2010年高三数学试题精编82双曲线(精)

1、用心爱心专心 1 第八章圆锥曲线方程 双曲线 【考点阐述】 双曲线及其标准方程双曲线的简单几何性质. 【考试要求】 （2） 掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质. 【考题分类】 （一）选择题（共 2 2 2 =a b求出 c 即可得出交点坐标但因方程不是标准形式，很多学生会误认为b 2 小 b 2，从而得出错误结论. 为双曲线右支上的任意一点，则OP FP的取值范围为（） 【答案】 【解析】 因为 F（-2,0） 是已知双曲线的左焦点，所以 2 小 a 3，所以双曲线方 2 X 2 , y 1 3 , 占 八、 、 P (x0,y0),则 2 有八1(X0-3) 为 FP=(Xo

2、2,y。) OP = (X0,y) O P FPP 0 x2 2 )x=X0(x。yo 3 2Xo -1 ，此二次函数对应的抛物 1.（安徽卷理 双曲线方程为 x2 -2y2 =1 ，则它的右焦点坐标为 A 【答案】C B、 .3,0 a2 =1,b2 【解析】双曲线的 ， 【误区警示】 本题考查双曲线的交点, 、6 c , 2 ，所以右焦点为 把双曲线方程先转化为标准方程，然后利用 c2 臥0 10 题) 2 X 2.（福建卷理 7）若点 O 和点F（-2,0）分别是双曲线a2 7 = 的中心和左焦点 ，点 P A. 3-2 73,址)B. 3+2屈址)C. -+=c) 4,) D. -+=

3、c) 4，) 用心爱心专心 2 用心 爱心 专心 3 Xo 线的对称轴为 3 _ _ _ sum. a* 4 ,因为Xo八3 ,所以当Xo 3时，OPFP取得最小值 4 3 3 23 一仁 3 2、.3 , 故OP FP的取值范围是3 2. 3, ：)，选 B。 【命题意图】 本题考查待定系数法求双曲线方程， 考查平面向量的数量积的坐标运算、 函数的单调性与最值等， 考查了同学们对基础知识的熟练程序以及知识的综合应用能力、 算能力。 二次 运 4.(全国I卷理 9)已知Fl、F2 为双曲线 2 C：X 2 _y 二1的左、右焦点，点 p 在 C 上，/ FipF2=60 0 ， 贝 y P 到

4、 X 轴的距离为 (A) 2 (B) 2 (C) (D) .6 【命题意图】本小题主要考查双曲线的几何性质、第二定义、余弦定理，考查转 【答案B 化的数学思想，通过本题可以有效地考查考生的综合运用能力及运算能力 不妨设点 p(x0,y0)在双曲线的右支，由双曲线的第二定义得 |PF卜 玄2 e(X()丰 a e x r 1 c 玄2 02PF2 ex0 ) = ex。-a 2x0-1 c .由余 弦定理得 |PF1|2 |PF2|2 -厅汗2|2 2|PF1|PF2| (1 .2x0)2 ( 2X0 -1)2 -(2、2)2 ,即 cos 60 2(1 . 2x)(、2X0-1) 2 一 5

5、解得 2,所以 y。2 弋 -1 | y。卜弓 2，故 P 到 x轴的距离为 2 5.(全国I卷文 8)已知F1、F2为双曲线 c：X? y =1的左、右焦点，点 P 在 C 上，/ FI p F2 =600，则 |PFi|gPF2 |= (A)2 (B)4 (C) 6 (D) 8 【答案】B【命题意图】本小题主要考查双曲线定义、 学思想，通过本题可以有效地考查考生的综合运用能力及运算能力 【解析 1 .由余弦定理得 几何性质、余弦定理，考查转化的数 | PF 1 |2 + | PF 2 |2 - | F1F2 |2 COS Z F1 PF2 = 2 | PF i | PF 2 | -込60

6、=伯耳卡引2丹沪闯一尸2 2|PF|PF2 1_22+2PF|P第 -(2( 2 一 2|PF|PFJ 用心 爱心 专心 4 6.（全国I新卷理 12）已知双曲线E的中心为原点，P（3,）是E的焦点，过 F 的直线l与 【答案】 【答案】D |PFi HPF2 1 = 4 【解析 2】 角 形 面积 公 式 得 2 日 2 60 SF1PF2 二b cot =1 cot _ 1 = JE=_|PF|PF2 sin60 P刖PF2呼円|呼|=4 E相交于 A, B 两点, 且 AB 的中点为 N（_12, -15）,则 E 的方程式为 X2 (A) 3 (B) 2 2 (C) 6 3 (D) 由

7、已知条件易 得直线 的斜率为k= kFN =1 设双曲线方程为 -1(a 0,b 0) A(xi, yJ,B(X2,y2) ，则有 2 yi 2 以=1 a b 2 2 y2 二 X2 b2 _1，两式相减并结合 N X2 = -24y2 = -30得，X1-X2 % - y?逻 5,从而 5a2 ,即 4b2 = 5a2，又 a2 b 9 , 4b=1 2 1 解得a =4，b二5，故选 B. 7.（全国I新卷文 5）中心在原点, 则它的离心率为 焦点在 x轴上的双曲线的一条渐近线经过点（ 4,2 ）, (A) 6 (B) -5 (C) (D) 2 解析：易知一条渐近线的斜率为 -2 4 1

8、 2，故 2 X 2 8. （天津卷理 5）已知双曲线a b 2 y 2 =1 a 0,b 0 的一条渐近线方程是 y =3x，它 的一个焦点在抛物线y = 24X的准线上, 则双曲线的方程为 2 2 X y 1 (A) 36 108 2 2 X y 1 (B) 9 27 用心 爱心 专心 5 2 2 F F x2_y2=i（a o,b 0） 9. （浙江卷理 8）设Fl、卜2分别为双曲线 a b 的左、右焦点.若在双曲 线右支上存在点P，满足PF2 = FF2，且F2到直线PF,的距离等于双曲线的实轴长，则 该双曲线的渐近线方程为 （A） 3x _4y =0 （B） 3x_5y=0 （ 4x

9、_3y=0 （ ）5x_4y=0 解析：利用题设条件和双曲线性质在三角形中寻找等量关系，得出 a 与 b 之间的等量关系, 可知答案选 C,本题主要考察三角与双曲线的相关知识点，突出了对计算能力和综合运用知 识能力的考察，属中档题 2 2 10. （浙江卷文 10）设 O 为坐标原点，F1,月是双曲线a2 b2 （ a 0, b 0）的焦点, 若在双曲线上存在点 P,满足/丘卩冃=60,| OPI =、7a,则该双曲线的渐近线方程为 2 2 (C) 108 36 【答案】B x2 (D) 27 =1 2 2 x y 2 牙=1ja 0, b 0 【解析】因为双曲线a b 的一个焦点在抛物线 y

10、2 =24x的准线上，所 以 F （-6 , 0）是双曲线的左焦点， 即a2 b2 =36 ,又双曲线的一条渐近线方程是 y -3x , 所以 a* 解得 a2 =9，b2 =27， 所以双2 2 9 27 ，故选 B。 (A) 3 y=0 (B) 3x y=0 (C) x 土 2y =0 (D) x 2x y=0 用心 爱心 专心 6 解析：选 D,本题将解析几何与三角知识相结合，主要考察了双曲线的定义、标准方程，几 何图形、几何性质、渐近线方程，以及斜三角形的解法，属中档题 （二）填空题（共 8 题） 1.（北京卷理 13 文 13）已知双曲线 2 2 x 丄y =1 1 的离心率为 2,

11、焦点与椭圆25 9 的 焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为 答案】（4,0 ） y = K3x ;渐近线方程为 解析：双曲线焦点即为椭圆焦点, 不难算出为 一4,0 ,又双曲线离心率为 -=2 cN 2,即 a 用心 爱心 专心 7 于 【答案】1 【命题意图】本小题考查双曲线的几何性质、待定系数法，属基础题。 则 M 到双曲线右焦点的距离是 _ 【答案】4 2 2 4. （江西卷理 15 文 15） 点A（x0，yo）在双曲线4 32 的右支上，若点 A 到右焦点的距 离等于2x0，则 = 【答案】2 【解析】考查圆锥曲线的基本概念和第二定义的转化，读取 2 a 2xo =3(x ) ： x

12、=2 c .2 2 r: - y = 1 5. （上海卷理 13）如图所示，直线 x=2 与双曲线 4 MB 的渐近线交于巳，E2两点，记巳- e,E2 - ,任取双曲 线上的点 p,若 OP =aq, be2（a、b R）, 则 a、b 满足 的一个等式是 【答案】4ab=1 解析：E1(2,1), E2(2,T) 故a =2,b =2.3，渐近线为 y-bx 二 a 2.（福建卷文 13) 若双 曲线 2 y_ 2 4 - b =1（b0）的渐近线方程式为 x2 1 x y= 2 ，b 【解析】由题意知 2 解得 b=1。 3.（江苏卷 6）在平面直角坐标系 2 x xOy 中，双曲线4

13、2 1 12 上一点 M 点 M 的横坐标是 3, 解析 考查双曲线的定义。 MF d 2 d为占 丿八、 M 到右准线x二1的距离, d =2, MF=4 r e一 a=2.c=6, d = r = 3d , 用心 爱心 专心 8 OP =殆辰=（2a 2b,a -b），点 P 在双曲线上用心 爱心 专心 9 (2a 2b)2_(a_b)2=1 ，化简得 4ab=1 6. （上海卷文 13）在平面直角坐标系中，双曲线 -的中心在原点，它的一个焦点坐标为 2 2 x y d 1 【答案】4 12 【解析】由题意知，双曲线的一个焦点为（ 4，0），即a2 b16，又因为已知双曲线 2 _-1 2

14、 2 I a =4，b =12，故双曲线的方程为4 12 。 【命题意图】本题考查双曲线的几何性质、抛物线的几何性质、待定系数法求双曲线方程, 考查运算能力以及对基础知识的熟练掌握程度。 I 8.（上海春卷 7）已知双曲线 C 经过点（1，1），它的一条渐近线方程为 y =、3x。则双曲 2 x 2 a 2 y 2 -1(a 0,b 0) b2 的一条渐近线方程是 V 3x，所以有a 方，即b二3a，可 (亦,0)曰=(2,1)、e2 二（2, -1）分别是两条渐近线的方向向量。 任取双-上的点P , 若 OP be2（ a、 【答案】4ab=1 b R），贝y a、b满足的一个等式是 解析：

15、因为e1二1）、e2 二（2, 一1）是渐进线方向向量，所以双曲线渐近线方程为 又 c=.5,. a=2,b=1 双曲线方程为 2 2 - 4 y _ 1 OP =ae1）的两条直线 11 和 12 与轨迹 E 都只有一个交点，且，2 求 h的值。 辂 由为戏曲娃的左、右顶点知，姑卜忑0/展庞，） 壬右工-血）.两式相乘得 打_寸2 _v3 2 i 而点尸（和”）在机曲线上 所以互叶=1.即匕 H 2 2 2 2 y2 _ - (x2 _2) - y2 = 1 故 2 ，即2 2 X + y2 = 1 将h：kx h代入2 得 即(1 2k2)x2 4khx 2h2 _2 = 0 由 1 与

16、E 只有一个交点知，=16k2h2 -4(2k2)(2h2 -2)即 1 2k2 二 h2。 1 2 2 = h2 2 2 = k2 2 同理，由2与 E 只有一个交点知， k ，消去h得k ，即k才，从而 h2 =1+2k2 =3，即 h=73。 2 2 解析: 设双曲线的方程为 y2 - 3x2 =（ = 0），将点（匕1）代入可得，=_2。故答案为 3x2 1.（广东卷理 20） 条双曲线 2 X 2 yy （2 ）设h： y h，则由 h 一 I?知, 2 ： y= 2 x 2 (kx h) 2 用心 爱心 专心 12 x y 2 2=1 a0, b0 2.（全国n卷理 21 文 22

17、）己知斜率为 1 的直线 I与双曲线C： a b 相 交于 B、D 两点，且 BD 的中点为M 1,3 . (I)求 C 的离心率； (n)设 C 的右顶点为 A,右焦点为 F, DF -BF “7，证明：过A B、D 三点的圆与 x轴相切. 【分析】本题考查了圆锥曲线、直线与圆的知识，考查学生运用所学知识解决问题的能力。 (1) 由直线过点(1,3)及斜率可得直线方程， 直线与双曲线交于 BD 两点的中点为(1,3), 可利用直线与双曲线消元后根据中点坐标公式找出 a,b 的关系式即求得离心率。 (2) 利用离心率将条件|FA|FB|=17 ，用含 a 的代数式表示，即可求得 a,则 A 点

18、坐标可得 (1, 0)，由于 A 在 x轴上所以，只要证明 2AM=BE 即证得。 【解析】(i)由题设知，|的方程为：y = x，2,代入 C 的方程，并化简，得 (b2-a2)x2-4a2x-4a2-a2b2 =0 设 B(X1,yJ、D(X2,y2) nil 4a2 由M (1$)沟血的中点知宜旦二故;x字yuh 2 2 b a b2 = 3a 故 二 +衣=2a 所以c的离心率? = - = 2. a (II )由、知，C的方程弼3x2-ya= 3a A(a0),F(2(1,0), x1 + x2 = Z 心x2 = o, a o 因此百=2t b - 7c - a2 的标准方程为J-

19、y2 - I + 2y - 0. (0)解法一：如答(20)图由题意点(如处)在直线i|咛+如=4和“咛+ = 4上，因此有工円+4y仇=4, x2Xf +分处=4, 故点均在直线戈严+4)v= 4上，因此直线MV的方程为 牝工+ 4九丁 = 4 . 设C、H分別是直线V.V与解近纯x -2v = O&Jt +2y = 0的交点 乜声 + = 4 及+4/1/ =心 lx -2y =0 U + 2y - 0, 4 设MN与耳轴的交点为Q侧在直线時*4畑=4中，令y = 紂和=J易知 0)注意到現4元=4f| 4 St w 2* * l Q ” I北亦- 4 2 xt 4 * -t 0),则由Oc = = if. (:的渐近线方程为y二土专瓠即-2y s和 由方 答(纲S 用心 爱心 专心 ii 解法二;设矶札仏)