)、g(x)分别是定义在R 上的奇函数和偶函数 , 当 x 0时, f ( x) g( x)f ( x) g ( x) 0. 且 g(3)=0. 则不等式 f(x)g(x)0的解集是 ()A (-3,0)(3,+ )B (-3,0)(0, 3)C (-,-3) (3,+ )D (-,- 3) (0, 3) 解析 ：当 x0 时 , f ( x) g( x)f ( x) g ( x) 0，即 f (x) g( x) /0当 x0 时， f(x)g(x)为增函数，又

9、 g(x) 是偶函数且 g(3)=0 ，g(-3)=0 ，f(-3)g(-3)=0故当 x3 时， f(x)g(x)0，又 f(x)g(x)是奇函数，当 x>0 时， f(x)g(x) 为减函数，且 f(3)g(3)=0故当 0x3时， f(x)g(x)0故选 D3. 复合函数的导数形如 y=f( x )的函数称为复合函数。复合函数求导步骤：分解 >求导 >回代。法则： y|X = y | U ·u|X 或者 f ( x)f ( )*( x) .练习：求下列各函数的导数：（1） yxx5sin x ;（ ）y( x1)( x 2)( x3 );x22（3） yx2

10、x ;411sin12cos.（ ） y1x241x1x53解： (1) yx 2sin xx3 sin xx 2,x 2x233 xy (x 2 ) ( x3) ( x 2 sin x)253x2 2 x 3 sin x x 2 cosx.2（ 2）y=（x2+3x+2）（x+3）=x3+6x2+11x+6， y=3x2+12x+11.（ 3） y=sin xcos x1 sin x ,222 y1 sin x1 (sin x)1 cosx.222（4） y111x 1x2，x 1x(1x )(1x )1 x1 y22(1x)2.1 x(1x) 2(1x)2三、导数的应用1. 函数的单调性与

11、导数（1）设函数 yf (x) 在某个区间（ a，b）可导，如果 f ' (x)0 ，则 f (x)在此区间上为增函数； 如果 f ' (x)0 ，则 f ( x) 在此区间上为减函数。（2）如果在某区间内 恒有 f ' (x)0 ，则 f (x) 为常数 。例：函数 f ( x)x33x21是减函数的区间为()A(2, ) B(,2)C (,0)D（0，2） 解析 ：由 f / (x)3x 26x，得0<x<2<0函数()x3321fxx是减函数的区间为（ 0，2）2极点与极值：曲线在极值点处切线的斜率为0，极值点处的导数为0；曲线在极大值点左侧切线

12、的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正；例： 函数( )3ax23 9,已知 f ( x)在x3 时取得极值，则 a =f x xx()A2B3 C4D5解析 ：f / (x)3x22ax3 ，又f ( x)在x3时取得极值 f / ( 3) 30 6a 0则 a =53最值：在区间 a ，b 上连续的函数 f ( x) 在a ，b 上必有最大值与最小值。 但在开区间（a ， b ）内连续函数f（ x ）不一定有最大值，例如f ( x)x3 , x(1,1) 。（ 1）函数的最大值和最小值是一个整体性的概念，最大值必须是整个区间上所有函数值中的最大值， 最小值必须在整

13、个区间上所有函数值中的最小值。（ 2）函数的最大值、 最小值是比较整个定义区间的函数值得出来的，函数的极值是比较极值点附件的函数值得出来的。 函数的极值可以有多有少，但最值只有一个， 极值只能在区间内取得，最值则可以在端点取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值，极值可能成为最值，最值只要不在端点处必定是极值。例： 函数f (x)x 33x1 在闭区间-3 ， 0 上的最大值、最小值分别是. 解析 ：由 f ' (x)3x 23，得 x1，=0当 x1 时，f /( x) >0，当 1 x1 时，f / ( x) <0，当 x1时，f/ (x) >0，故 f (

14、x) 的极小值、极大值分别为 f ( 1) 3、 f (1)1，而 f (3)17、 f (0)1故函数( )331在-3 ，0上的最大值、最小值分别是3、-17 。f xxx经典例题选讲例 1. 已知函数yxf (x) 的图象如图所示（其中f (x) 是函数f ( x)的导函数），下面四个图象中yf ( x) 的图象大致是()解析 ：由函数yxf ( x) 的图象可知：当 x1时，xf (x) <0，f( x) >0，此时f ( x) 增当1x0 时， xf (x) >0，f( x) <0，此时f ( x) 减当 0x1时， xf(x) <0，f( x) <

15、;0，此时f ( x) 减当 x 1时， xf (x) >0， f (x) >0，此时 f ( x) 增故选 C例 2. 设 f ( x)ax3x 恰有三个单调区间，试确定a 的取值范围，并求其单调区间。解： f (x)3ax 21若 a0 ， f( x)0 对 x (,) 恒成立，此时 f ( x) 只有一个单调区间，矛盾若 a0 ， f( x)1 0 x(, ) ， f ( x) 也只有一个单调区间，矛盾若 a0 f( x)1) (x1) ，此时 f ( x) 恰有三个单调3a( x3 | a |3 | a |区间 a0且单调减区间为 (,1)和 (1, ) ，单调增区间为3

16、| a |3| a |(1,1)3 | a |3 | a |例 3. 已知函数f x)x3bx2axd的图象过点（）,且在点(P 0,2M( 1, f ( 1) 处的切线方程为 6xy 70 .（）求函数yf ( x) 的解析式；（）求函数yf (x) 的单调区间 .解：（）由 f (x) 的图象经过P（0，2），知 d=2，所以 f ( x)x3bx2cx2,f ( x)3x 22bxc.由在M (1, f (1) 处的切线方程是 6xy7 0，知6f (1)70,即f ( 1)1, f( 1)6.32bc6,即 2bc3,解得 bc3.1 b c 2 1.bc0,故所求的解析式是f ( x

17、)x 33x23x2.（）f( ) 3x26x3.令326x3 0,即x22x1 0.xx解得 x112, x212. 当 x 12,或 x 12时 , f (x) 0;当12x12时 , f (x) 0.故(x)33x23x2 (,12)内是增函数，fx在在 (12,12)内是减函数，在 (12, ) 内是增函数 .例 4.设函数 fxx3bx2cx(xR) ，已知 g ( x)f ( x)f( x) 是奇函数。（）求 b 、 c 的值。（）求 g (x) 的单调区间与极值。解：（） fxx3bx2cx ， fx3x22bx c 。从而g( x)f (x)f (x)x3bx2cx(3x22b

18、xc) x3(b 3) x2(c2b) x c是一个奇函数，所以 g (0)0 得 c0 ，由奇函数定义得 b3；（）由（）知 g (x)x36x，从而 g ( x)3x26 ，由此可知，(,2)和( 2,) 是函数 g (x) 是单调递增区间； (2, 2) 是函数g(x) 是单调递减区间；g( x) 在 x2 时，取得极大值，极大值为42 ，g( x) 在 x2 时，取得极小值，极小值为42 。例 5.已知 f （x）= x3ax 2bx c 在 x=1，x=2 时，都取得极值。3（1）求 a、b 的值。（2）若对 x 1,2，都有 f ( x)1恒成立，求 c 的取值范围。c解：（1）由

19、题意 f / （x）=3x 22axb 的两个根分别为1 和 22 =2a ， b2)3由韦达定理，得： 11(3333则 a1 ， b221 x 2（2）由（ 1），有 f （x）= x32xc ，f / （x）=3x2x22 ) 时， f / (x)22 ,1) 时， f /当 x1,0 ，当 x(x) 0 ，当 x(1,2 时，33f / ( x)0 ，当 x2 时， f (x) 有极大值 22c ， f (1)1c, f (2)2c ，3272 当 x1,2 ， f ( x) 的最大值为 f (2)2 c对 x1,2，都有 f ( x)1恒成立， 2c1 ，cc解得0c21, 或 c2

20、1,例 6.已知 x1 是函数 f ( x)mx33(m1)x2nx1 的一个极值点，其中m, nR, m0 ，（ I ）求 m与 n 的关系式；（ II ）求 f ( x) 的单调区间；（III）当x1,1时，函数yf ( x) 的图象上任意一点的切线斜率恒大于3 m，求m的取值范围.解：(I)f ( x)3mx26(m1)xn 因为x1 是函数f ( x)的一个极值点,所以 f (1)0 ,即 3m6(m1)n0 ，所以n3m6（II ）由（I ）知，f ( x)3mx26(m 1)x3m6 =3m( x1) x 12m当 m0 时，有1 12 ，当 x 变化时， f (x) 与 f (

21、x) 的变化m如下表：x,12122,111,mm1mf ( x)00000f ( x)调调递减极小值单调递增极大值单调递减故有上表知，当 m0 时， f ( x) 在,12 单调递减，m2单调递增，在 (1,) 上单调递减 .在 (1,1)m（III）由已知得 f ( x) 3m ，即 mx22( m1)x20又 m 0 所以 x22 ( m 1)x20 即 x22 (m 1)x20, x1,1mmmm设 g( x)x22(11 )x2 ，其函数开口向上， 由题意知式恒成mm立，所以 g (1)01 2220 解之得mmg (1) 01040m 又 m3所以 4m03即 m 的取值范围为4,03例 7：（2009 天津理 20）已知函数 f ( x) ( x2ax2a23a)ex ( xR), 其中a R（1）当 a0 时，求曲线 yf ( x)在点 (1, f(1)处的切