分段低次插值与样条

1、4.4 分段低次插值分段低次插值例：例：在在 5, 5上考察上考察 的的Ln(x)。取。取211)(xxf),., 0(105niinxi -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 n 越大，越大，端点附近抖动端点附近抖动越大，称为越大，称为Runge 现象现象Ln(x) f (x) 分段分段低次低次插值插值 分段线性插值分段线性插值在每个区间在每个区间 上，用上，用1阶多项式阶多项式 (直线直线) 逼近逼近 f (x):,1 iixx11111)()( iiiiiiiiyxxxxyxxxxxPxf, 1 iixxx记记 ，易证：当，易

2、证：当 时，时，|max1iixxh 0h)()(1xfxPh一致一致失去了原函数的光滑性。失去了原函数的光滑性。yxoy= f(x)y=p(x)分段分段Hermite插值插值给定给定nnnyyyyxx ,.,;,.,;,.,000在在 上利用两点的上利用两点的 y 及及 y 构造构造3次次Hermite函数函数,1 iixx导数一般不易得到。导数一般不易得到。 还有许多应用不仅要求插值函数具有足够高阶的还有许多应用不仅要求插值函数具有足够高阶的整体光滑整体光滑性性, , 还要求在某些结点处还要求在某些结点处转折灵活转折灵活. . 例如若干点处加载集例如若干点处加载集中力的杆、梁或板弯曲中力的

3、杆、梁或板弯曲. . 这就导致本节要讨论的这就导致本节要讨论的样条函数样条函数(Spline(Spline) )插值插值. . 数学里的数学里的样条样条( Spline )一词来源于它的直观一词来源于它的直观几何几何 背景背景：绘图员或板金工人常用弹性绘图员或板金工人常用弹性木条木条或或金属条金属条加加压铁压铁( (构成样构成样条条!) !)来绘制或者放样成来绘制或者放样成光顺光顺曲线或者曲面曲线或者曲面. .但它之所以成为但它之所以成为数值分析的数值分析的标志性成果之一标志性成果之一并且在数学物理的广泛领域获并且在数学物理的广泛领域获得非常成功的应用得非常成功的应用, ,还在于它的明确的还在

4、于它的明确的物理背景物理背景. .请看下面请看下面的例子的例子. .4.5 样条函数插值样条函数插值例. 考察梁弯曲方程考察梁弯曲方程 进行加载集中力进行加载集中力, ,只是两端点除给只是两端点除给零位移约束零位移约束外还要外还要加一阶或二阶加一阶或二阶导数约束导数约束. .于是集中力作用于是集中力作用下的梁弯曲方程成为下的梁弯曲方程成为此时我们得到此时我们得到: : 图图4.8.24.8.2 4,.yqxa b 141njjjyxqxx y xab 在内结点在内结点 上上 脉冲间断脉冲间断; ; 为阶梯函数为阶梯函数; ; 在每个子区间在每个子区间 上上 是三次多项式是三次多项式; ; 和和

5、 都是都是 上的连续函数上的连续函数. . 这便是后面我们要着重讨论的这便是后面我们要着重讨论的三次样条三次样条. . 此例展示了此例展示了三次样条三次样条的如下特征的如下特征: : 它分段三次光滑它分段三次光滑; ; 整体二次光滑整体二次光滑( (足够光滑足够光滑); ); 在内结点处三阶导数间断在内结点处三阶导数间断( (转折灵活转折灵活). ). y xy1,jjxx,yy,a bjx 410,1,2, ;jjyxxxxjnL 4yy 141njjjyxqxx4.5.1 样条函数插值样条函数插值要求：要求：插值曲线即要简单，又要在曲线的连接处比较光滑。插值曲线即要简单，又要在曲线的连接处

6、比较光滑。 这样的分段插值函数在分段上要求多项式次数低，而这样的分段插值函数在分段上要求多项式次数低，而在节点上不仅连续，还存在连续的低阶导数，我们把满足在节点上不仅连续，还存在连续的低阶导数，我们把满足这样条件的插值函数，称为这样条件的插值函数，称为样条插值函数样条插值函数，它所对应的曲线，它所对应的曲线称为称为样条曲线样条曲线，其节点称为，其节点称为样点样点，这种插值方法称为，这种插值方法称为样条插值样条插值。Cubic Spline Interpolation Lagrang Interpolation4.5.2 4.5.2 3 3次样条插值次样条插值问题的提法问题的提法：给定数据表：给

7、定数据表构造构造3 3次样条函数次样条函数 满足插值条件满足插值条件 x f x0 x1xnx0f1fnf ,3pS xSLLnifxii, 1 , 0)(S2 . 4）（构造方法构造方法： 应具有如下形式应具有如下形式并且满足条件并且满足条件(4.2)(4.2)和和 ,3pS xS111,1,2,1,(4.4),1,2,1,1,2,1.iiiiiiiiiiiisxsxinsxsxinsxsxinLLL 0011123111,(4.3),.,;iiinnnsxxx xsxxx xS xs xCx xsxxxx 因因 是分段是分段3 3次多项式次多项式 , ,故在每个区间故在每个区间 上上 都是

8、都是3 3次多项式次多项式 , ,从而从而 共须共须 个独立条件确定个独立条件确定 . . 和和 在在 个内结点连续个内结点连续, ,即满足条件即满足条件(4.4),(4.4),因而因而 (4.4)(4.4)给出了给出了 个条件；个条件；(4.2)(4.2)提供了提供了 个独立条件个独立条件; ; 还差还差2 2个条件个条件, ,有多种给法有多种给法. .最常见的给法是最常见的给法是: : (i) (i) （简支边界，导致（简支边界，导致三弯矩关系式三弯矩关系式, , 关系式关系式）, , 特别地特别地, , ( (自然边界自然边界, ,三次自然样条三次自然样条); ); (ii) (ii)

9、( (固支边界固支边界, ,导致导致三转角关系式三转角关系式, , 关系式关系式). ). S x isx1,iixx4n1n S x,S SS1n 33n 000,nnnSxfxMSxfxM00,nMM000,nnnSxfxm SxfxmMm 111,1,2,1,(4.4),1,2,1,1,2,1.iiiiiiiiiiiisxs xinsxs xinsxs xinLLL3n 33n 1n 3n 注意：上述注意：上述给出的给出的 个条件是问题本身隐含的，个条件是问题本身隐含的，和和共共 个独立条件须提供，故个独立条件须提供，故 结点三结点三次样插值次样插值.问题只有问题只有 个自由度个自由度.

10、(请与分段三次请与分段三次Hermite插值插值比较比较!)定义：定义：设对设对y = f (x)在区间在区间a, b上给定一组节点上给定一组节点 a = x0 x1 x2 xn = b和相应的函数值和相应的函数值y0, y1, yn，如果如果s(x)具有如下性质：具有如下性质：（1）在每个子区间在每个子区间xi-1, xi (i = 1, 2, n)上上s (x)是不高于是不高于三次的多项式；三次的多项式；（2）s (x)，s (x)，s (x)在在 a, b上连续；则称上连续；则称s (x)为三次为三次样条函数。如再有样条函数。如再有（3）(i = 0, 1, 2, n)，则称则称s (x

11、)为为y = f (x)的三次样条的三次样条插值函数。插值函数。f(x)H(x)S(x)注：注：三次样条与分段三次样条与分段 Hermite 插值的根本区别插值的根本区别 在于在于S(x)自身光滑自身光滑，不需要知道，不需要知道 f 的导数值的导数值 （除了在（除了在2个端点可能需要）；而个端点可能需要）；而Hermite 插值依赖于插值依赖于f 在所有插值点的导数值。在所有插值点的导数值。三次样条插值的存在唯一性和计算方法三次样条插值的存在唯一性和计算方法设设f (x)是定义在是定义在 a, b区间上的一个二次连续可微函数区间上的一个二次连续可微函数， 为分划：为分划：bxxxxan 210

12、0S (x)在在 xi-1, xi 上的表达式为：上的表达式为：令令 i = 0, 1, 2, n)(iiixSM 在每一个小区间在每一个小区间xi-1, xi i = 1, n 上都是三次多项式，上都是三次多项式， )(xSiiiiiiihxxMhxxMxS11)( （6.7）其中其中 ，将（将（6. 7）两次积分得）两次积分得：1 iiixxhiiiiiiiiAhxxMhxxMxS 2)(2)()(2121iiiiiiiiiiBxxAhxxMhxxMxS )(6)(6)()(3131Ai 和和Bi 为积分常数。为积分常数。 因为因为iiiiiiyxSyxS )(,)(11所以它满足方程：所

13、以它满足方程： 12212666iiiiiiiiiiiiyBhAhMhMyBhM 2116)(6iiiiiiiiiiihMyBMMhhyyA), 2, 1(6612211nihxxhMyhxxhMyiiiiiiiiii iiiiiiihxxMhxxMxS6)(6)()(3131 （6.8）求求 Mi，确定确定S (x)的表达式的表达式。微分微分（6.8）式式iiiiiiiiiiiiihMMhyyhxxMhxxMxS6)(2)(2)()(112121 )(62)(2)()(11111211211iiiiiiiiiiiiiMMhhyyhxxMhxxMxS 于是于是 1163)( iiiiiiiii

14、MhhyyMhxS11111163)( iiiiiiiiiMhhyyMhxS)()(1iiiixSxS 由由 得得各项除以各项除以hi + hi+1，并记，并记 )(11 iiiihhh ii 1 11116 iiiiiiiiihhhyyhyyd则则（6.9）可以写为可以写为)1, 2, 1(211 nidMMMiiiiii 1, 2, 1 ni iiiiiiiiiiiiihyyhyyMhMhhMh11111116)(2（6.9）端点条件端点条件最后一个方程。若取最后一个方程。若取 M0 = Mn=0，称为三次自然样条。称为三次自然样条。nnyMyM ,00（1）给定）给定补充补充（6.9）的

15、第一个和的第一个和有有011011010163)(yMhMhhyyxS nnnnnnnnnnyMhMhhyyxS 36)(11（2）给定两端点导数值给定两端点导数值 nnyxSyxS )()(00 010111062yhyyhMM nnnnnnnhyyyhMM1162分别补充为方程组分别补充为方程组（6. 9）的第一个和最后一个方程组。的第一个和最后一个方程组。 解方程组解方程组经补充后的方程组经补充后的方程组（6. 9）为为其中，对端点条件其中，对端点条件（1），有，有00020Md nnnMd20 nnnnnddddMMMM110110n-1n221102 2 2 22 （6.9）对端点条

16、件对端点条件（2），），有有 01011006, 1yhyyhd nnnnnnnhyyyhd16, 1 （6. 10 ）是一个三对角方程组是一个三对角方程组，可用追赶法解之。可用追赶法解之。此方程组系数严格对角占优此方程组系数严格对角占优 ！从而存在唯一解！从而存在唯一解。求出了求出了Mi (i = 0, 1, n)，也就求得了也就求得了S (x)在各个在各个小区间的表达式小区间的表达式Si (x)（i = 0, 1, 2, n）若取等距节点若取等距节点 hi = h, i = 1, n 121121 iiihhh )2(322611311 iiiiiiiyyyhhyyyhdni, 2, 1 算算 法：法： （1） i = 1, 2, , nhi = xi xi-1 （2） i = 1, 2, n 1111)(6 iiiiiiiiihhhyyhyyd2 iC 11 iiiihhh ii 1（3）解解n 1阶三对角方程组阶三对角方程组，得得M1 , M2 , Mn-1 代入端点条件计算代入端点条件计算M0 , Mn（4） iiiiiiihxxMhxxMxS6)(6)()(3131 iiiiiiiiiihxxhMyhxx