复变函数与积分变换第1章PPT学习教案

1、会计学1复变函数与积分变换第复变函数与积分变换第1章章一、复变函数第1页/共46页 我们以复数为自变量的函数复变函数，研究其在复数域上的微积分，并以解析函数为中心内容。第2页/共46页学习方法：要善于同实变函数进行比较、区别，特别要注意复变函数特有的那些性质与结果。第3页/共46页& 1. 1 复 数第4页/共46页 1. 在十六世纪中叶，时引进了复数。他发现这个方程没有根，并把这个方程的两个根形式地表为 。在当时，包括他自己在内，谁也弄不清这样表示有什么好处。事实上， 复数被Cardano引入后，在很长一段时间内不被人随着微积分的产生与发展，情况才有好转。特别是由于 L.Euler的

2、研究结果，复数终于起了重要的作用。例如大家所熟知的Euler公式,1040 xx515515与cossiniei 背景介绍2. 直到十七与十八世纪，G. Cardano (1501-1576) 在研究一元二次方程们所理睬，并被认为是没有意义的，不能接受的“虚数”。复指数函数与三角函数之间的关系。，揭示了第5页/共46页Gauss (德国1777-1855)与Hamilton (爱尔兰1805-1865)定义复数 为一对有序数后，才消除人们对复数真实性的长久疑虑，“复变函数”这一数学分支到此才顺利地得到建立和发展。3. 然而一直到C.Wessel (挪威.1745-1818)和R.Argand(

3、法国.1768-1822）将复数用平面向量或点来表示，以及aib第6页/共46页 两个复数相等是指它们的实部与虚部分别相等。 如果Imz=0，则z可以看成一个实数； 如果Imz不等于零，那么称z为一个虚数； 如果Imz不等于零，而Rez=0，则称z为一个纯虚数。zyzxIm,Re iyxz 12 i0)Im()Re(0 zzz第7页/共46页 复数在四则运算这个代数结构下，构成一个复数域 (对加、减、乘、除运算封闭），记为C，复数域可以看成实数域的扩张。相当于代数中的多项运算 z1=x1+iy1与z2=x2+iy2的和、差、积、商为： z1z2=(x1x2)+i(y1y2) z1z2=(x1+

4、iy1)(x2+iy2)=(x1x2-y1y2)+i(x2y1+x1y2)0(2222221122222212121 zyxyxyxiyxyyxxzzz第8页/共46页定义 若z=x+iy , 称z=x-iy 为z 的共轭复数.(conjugate)共轭复数的性质2121)()1(zzzz 2121)(zzzz 2121)(zzzz zz )2(2|1zzz 2222)Im()Re()3(yxzzzz )Im(2 )Re(2)4(zizzzzz （3）共轭复数第9页/共46页& （1）点的表示& （2）向量表示法& （3）三角表示法& （4）指数表示法第10页/

5、共46页（1） 点的表示),(yxiyxz一一对对有有序序实实数数 ),(),(),(yxPiyxzyxyxP平平面面上上的的点点一一对对有有序序实实数数任任意意点点系系，则则在在平平面面上上取取定定直直角角坐坐标标 此此时时，表表示示的的点点，可可用用平平面面上上坐坐标标为为复复数数.)(Pyxiyxz 平平面面复复平平面面或或平平面面虚虚轴轴轴轴实实轴轴轴轴zyx)(yxPiyxz，复复平平面面上上的的点点 点的表示：A 数z与点z同义.xyo),(yx iyxz xy第11页/共46页,)(yxOPyxPiyxz ，点点（2） 向量表示法oxy(z)P(x,y)rz xy 称向量的长度为

6、复数z=x+iy的模或绝对值；以正实轴 为始边, 以 为终边的角的弧度数 称为复数z=x+iy的辐角.(z0时)OP向向量量A 00 OPzzyxrOPzArg:,|22记记作作辐辐角角模模： .iyxzOP 表表示示可可用用向向量量z=0时，辐角不确定。 第12页/共46页辐角无穷多：Arg z=0+2k， kZ，xyzz/)Argtan(0 时，时， 0把其中满足 的0称为辐角Argz的主值，记作0=argz。 0, 00, 0arctan0, 02, 0arctanargyxyxxyyxRyxxyz 计算argz(z0) 的公式2arctan2 xy第13页/共46页A 当z落于一,四象

7、限时，不变。 A 当z落于第二象限时，加 。 A 当z落于第三象限时，减 。 第14页/共46页oxy(z) z1z2 z1+z2z2- z112121212)(:zzzzzzzz 三三角角不不等等式式由由此此得得由向量表示法知之间的距离之间的距离与与点点2112zzzz (3). 三角表示法)sin(cos irz 得得由由 sincosryrx(4). 指数表示法得得公式公式再由再由 sincos:ieEuleri irez 第15页/共46页注意. 复数的各种表示法可以相互转化,以适应 不同问题的需要.5cos5sin. 5式式化化为为三三角角形形式式与与指指数数形形将将例例 iz .,

8、)3( ;3)2(;)1(. 422辐角辐角的模的模求求例例 eeeii.,; 3)3( ;)2( ;1)1(. 3辐辐角角主主值值辐辐角角及及的的模模求求例例 ii第16页/共46页& (1) 第17页/共46页定理1 两个复数乘积的模等于它们的模相乘， 两个复数乘积的辐角等于它们的辐角相加。证明 设 z1=r1(cos1+isin1)=r1ei1 z2=r2(cos2+isin2)=r2ei2 则 z1z2=r1r2(cos1+isin1)( cos2+isin2) = r1r2cos (1+2)+isin(1+2) =r1r2e i(1+2)（1）乘积与商的几何意义因此 |z1z

9、2|=r1r2，Arg(z1z2)=Argz1+Argz2第18页/共46页几何意义 将复数z1按逆时针方向旋转一个角度 Argz2，再将其伸缩到|z2|倍。A 定理1可推广到n 个复数的乘积。1 oxy(z)1z2 z1z22 z2第19页/共46页izzizz 2121, 1. 1则则设设例例, 2, 1, 021 mmArgz , 2, 1, 0222 nnArgz , 2, 1, 022)(21 kkzzArg knm22223 代入上式代入上式要使上式成立,必须且只需 k=m+n+1.第20页/共46页定理2 两个复数的商的模等于它们的模的商， 两个复数的商的辐角等于被除数与除 数的

10、辐角之差。证明)(121212 ierrzzz Argz=Argz2-Argz1 即：由复数除法的定义 z=z2 /z1，即 z1z = z2|z|z1|=|z2|及Argz1+Argz=Arg z2（ z10）212211, iierzerz 设设第21页/共46页设z=re i，由复数的乘法定理和数学归纳法可证明 zn=rn(cos n+isin n)=rn ein。2.复数的乘幂定义 n个相同的复数z 的乘积，称为z 的n次幂， 记作z n，即z n=zzz（共n个）。特别：当|z|=1时，即：zn=cosn+isin n，则有 (cos+isin)n=cosn+isinn 一棣模佛(D

11、e Moivre)公式。第22页/共46页问题 给定复数z=re i ，求所有的满足n=z 的 复数。nz 记记,zeni 由由设设 iinnree 有有)(2,Zkknrn 3.复数的方根（开方）乘方的逆运算 当z0时，有n个不同的值与 相对应，每一个这样的值都称为z 的n次方根，nznkinnerz 2 )2sin2(cosnkinkrn )1, 2 , 1 , 0( nk第23页/共46页A 当k=0，1，n-1时，可得n个不同的根， 而k取其它整数时，这些根又会重复出现。几何上， 的n个值是以原点为中心， 为半径的圆周上n个等分点，即它们是内接于该圆周的正n边形的n个顶点。nznr（见

12、见图图）如如)3 , 2 , 1 , 0()424sin424(cos2184 kkikik xyo0 1 2 3 822i 1第24页/共46页32:1i 例例求求6377224412(cossin),(0,1,2).33kkiik 77:12 cossin44ii 解解7523666124120122,2,2.iiieee即即第25页/共46页练习：求下列复数的模与辐角主值（1） （2） （3） （4） i 3i231iii25104ni231第26页/共46页解22(3)( 1)2,15arg( )arctan63zz （1 ）22321131313z 2arg( )arctan3z 1

13、3232,32(32 )(32 )1313iiiii （2）第27页/共46页1025104413 ,iiiiiii 22|( 1)310,z arg( )arctan 3z （3）|1 ,z arg( )2,3nzk (23nkk 满满足足的的 ）313cossin233nniinnei 313arg( )arctan 3)23iiez ( (模模为为1 1, ,(4)第28页/共46页& 1.平面点集& 2. 简单曲线（或Jordan曲线)& 3. 单连通域与多连通域第29页/共46页1. 平面点集邻域复平面上以 z 0为中心，任意 0为半径的圆 | z -z 0|

14、(或 0 | z z 0| 0, 对任意 z D, 均有|z|R，则D是有界区域；否则无界。闭区域 区域D与它的边界一起构成闭区域,.D记为记为(1) 圆环域:0z 2r1r(2) 上半平面:(3) 角形域:(4) 带形域:xyo;201rzzr ; 0Im z;arg z.Imbza 第32页/共46页.xyIm,Re轴轴的的直直线线轴轴和和表表示示分分别别平平行行于于 zz.0Im,0Re表表示示下下半半复复平平面面表表示示右右半半复复平平面面 zz.,00为为半半径径的的圆圆内内所所有有的的点点以以为为圆圆点点表表示示以以rzrzz 第33页/共46页2. 简单曲线（或Jordan曲线)

15、,)()(),()()(baCtytxbtatyytxx 、实实变变函函数数表表示示为为：平平面面上上一一条条连连续续曲曲线线可可令z(t)=x(t)+iy(t) atb ;则曲线方程可记为：z=z(t)， atb.0)( )( ,)( )( 22则则称称该该曲曲线线为为光光滑滑的的且且、若若 tytxbaCtytx有限条光滑曲线相连接构成一条分段光滑曲线。( )( )z az b称称和和为为这这条条曲曲线线的的起起点点和和终终点点。第34页/共46页重点 设连续曲线C：z=z(t)，atb，对于t1(a，b), t2 a, b,当t1t2时，若z(t1)=z(t2)，称z(t1)为曲线C的重

16、点。 定义 称没有重点的连续曲线C为简单曲线或 Jordan曲线;若简单曲线C 满足z(a)=z(b)时，则称此曲线C是简单闭曲线或Jordan闭曲线 。 z(a)=z(b)简单闭曲线z(t1)=z(t2)不是简单闭曲线第35页/共46页3. 单连通域与多连通域简单闭曲线的性质 任一条简单闭曲线 C：z=z(t)， ta，b，把复平面唯一地分成三个互不相交的部分：一个是有界区域，称为C的内部；一个是无界区域，称为C的外部；还有一个是它们的公共边界。z(a)=z(b)Cz(a)=z(b)内部外部边界定义 复平面上的一个区域 D ，如果D内的任何简单闭曲线的内部总在D内，就称 D为单连通域；非单连

17、通域称为多连通域。第36页/共46页例如 |z|0）是单连通的； 0r|z|R是多连通的。单连通域多连通域多连通域单连通域第37页/共46页ab0Im abaz直线：直线：)()( tabtaz是实数，所以是实数，所以即即abaz 解第38页/共46页1. 南极、北极的定义 , 0 的球面的球面点点取一个与复平面切于原取一个与复平面切于原 z , 与原点重合与原点重合球面上一点球面上一点 S , NS点点直线与球面相交于另一直线与球面相交于另一作垂直于复平面的作垂直于复平面的通过通过 . , 为南极为南极为北极为北极我们称我们称SNNSPyzZx第39页/共46页 球面上的点, 除去北极 N 外, 与复平面内的点之间存在着一一对应的关系. 我们可以用球面上的点来表示复数. 球面上的每一个点都有唯一的复数与之对应, 这样的球面称为复球面.2. 复球面的定义我们规定: 复数中有一个唯一的“无穷大”与复平面上的无穷远点相对应, 记作 . 因而球面上的北极 N 就是复数无穷大 的几何表示. 第40页/共46页3. 扩充复平面的定义包括无穷远点在内的复平面称为扩充复平面.不包括无穷远点在内的复平面称为有限复平面, 或简称复平面.复球面的优越处:能将扩充复平面的无穷远点明显地表示出来.对于复数 来说, 实部,虚部,辐角等概念均无意义, 它的模规定为正无穷大，即 |.z 第41页/共46