初二数学《三角形、四边形》动点问题分析与讲解

1、初二数学三角形、四边形动点问题分析与讲解所谓“ 动点问题 ”是指题设图形中存在一个或多个动点 , 它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目 . 解决这类问题的关键是动中求静 , 灵活运用有关数学知识解决问题 .关键 : 动中求静 .数学思想：分类思想数形结合思想转化思想例题分析与讲解：1. 如图，在直角梯形 ABCD 中，AD BC， B=90°，AD=24cm ，AB=8cm ， BC=26cm ，动点 P 从 A 开始沿 AD 边向 D 以 1cm/s 的速度运动；动点 Q 从点 C 开始沿 CB 边向 B 以 3cm/s 的速度运动 P、Q 分别从点 A、C 同时出发，当其

2、中一点到达端点时，另外一点也随之停止运动，设运动时间为 ts（ 1）当 t 为何值时，四边形 PQCD 为平行四边形？（ 2）当 t 为何值时，四边形 PQCD 为等腰梯形？（ 3）当 t 为何值时，四边形 PQCD 为直角梯形？分析：（ 1）四边形 PQCD 为平行四边形时 PD=CQ （ 2）四边形 PQCD 为等腰梯形时 QC-PD=2CE （ 3）四边形 PQCD 为直角梯形时 QC-PD=EC 所有的关系式都可用含有 t 的方程来表示，即此题只要解三个方程即可解答：解：（ 1）四边形 PQCD 平行为四边形 PD=CQ 24-t=3t解得： t=6即当 t=6 时，四边形 PQCD

3、平行为四边形（ 2）过 D 作 DEBC 于 E则四边形 ABED 为矩形 BE=AD=24cm EC=BC-BE=2cm四边形 PQCD 为等腰梯形 QC-PD=2CE即 3t-（ 24-t ）=4解得： t=7（s）即当 t=7 （s）时，四边形 PQCD 为等腰梯形（ 3）由题意知： QC-PD=EC 时，四边形 PQCD 为直角梯形即 3t-（ 24-t ）=2解得： t=6.5 （s）即当 t=6.5 （ s）时，四边形 PQCD 为直角梯形点评：此题主要考查了平行四边形、等腰梯形，直角梯形的判定，难易程度适中2.如图， ABC 中，点 O 为 AC 边上的一个动点，过点 O 作直线

4、 MN BC ，设 MN 交 BCA 的外角平分线 CF 于点 F，交 ACB 内角平分线 CE 于 E（ 1）试说明 EO=FO ；（ 2）当点 O 运动到何处时，四边形 AECF 是矩形并证明你的结论；（ 3）若 AC 边上存在点 O，使四边形 AECF 是正方形，猜想 ABC 的形状并证明你的结论分析：（ 1）根据 CE 平分 ACB ，MN BC ，找到相等的角，即 OEC= ECB ，再根据等边对等角得 OE=OC ，同理 OC=OF ，可得 EO=FO （ 2）利用矩形的判定解答，即有一个内角是直角的平行四边形是矩形（ 3）利用已知条件及正方形的性质解答解答：解：（ 1） CE 平

5、分 ACB ， ACE= BCE ， MNBC， OEC= ECB ， OEC= OCE ， OE=OC ，同理， OC=OF ， OE=OF （ 2）当点 O 运动到 AC 中点处时，四边形AECF 是矩形如图 AO=CO ，EO=FO ，四边形 AECF 为平行四边形， CE 平分 ACB ， ACE= ACB ，同理， ACF= ACG ， ECF= ACE+ ACF=（ ACB+ ACG ）=×180°=90°，四边形 AECF 是矩形（ 3） ABC 是直角三角形四边形 AECF 是正方形， AC EN ，故 AOM=90° ，MNBC， BC

6、A= AOM ， BCA=90° ， ABC 是直角三角形点评：本题主要考查利用平行线的性质 “等角对等边 ”证明出结论（ 1），再利用结论（ 1）和矩形的判定证明结论（ 2），再对（ 3）进行判断解答时不仅要注意用到前一问题的结论， 更要注意前一问题为下一问题提供思路， 有相似的思考方法 是矩形的判定和正方形的性质等的综合运用3.如图，直角梯形 ABCD 中， AD BC ， ABC=90° ，已知 AD=AB=3 ，BC=4 ，动点 P 从 B 点出发，沿线段 BC 向点 C 作匀速运动；动点 Q 从点 D 出发，沿线段 DA 向点 A 作匀速运动过 Q 点垂直于 AD

7、 的射线交 AC 于点 M，交 BC 于点NP、Q 两点同时出发，速度都为每秒 1 个单位长度当 Q 点运动到 A 点，P、 Q 两点同时停止运动设点 Q 运动的时间为 t 秒（ 1）求 NC ，MC 的长（用 t 的代数式表示）；（ 2）当 t 为何值时，四边形 PCDQ 构成平行四边形；（ 3）是否存在某一时刻， 使射线 QN 恰好将 ABC 的面积和周长同时平分？若存在，求出此时 t 的值；若不存在，请说明理由；（ 4）探究： t 为何值时， PMC 为等腰三角形分析：（ 1）依据题意易知四边形 ABNQ 是矩形 NC=BC-BN=BC-AQ=BC-AD+DQ ， BC 、AD 已知，

8、DQ 就是 t，即解； AB QN， CMN CAB ， CM ： CA=CN ：CB ，（2）CB 、CN 已知，根据勾股定理可求 CA=5 ，即可表示 CM ；四边形 PCDQ 构成平行四边形就是 PC=DQ ，列方程 4-t=t 即解；（ 3）可先根据 QN 平分 ABC 的周长，得出 MN+NC=AM+BN+AB ，据此来求出 t 的值然后根据得出的 t 的值，求出 MNC 的面积，即可判断出 MNC 的面积是否为 ABC 面积的一半，由此可得出是否存在符合条件的t 值（ 4）由于等腰三角形的两腰不确定，因此分三种情况进行讨论：当 MP=MC 时，那么 PC=2NC ，据此可求出 t

9、的值当 CM=CP 时，可根据 CM 和 CP 的表达式以及题设的等量关系来求出 t 的值当 MP=PC 时，在直角三角形 MNP 中，先用 t 表示出三边的长，然后根据勾股定理即可得出 t 的值综上所述可得出符合条件的t 的值解答 :解：（ 1） AQ=3-t CN=4- （ 3-t） =1+t在 Rt ABC 中， AC2=AB2+BC2=32+42 AC=5在 Rt MNC 中， cos NCM=，CM=（ 2）由于四边形 PCDQ 构成平行四边形 PC=QD ，即 4-t=t解得 t=2 （ 3）如果射线 QN 将 ABC 的周长平分，则有：MN+NC=AM+BN+AB即： （ 1+t

10、） +1+t=（ 3+4+5 ）解得： t= （5 分）而 MN= NC= （1+t ） SMNC=（1+t ）2= （1+t ） 2当 t=时， SMNC= （1+t ）2=×4×3不存在某一时刻t，使射线 QN 恰好将 ABC 的面积和周长同时平分（ 4）当 MP=MC 时（如图 1）则有： NP=NC即 PC=2NC 4-t=2 （ 1+t ）解得： t=当 CM=CP 时（如图 2）则有：（ 1+t）=4-t解得： t=当 PM=PC 时（如图 3）则有：在 Rt MNP 中， PM2=MN2+PN2而 MN=NC=（1+t ）PN=NC-PC= （1+t ）-（4

11、-t ）=2t-3 （ 1+t） 2+ （2t-3 ） 2=（4-t ）2解得： t1=，t2=-1 （舍去）当 t=，t=，t=时， PMC 为等腰三角形点评：此题繁杂，难度中等，考查平行四边形性质及等腰三角形性质 考查学生分类讨论和数形结合的数学思想方法4.如图，在矩形 ABCD 中， BC=20cm ，P， Q，M，N 分别从 A，B，C， D 出发沿 AD ，BC ，CB ，DA 方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止已知在相同时间内，若 BQ=xcm （x0），则 AP=2xcm ，CM=3xcm ， DN=x2cm （ 1）当 x 为何值时，

12、以 PQ ，MN 为两边，以矩形的边（ AD 或 BC ）的一部分为第三边构成一个三角形；（ 2）当 x 为何值时，以 P， Q，M，N 为顶点的四边形是平行四边形；（ 3）以 P，Q ，M，N 为顶点的四边形能否为等腰梯形？如果能，求x 的值；如果不能，请说明理由分析：以 PQ ，MN 为两边，以矩形的边（ AD 或 BC ）的一部分为第三边构成一个三角形的必须条件是点 P 、 N 重合且点 Q 、 M 不重合，此时 AP+ND=AD 即 2x+x2=20cm ，BQ+MC BC 即 x+3x 20cm；或者点 Q、M 重合且点 P、N 不重合，此时 AP+NDAD 即 2x+x220cm，

13、BQ+MC=BC 即 x+3x=20cm 所以可以根据这两种情况来求解 x 的值以 P，Q，M，N 为顶点的四边形是平行四边形的话，因为由第一问可知点Q 只能在点 M 的左侧当点 P 在点 N 的左侧时， AP=MC ，BQ=ND ；当点 P 在点 N的右侧时， AN=MC ， BQ=PD 所以可以根据这些条件列出方程关系式如果以 P ，Q，M， N 为顶点的四边形为等腰梯形，则必须使得AP+NDAD 即2x+x2 20cm，BQ+MC BC 即 x+3x 20cm，AP=ND 即 2x=x2 ，BQ=MC 即 x=3x ，x0这些条件不能同时满足，所以不能成为等腰梯形解答：解：（ 1）当点

14、P 与点 N 重合或点 Q 与点 M 重合时，以 PQ ，MN 为两边，以矩形的边（ AD 或 BC ）的一部分为第三边可能构成一个三角形当点 P 与点 N 重合时，由 x2+2x=20 ，得 x1=-1，x2=-1（舍去）因为 BQ+CM=x+3x=4 （-1） 20 ，此时点 Q 与点 M 不重合所以 x=-1 符合题意当点 Q 与点 M 重合时，由 x+3x=20 ，得 x=5此时 DN=x2=25 20，不符合题意故点 Q 与点 M 不能重合所以所求 x 的值为-1（ 2）由（ 1）知，点 Q 只能在点 M 的左侧，当点 P 在点 N 的左侧时，由 20- （x+3x ）=20- （2

15、x+x2 ），解得 x1=0 （舍去）， x2=2 当 x=2 时四边形 PQMN 是平行四边形当点 P 在点 N 的右侧时，由 20- （x+3x ）=（2x+x2 ）-20 ，解得 x1=-10 （舍去）， x2=4 当 x=4 时四边形 NQMP 是平行四边形所以当 x=2 或 x=4 时，以 P， Q，M，N 为顶点的四边形是平行四边形（ 3）过点 Q，M 分别作 AD 的垂线，垂足分别为点 E，F由于 2x x，所以点 E 一定在点 P 的左侧若以 P，Q， M，N 为顶点的四边形是等腰梯形，则点 F 一定在点 N 的右侧，且 PE=NF ，即 2x-x=x2-3x 解得 x1=0

16、（舍去）， x2=4 由于当 x=4 时，以 P， Q，M，N 为顶点的四边形是平行四边形，所以以 P， Q，M，N 为顶点的四边形不能为等腰梯形点评：本题考查到三角形、平行四边形、等腰梯形等图形的边的特点5.如图，在梯形 ABCD 中，AD BC ，B=90°，AB=14cm ，AD=15cm ，BC=21cm ，点 M 从点 A 开始，沿边 AD 向点 D 运动，速度为 1cm/s ；点 N 从点 C 开始，沿边 CB 向点 B 运动，速度为 2cm/s 、点 M、N 分别从点 A、C 出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t 秒（ 1）当 t 为何值时，

17、四边形 MNCD 是平行四边形？（ 2）当 t 为何值时，四边形 MNCD 是等腰梯形？分析：（ 1）根据平行四边形的性质，对边相等，求得（ 2）根据等腰梯形的性质，下底减去上底等于t 值；12，求解即可解答：解：（ 1） MD NC，当 MD=NC ，即 15-t=2t ，t=5 时，四边形 MNCD 是平行四边形；（ 2）作 DE BC ，垂足为 E，则 CE=21-15=6 ，当 CN-MD=12 时，即 2t-（ 15-t ） =12 ，t=9 时，四边形 MNCD 是等腰梯形点评：考查了等腰梯形和平行四边形的性质，动点问题是中考的重点内容6.如图，在直角梯形 ABCD 中， AD B

18、C ， C=90°，BC=16 ， DC=12 ，AD=21 ，动点 P 从点 D 出发，沿射线 DA 的方向以每秒 2 个单位长的速度运动，动点 Q 从点 C 出发，在线段 CB 上以每秒 1 个单位长的速度向点 B 运动，P、Q 分别从点 D、C 同时出发，当点 Q 运动到点 B 时，点 P 随之停止运动，设运动时间为t（s）（ 1）设 BPQ 的面积为 S，求 S 与 t 之间的函数关系；（ 2）当 t 为何值时，以 B、P、 Q 三点为顶点的三角形是等腰三角形？分析：（ 1）若过点 P 作 PM BC 于 M，则四边形 PDCM 为矩形，得出 PM=DC=12 ，由QB=16

19、-t，可知： s=PM× QB=96-6t；（ 2）本题应分三种情况进行讨论，若PQ=BQ ，在 Rt PQM中，由PQ2=PM2+MQ2 ，PQ=QB ，将各数据代入，可将时间t 求出；若 BP=BQ ，在 RtPMB 中，由 PB2=BM2+PM2 ，BP=BQ ，将数据代入，可将时间 t 求出；若 PB=PQ ，PB2=PM2+BM2 ， PB=PQ ，将数据代入，可将时间t 求出解答：解：（ 1）过点 P 作 PM BC 于 M ，则四边形 PDCM 为矩形 PM=DC=12 ， QB=16-t ， s=?QB?PM=（16-t ）×12=96-6t （0t ）（

20、2）由图可知， CM=PD=2t ，CQ=t ，若以 B、 P、 Q 为顶点的三角形是等腰三角形，可以分三种情况：若 PQ=BQ ，在 RtPMQ 中，PQ2=t2+122 ，由 PQ2=BQ2 得 t2+122=（ 16-t ）2，解得；若 BP=BQ ，在 Rt PMB 中，PB2=（16-2t ）2+122 ，由 PB2=BQ2 得（16-2t ） 2+122= （16-t ） 2，此方程无解， BP PQ若 PB=PQ ，由 PB2=PQ2 得 t2+122= （16-2t ）2+122 得，t2=16 （不合题意，舍去）综上所述，当或时，以 B、 P、Q 为顶点的三角形是等腰三角形点

21、评：本题主要考查梯形的性质及勾股定理在解题（2）时，应注意分情况进行讨论，防止在解题过程中出现漏解现象7.8.直线 y=- 34x+6 与坐标轴分别交于 A、B 两点，动点 P、Q 同时从 O 点出发，同时到达 A 点，运动停止点 Q 沿线段 OA 运动，速度为每秒 1 个单位长度，点 P 沿路线 O? B? A 运动（ 1）直接写出 A、B 两点的坐标；（ 2）设点 Q 的运动时间为 t（秒）， OPQ 的面积为 S，求出 S 与 t 之间的函数关系式；（ 3）当 S= 485 时，求出点 P 的坐标，并直接写出以点 O、P 、 Q 为顶点的平行四边形的第四个顶点 M 的坐标分析：（ 1）分别令 y=0， x=0 ，即可求出 A、 B 的坐标；（ 2）因为 OA=8 ，OB=6 ，利用勾股定理可得 AB=10 ，进而可求出点 Q 由 O 到 A 的时间是 8 秒，点 P 的速度是 2，从而可求出，当 P 在线段 OB 上运动（或 0t 3）时，OQ=t ，OP=2t ，S=t2 ，当 P 在线段 BA