统计学常用分布及其分位数

1、§ 1.4常用的分布及其分位数1.卡平方分布卡平方分布、t分布及F分布都是由正态分布所导出的分布，它们与正态分布一起，是试验统计中常用的分布。当Xi、X2Xn相互独立且都服从 N(0,1)时，Z=£ X：的i分布称为自由度等于 n的/ 2分布，记作Z，2(n),它的分n112 X22.*12J0,式中的'n)=广u2 eudu,20布密度 p( z)=z2, z 0称为Gamma®数，且 1 =1,gj=、J乙，2分布是非对称分布，具有可加性，即当Y与Z 相互独立，且 Y7 2(n), Z 2(m),则Y+Z 2(n+m)。证明:先令XI、X2、Xn、Xn

2、+1、Xn+2、Xn+m相互独立且都服从N(0,1),再根据7 2分布的定义以及上述随机变虽 的相互独立性，令y=x 2 +x 2 + +X2, z=x +x 2 +. +x 212nn 1 n - 2nm V 22 土 j_Y 2 Y 2 y 2 土 j_Y 2Y+Z- X 1 +X 2 + +X n + X " +X n+2 +X n+m，1 2(n+m)。即可得到Y+Z7 2 (n),则 Z = x" nt (n),它的分布密度n 12. t 分布若X与Y相互独立，且.的分布称为自由度 n等于n的t分布，记作Zz2P(Z)= _ 2n、1 ；X N(0,1) , Y叶

3、号)P(z)=vn切 i请注意：t分布的分布密度也是偶函数，且当 n>30时，t分布与标准正态分布N(0,1)的密度曲线几乎重叠为一。这时，t分布的分布函数值查 N(0,1)的分布函数值表便可以得 到。3. F分布若X与Y相互独立，且X，2(n), Y，2(m), 则z= -I-的分布称为第一自由度等于n、第二自由度等于n mm的F分布，记作 ZF (n, m),它的分布密度n m n mp(z)=2(m n z) 2其他。堂 m220,请注意：F分布也是非对称分布，它的分布密度与自由度 的次序有关，当 ZF (n, m)时，F (m ,n)。Z4. t分布与F分布的关系若 Xt( n)

4、，贝U Y=X2 F(1, n)。证：Xt(n), X的分布密度叩=* '"代 原"卜2、2)Y=X 2 的分布函数 Fy (y) =P(Y< y=P(X 2<y。当 y壬 0时，F-(y)=0, p-(y)=0L当 y>0 时，FY(y) =P(-<X<y=J p(x)dx=2"y p(x)dx,nY=X 2的分布密度1 n 1.PY(y)=br,w22 (n y) 2 与第一自由度等于1、第二自由度等于n的F分布的分布密 度相同，因此Y=X2F（1, n）。为应用方便起见，以上三个分布的分布函数值都可以从各 自的函数值表中

5、查出。但是，解应用问题时，通常是查分位 数表。有关分位数的概念如下：4.常用分布的分位数1）分位数的定义分位数或临界值与随机变虽的分布函数有关，根据应用的需要，有三种不同的称呼，即 以分位数、上侧以分位数与双 侧以分位数，它们的定义如下：当随机变虽X的分布函数为 F（x），实数以满足0 以1时，以分位数是使P（X x以=F（x以）=以的数x以，上侧以分位数是使P（X 入=1 - F（入）=以的数入，双侧以分位数是使 P（X入1=F（入i）=0.5以的数入1、使P（X 入 2=1- F（入 2）=0.5 以的数入 2。因为1- F（入）=以，F（入）=1-以，所以上侧以分位数入就是1-以分位数x

6、 1-；F（入1）=0.5以，1- F（入2）=0.5以，所以双侧 以分位数入1就 是0.5以分位数x 0.5a，双侧以分位数入2就是1- 0.5以分位数 x 1- 0.5 a。2）标准正态分布的 以分位数记作Ua , 0.5以分位数记作u 0.5 a，1- 0.5以分位数记作u 1- 0.5 a。P(x)P(x)J£OX当 X N(0,1)时，P(X< Ua =F 0,i(Ua )=以， PX<U 0.5 a = F 0,1 (U 0.5 a )=0.5 以， PX<U 1-0& = F 0,i (U 1-0.5 a )=1- 0.5 以。根据标准正态分布

7、密度曲线的对称性，当以=0.5时，U以=0；当以 <0.5 时，Ua <0。 7 (AUa =- U 1-也。如果在标准正态分布的分布函数值表中没有负的分位数，则先查出U 1-劣，然后得到匕=-U 1-也。论述如下：当 XN(0,1)时，PX< U以= F 0,1 (u以)=以，PX< U 1- a = F 0,1 (U 1- a )=1-以，PX> U 1- a =1- F 0,1 (U 1- a )= a ,故根据标准正态分布密度曲线的对称性，Uq =- U 1. a。例如， U 0.10=- U 0.90=- 1.282,U 0.05=- U 0.95 =

8、- 1.645,u 0.01=- u 0.99=- 2.326,U 0.025 = - U 0.975=- 1.960,u 0.005 = - u 0.995=- 2.576。乂因为P|X|< UL0.5a=1 -以，所以标准正态分布的双侧 以分位数分另U是u 1- 0.5 a和- U 1- 0.5 a。标准正态分布常用的上侧以分位数有：以=0.10, u 0.90=1.282;以=0.05 , u 0.95=1.645;以=0.01 , u 0.99=2.326 ;以=0.025 , u 0.975=1.960;以=0.005 , u 0.995=2.576。3)卡平方分布的 以分位数

9、记作12以(n)o/ 2 以(n)>0 ,当 X 72 (n)时，PX< ' 2 以(n)=以例如，7 2 0.005 =0.21 , 7 2 0.025 =0.48 ,2 0.05 =0.71,2 0.95 (4)=9.49,'2 0.975(4)=11.1, n 0.995(4)=14.9。4) t分布的以分位数记作 "(n)当Xt (n)时，P(X<t以(n)=以，且与标准正态分布相类似，根据t分布密度曲线的对称性，也有M (n)=- 11- a (n)，论述同 11以=-u 1-。例如，t0.95 (4)=2.132 , t 0.975 (4

10、)=2.776, t 0.995 (4)=4.604 , t 0.005 =- 4.604, t 0.025=- 2.776, t 0.05 (4)=- 2.132。另外，当n>30时，在比较简略的表中查不到ta (n)，可用蛎作为侦(n)的近似值。5) F分布的以分位数记作 Fa (n , m)七(n , m)>0,当 X F (n , m)时，P(X<F 以(n , m)=以。另外，当以较小时，在表中1查不出F以(n, m),须先查1Fi- a (m, n),再求 F 以(n, m)=。论述如下：Fi_： (m , n )当 X F(m, n)时，PX< F 1.成

11、(m, n)=1 -以，=以，F 1-： (m,n)1 .P <F 以(n, m) =以，XP 1 >1=1-以，P 1 <1X F v： (m,n)X乂根据F分布的定义，F(n, m),X 1因此 F 以(n, m)='F/ (m , n )例如，F 0.95 (3,4)=6.59 , F 0.975(3,4)=9.98,F 0.99(3,4)=16.7 , F 0.95(4,3)=9.12,F 0.975(4,3)=15.1, F 0.99(4,3)=28.7 ,F 0.01(3,4)= 土，F 0.025 (3,4)=上，F。.。5(3,4)= 土。28.715

12、.19.12【课内练习】1. 求分位数 z2 0.05(8)， v 0.95(12)2. 求分位数 t 0.05(8), t 0.95(12)。3. 求分位数 F0.05(7,5)， F0.95(10,12)。4. 由u 0.975=1.960写出有关的上侧分位数与双侧分位数。5. 由t 0.95(4)=2.132写出有关的上侧分位数与双侧分位数。6. 若X 脖(4), P(X<0.711)=0.05 , P(X<9.49)=0.95 ,试写 出有关的分位数。7. 若X F(5,3) , P(X<9.01)=0.95 , Y F(3,5), (Y<5.41)= 0.95,试写出有关的分位数。8. 设X i、X 2、X 10相互独立且都服从 N(0,0.09)分布, 试求 PZ Xi2 >1.44。习题答案：1. 2.73， 21.0。2.- 1.860， 1.782。3. 盅， 3.37。4. 1.960为上侧 0.025分位数，-1.960与 1.960