热学李椿+章立源+钱尚武习题解答热力学第二定律

1、第六章热力学第二定律6-1设每小时能造冰 m克，则m克25C的水变成 一18C的水要放出的热量为25m+80m+0.5x 18m=114m有热平衡方程得4.18X 114m=3600X 2922m=2.2 X 104克=22 千克由图试证明：任意循环过程的效率，不可能大于工作于它所经历的最高热源温度与最低热温源温度之间的 可逆卡诺循环的效率。（提示：先讨论任一可逆循环过程，并以一连串微小的可逆卡诺循环过程。如以可循环所经历的最高热源温度和最低热源温度。试分析每一微小卡诺循环效率与Tm和Tn分别代表这任一i-MTm的关系）证：（1） d当任意循环可逆时。用图中封闭曲线R表示，而R可用图中一连串微

2、笑的可逆卡诺循环来代替，这是由于考虑到：任两相邻的微小可逆卡诺循环有一总，环段绝热线是共同的，但进行方向相反从而 效果互相抵消，因而这一连串微小可逆卡诺循环的总效果就和图中锯齿形路径所表示的循环相同；当每个 微小可逆卡诺循环无限小而趋于数总无限多时，其极限就趋于可逆循环Ro考虑人一微小可逆卡诺循(187 完)环，如图中阴影部分所示，系统从高温热源吸热Qj,向低温热源放热，对外做功，则效率任意可逆循环R的效率为A为循环R中对外作的总功 t n 5(1)又，Tm和Tn是任意循环所经历的最高温热源和最低温热源的温度对任一微小可逆卡诺循，必有:Ti < Tm,Ti> Tn令表示热源Tm和T

3、n之间的可逆卡诺循环的效率，上式(2) 式代入(1)式:2谖去眼令(188 完)即任意循环可逆时，其效率不大于它所机灵的最高温热源Tm和最低温度热源Tn之间的可逆卡诺循环的效(2)任意循环不可逆时，可用一连串微小的不可逆卡诺循环来代替，由于诺定理知,n<n/ 19任一微小的不可逆卡诺循环的效率必小于可逆时的效率，即T9 JMO(3)对任一微小的不可逆卡诺循环，也有Inn将(3)式代入(4)式可得:即任意不可逆循环的效率必小于它所经历的最高温热源Tm和最低温热源 Tn之间的可逆卡诺循环的效率。综之，必 即任意循环的效率不可能大于它所经历的最高温热源和最低温热源之间的可逆卡诺循环的效率。p(

4、v-b)=RT 。式证明这可逆卡诺循环的*6-8若准静态卡循环中的工作物质不是理想气体而是服从状态方程效率公式任为J】证：此物种的可逆卡诺循环如图 等温膨胀过程中，该物质从高温热源 吸热为V2 vrb& = Vp dv=?牛 d,=RTd"bK K Vb等温压缩过程中，该物质向低温热源放热为 (189完)2叩以】羟由第五章习题13知，该物质的绝热过程方程为西-矿'=常数利用p(y-b) =RT可得其绝热方程的另一表达式子p(v-沪二常数由绝热线23及14得枷-沪=丁2(小泸两式相比得V2 -b _ V3-b-该物质卡诺循环的效率为二 1安二 1治7 1 614可见，工

5、作于热源 Ti和T2之间的可逆机的效率总为1一，与工作物质无关，这正是卡诺定理所指出的6-9(1)利用(6.7)式证明，对一摩尔范德瓦耳斯气体有(2)由(1)证明:=+骚+域弗)(3) 设Cv为常数，证明上式可写U'-CyT其中 U。' =O-Cvto+a/Vo证：(1)对一摩尔物质，(6.7)式为（WA0V 01一摩尔范氏气体的物态方程为RT P = V2代入上式即得.du. d . RT a（）=-）-Pov ol v-b v2RT RT a a-+ 万二-fvb vb v v视u为T、v的函数，由（1）得du =（也）V打+ （也）丁成=睥+匕成 dv dTv积分上式即得

6、u-uC7T-C/Tq+- 二妃+ C/T -K VV(3)当Cv为常数Tcvdr = cvT-c由(2)即得a aa"二 / + C 丁 一 Cjg += «01+ C/T =Vo VV其中I.6-10设有一摩尔范德瓦耳斯气体，证明其准静态绝热过程方程为该气体的摩尔热容量 Cv为常数（提示：利用习题9的结果）证：上题给出Tds = du + pdv = CvdT dv由嫡增原理知，可逆绝热过程中系统的嫡不变，有CvdT + dv = 0或 + = 0已知为常数，积分上式即得T（v_b疔二常数6-11接上题，证明范德瓦耳斯气体准静态绝热过程方程又可写为3+制（v-力）*二常

7、数证：有一摩尔范氏气体的状态方程得吊。+ *）（日）代入上题结果+ ）（v-i）（v-6） 二常数由于R是常量，所以上式可写作（P +金）（v-b）k 二常数Cp+fi6-12证明：范德瓦耳斯气体进行准静态绝热过程时，气体对外做功为Cv（ T2） a（）设Cv为常数证：习题9给出，对摩尔范氏气体有Tu=uo + j CydT + h（音）当范氏气体有状态（T1、v1）变到状态（T2、v2）。内能由u1变到u2,而Cv为常数时，上式为u2-u1=Cv （T2 T1） + a （一）绝热过程中，Q=0,有热力学第一定律得气体对外作的功A=u2 - u1=Cv (T2 T1) + a(一)6-13证

8、明：对一摩尔服从范德瓦耳斯方程的气体有下列关RCP-CV =RTVp RT2(7 (矿-A)V-b 尸证：习题9已证得，一摩尔范氏气体有(广)如二 (%* + (¥"dT v 笊视V为T、P的函数，有所以，1摩尔范氏气体在无穷小等压（'、'、'=0）过程中，热力学第一定律可写为:dQ = CpdT = du + pdv=CvdT + dv + ( ) dvcvdT气唔"（提示：）要利用范德瓦耳斯气体的如下关系:乂 由(p+ ) (v b) =RT 可得（%_ R 01P-代入上式即得c - c -芝J % _ /（S）2RTv36-14用范

9、德瓦耳斯气体模型，试求在焦耳测定气体内能实验中气体温度的变化.设气体定容摩尔热容量 CV为常数，摩尔体积在气体膨胀前后分别为 V1 , V2。解：当1摩尔范氏气体由（Ti,Vi）变到（T2,V2）,而Cv为常数时，由9题结果知其内能变化为：U2 u1=Cv（T1 T1）+a（）焦耳自由膨胀实验中，A=0，且气体向真空的膨胀过程极短暂，可认为气体来不及与外界热交换，Q=0,由热力学第一定律得U2 U1=0对于1摩尔范氏气体，由（1）式则得：T1-T1=（一）6-15利用上题公式，求CO2在焦耳实验中温度的变化。设体的摩尔体积在膨胀前是 2.01 - mol 1,在膨胀后为4.01 - mol 1

10、。已知CO?的摩尔热容量为 3.38R,a=3.6atm - I2 mol 2解：取R=8.2X 10 2atm - l - mol 1 - K1利用上题公式并代入已知数据得T1-=（ 一 ）=- 3.25K负号表示范氏气体自由膨胀后温度降低。6-16对于一摩尔范德瓦耳斯气体，证明经节流膨胀后其温度的变化T2-T1为T2 -=（）（-）设气体的摩尔热容量为常数。证：由9题结果，1摩尔范氏气体的内能为u = u0'+ CvT-由范氏气态方程（p+ ） （v - b）=RTpv=RT+ pb- +则1摩尔范氏气体的粉为h=u + pv=(c v+ R)T + b ( p + ) + Uo&

11、#39;=(c v + R(T + + u°')当1摩尔范氏气体由状态（Ti、vi）变到状态（T2、V2）时，起粉变化为h i 一h2= (Cv + R)(T2 Vi) 一 ( 一 )+ ( 一 )气体节流膨胀前后粉不变，所以，令上式中hi-h2=0即得i摩尔范氏气体节流膨胀后温度的变化，为6-i7 假设一摩尔气体在节流膨胀前可看作范德瓦尔斯气体，而在节流膨胀后可看作理想气体，气体的 定容摩尔热量为Cv为常数。试用上述模型证明，气体节流前后温度变化为 T=T2 - Ti= (RT -)试在Ti Vi图上画出 T=0的曲线（即转换温度曲线），并加以讨论。证：由上题证明知，i摩尔

12、范氏气体节流膨胀前的粉为h i= (Cv + R) Ti 一 + + U0'节流膨胀后的气体可视为理想气体，起i摩尔的粉为2 =U2+ P2V2=CvT2 - CvTo+ U0 + RT''(Cv +R)T2+ U0视二常数U。'和U。”相等，由气体节流气候粉不变，所以i-h2= (cv+ R)(T2 - Ti)+ - =0解之，气体节流前后温度的变化为 T = T 2 -Ti= (RT -)(1)令上式 T= 0 ,即 RT i - = 0(2)或 T i=以i摩尔氧为例，由表i 2,取a=i.36atm l2 mol 2-mol i - K'，二式化

13、为(3)b=0.38i8 l - mol ' R=0.082rtm- li=i024 -取各个不同的Vi值，可得相应的Ti值，列表如下: 用描点法作出（3）式的图线一氧的转换温度曲线如下Vi (I )b0.040.060.080.i0.02T1 (K)0213489627710876V (I )0.30.40.5110100T1 (K)931960976100910391041.7对于本题模型的气体，当气体节流前的状态（温度、体积）：1. 由图中曲线上方的点表示时，气体节流膨胀后温度不变，不同的初始体积对应不同的转换温度。2. 由图中曲线下方的曲线表示时，从（1）、（2）式知，气体节流

14、膨胀后温度降低，对于氧气，显 然，常温下节流温度降低。3. 由图中上方的点表示时，气体节流膨胀后温度升高（T>0） T=0的曲线称为转换温度曲线6 18接上题，从上题作图来看，To=具有什么意义？（称 To为上转温度）。若已知氮气 a=1.35 X 100atm6 - mol-2,b= 39.6 cm 6 - mol-1,氮气 a= 0.033 x 106 atm - cni - mol-2,b = 23.4- mol-1,试求氮气6-21设有一摩尔的过冷水蒸气， 其温度和压强分别为 24C和1bar,当它转化为24 C下的饱和水时，嫡的变化是多少？计算时假定可把水蒸气看作理想气体，并可

15、利用上题数据。（提示：设计一个从初态到终态的可逆过程进行计算，如图6-21 ）解：由提示，将实际过程的初、始态，看作通过两个可逆过程得到，并设中间状态为2,初始状态分别为1、3。先设计一个理想气体可逆等温膨胀降压过程，计算S:£K tkJI jy?”（冲诚）= x 8.31 ln=1.62KJ- k1 kg 1再设计一个可逆等温等压相变过程，计算 &,这已在上题算出：S2=Cp ln - Cp ln S=Cln Cp ln + G In=C pin - Rln与（2）式相同 得证6-24 在一绝热容器中，质量为 m,温度为T1的液体和相同质量的但温度为 T2的液体，在一定压强

16、 下混合后达到新的平衡态， 求系统从初态到终态嫡的变化， 并说明嫡增加，设已知液体定压比热为常数 C2解：两种不同温度液体的混合，是不可逆过程，它的嫡变可以用两个可逆过程嫡变之和求得。 设T1>T2,（也可设T1<T2,结果与此无关），混合后平衡温度 T满足下式mC p（T 1 T）=mC（T ）T = （T 1 + T2）温度为的液体准静态等压降温至 T,嫡变为=孚二 fL = mC In；1 J T 夕&温度为T2的液体准静态等压升温至 T嫡变为禹二拌二 哮由嫡的可加性，总嫡变为：，=，+ S=mCln +ln ）=mC pln =mQn因 （T - T2） 2>

17、0 即 T12 - 2T1T2+ T22>0T 12+ 2亦 + T； 4T2>0由此得（T1 + T2） 2>4T2所以， S>0由于液体的混合是在绝热容器内，由嫡增加原理可见，此过程是不可逆6-25由第五章 习题15的数据，计算一摩尔的铜在一大气压下， 温度由300K升到1200K时嫡的变化。解：借助给定初、终态间的可逆等压吸热过程，计算嫡的变化，并将第五章习题15的数据代入，有AS二二l"泌灵二,。("?)如J J 7 JOO '=a ln + b ( 1200-300)=37213J6-26 如图6 26, 一摩尔理想气体氢(t =1

18、.4 )在状态1的参量为V1=20L, T1=300&图中1 3为 等温线，1 4为绝热线，1 2和4 3均为等压线，23为等容线，试分别用三条路径计算S3 - S:(1) 1 2 3(2) 1 3(3) 1 4 3解：由可逆路径1 23求S3- S1T2 ACndT +T3 CpdTh 一p ln G ln=R ln=R ln =8.31ln=5.76 J-K1(2)由路径1 3 求 S3 Si. K1=5.76 J由于1 4为可逆绝热过程，有嫡增原理知 S4- S1=0 S3从等压线43从绝热线1 4 T iV/t或S3，Si=Cpln¥ =勺 y-ln-= (CpS)l

19、n 井二(Cp - CJln 打 In 3= V=5.76 J- K 1计算结果表明，沿三条不同路径所求的嫡变均相同，这反映了一切态函数之差与过程无关，仅决定处、终 态。6-27在第六章 图6 12中，（李椿编“热学”只的图我们曾用一连串微小可逆循环去代替一任意可逆循环，如图6 27所示，设在一微小卡诺循环的 APB段，系统吸收热量 Q'而在任意循环的相应段 MPN系统 吸收热量Q,试证明Q' Q等于MAP勺面积减去PNB的面积。由此可见，Q' Q为二级无穷小量。证：在图6-27中做辅助等温线 MD,构成循环ABDMA，循环中，系统从等温线 APB段吸热Q',在

20、等 温线DM段放热Q2,对外做的功则等于循环包围的面积，即使Q' - Q2=面积 ABDMA(1)又，在循环MNDM中，系统在MPN段吸热Q,在等温线 DM段放热Q2,对外做的功等于循环包围的面 积，即Q' Q2=面积 MNDM (2)(1) 式减(2)式得：(2) Q'-Q=面积 ABDMA-面积 MNDM=面积MAP 一面积PNB视二相邻绝热线之间的等温线AB为一级无穷小量，则面积 MAP与面积PNB的各边均为一级无穷小量，面积MAP与面积PNB均为二级无穷小量，所以， Q'- Q为二级无穷小量。6-28 一实际制冷机工作于两恒温热源之间，热源温度分别为Ti

21、=400K , T2=200K。设工作物质在没一循环中，从低温热源吸收热量为200cal,向高温热源放热600calo(1) 在工作物质进行的每一循环中，外界对制冷机作了多少功？(2) 制冷机经过一循环后，热源和工作物质嫡的总变化( Sb)(3) 如设上述制冷机为可逆机，经过一循环后，热源和工作物质嫡的总变化应是多少？(4) 若(3)中的饿可逆制冷机在一循环中从低温热源吸收热量仍为200cal,试用(3)中结果求该可逆制冷机的工作物质向高温热源放出的热量以及外界对它所作的功。解：(1)由热力学第一定律，外界对制冷机作的功为A=Q 1-Q2=600-200=400cal=1672J(2)经一循环

22、，工作物质又回到初态，嫡变为零，热源嫡变是高温热源嫡变 Si与低温热源嫡变 S2之和。所以，经一循环后，热源和工作物质的嫡的总变化为 Sb=(3) 视工资与热源为一绝热系，若为可逆机，由嫡增加原理知，整个系统的总嫡变为零。即 S0=0(4) 由(3)知，对于可逆机即工质想高温热源放出的热量。而外界对它的功为A=Q1'-Q2=400-200=200cal=836J计算结果表明，当热源相同，从低温热源取相等的热量时，可逆制冷机比实际制冷机所需的外功少6-29接上题,(1)式由计算数值证明：实际制冷机比可逆制冷机外需要的外功值恰好等于 Sb (T1、 Sb见上题).(2)实际制冷机额外多需的

23、外界功最后转化为高温热源的内能.设想利用在这同样的两恒热源之间工作的一可逆热机，把这内能中的一部分再变为有用的功，问能产生多少有用的功.解：(1 )实际制冷机所需之功为Ai=Qi-Q2'可逆制冷机所需之功为A2=Qi'-Q2实际制冷机比可逆机所需的额外功为 A=A 1-A2=(Qi-Q2)-(Qi'-Q2 )=Q1-Q1'=Q1-TiQ2/T2=r（Q-S） =7? AS1 7； T2 1、(2)在热源T1、T2之间工作的可逆热机的效率为能产生的有用工为A= t A= t T1 Sb二 50%x4BxO.5 = 10W 二 418/6-30入土 6-30a,在边厂为L的立方形盒内盛有单原子理想气体.设每一分子的质量为m.由量子力学可以证明，每一个分子的能量只能取下列一系列间断值C :p （免:*E=2m+注+泌)其中nx、ny、nz=1、2、3,（h/2 x ）=1.