几个著名的不等式.

1、【本讲教育信息 】一 . 教学内容：几个著名的不等式二、本周教学目标：1、掌握柯西不等式、平均不等式等几个著名不等式的基本形式和特点2、会用参数配方法证明柯西不等式，体会构造方程解决数学问题的思想3、能将基本不等式推广到一般形式4、掌握利用均值不等式、柯西不等式在求函数最值中的应用，体会不等式与其它知识及现实世界的联系。三、本周知识要点：定理 1：设 a， b， c， d 均为实数，则 (ac bd )2(a2b 2 )(c 2d 2 )当且仅当 adbc 时等号成立。定理 2：（柯西不等式的向量形式）设 ， 是平面上的两个向量，则当且仅当两个向量方向相同或相反时等号成立定理 3：（柯西不等式

2、的一般形式）给定两组实数a1， a2， ， an ； b1， b2， ， bn 有nnn(ai bi ) 2(ai 2 ) (bi 2 )，（*）i 1i 1i1当且仅当 aikbi (i， ，n) 时等号成立。1 2nnn证明：f ( x) (ai 2 )x 2(2ai bi )xbi 2i1i 1i 1（ 1）若 ai 全为 0，则结论显然成立；n2（ 2）若 ai 不全为0，则 iai00 的一元二次函数，并且1， f ( x) 为首项系数大于nf ( x)(ai x bi ) 20i 1，故 f ( x) 的判别式nnn(2 ai bi )24 ai 2bi 20i 1i 1i 1，即

3、nai bi )2n2n2() (aibi )i 1i1i 1显然，当且仅当aikbi (i， ，n) 时等号成立。1 2定 理4：设x 1 , y 1 , x 2 , y 2 ,x 3 ,y 3 为任意实数，则这个不等式通常称为三角形不等式定理 5： n 个正数的算术几何平均不等式：a1a2a n其中，n称为这n 个正数的算术平均，几何平均这个不等式通常称为算术几何平均不等式，它表明：于它们的几何平均n a aan 称为这 n 个正数的1 2n 个正数的算术平均不小【典型例题】(a1 )2(b1)2(c1) 2100例 1. 设 a， b， c 为正数，且 a b c1，求证：abc31 (

4、12 12 12 )( a1)2(b1 )2(c1)2 证明： 左边 3abc证： 原不等式等价于a2b2c2d 2( (a c)2(b d )2 )2a2b2c2d 22 a2b2c2d2c)2(b d )2(aa2b2c2d 2ac bd证：设(x1, y1 ),( x2 , y2 ),( x3 , y3 ) ，则( x1x2 ) 2( y1y2 ) 2( x2x3 ) 2( y2y3 )2( x1x3 )2( y1y3 ) 2根据三角不等式，即得例 4. 把一条长为 m 的绳子截成三段，各围成一个正方形怎样截法才能使这三个正方形的面积和最小 ?解： 设三段的长度各为x，y， z 则 xy

5、 z m三个正方形的面积和为因为 ( x2y2z2 )(1212 12)( x yz)2m2mm2m 2当且仅当 x y 3 时等号成立， 所以 x2y2z2有最小值3 ，从而 S 有最小值4881例 5. 已知 x 0，当 x 取什么值时， x2 x2的值最小 ?最小值是多少 ?8181分析： 注意到 x2 x2是和的形式，再看x2·x2 81 为定值，从而可求和的最小值8181x281解： x 0x2 0， x2 0， x2 x2 2x2 18，81当且仅当 x2 x 2 ，即 x± 3 时取“”号81故 x± 3 时， x2 x2的值最小，其最小值是18【模

6、拟试题】1.已知 3x y 10，则x 2y 2的最小值为（）1A. 10B. 10C. 1D. 100322.若 n>0，则 n2 n 2 的最小值为 _ 1113.已知 a，b， c 是正实数，且abc 1，则 abc 的最小值为（）A. 3B. 6C. 9D. 12已知 ab c 1，求证：a2b2c214.3 （用三种方法）【试题答案】1. B2.823. A4. 证明：a2b2c2(abc) 2(2ab2bc 2ac)(abc) 22(a2b2c2 )3 (a2b2c2 )(a b c)21a2b 2c 213a2b2c21a2b2c2(a b c)2另法一：331 ( 2a22b22c22a b2b