重庆大学土木工程重庆大学弹性力学01

1、任课教师任课教师刘刘 东东Email：土木工程学院土木工程学院学习要求1.本课程理论性强 需要一定的数学基础，需要通过做题掌握理论体系2.学习重点 弹性力学问题的基本理论、求解方法和求解过程2.善于提出问题 “有许多好学生做了很多习题，却没有给自己提出好问题的习惯，没有把自己的问题数学化成理论，或计划某些实验来寻求答案。” 冯元桢 做到上述三点就是培养自己的科学精神和创新思维习惯！学习要求学习要求4.课程意义本课程既是一门理论体系完善的力学课程，又是许多后继专业课的基础性课程。良好掌握本门课程的知识，对学好专业课是非常重要的。 良好的力学素养也是高级工程技术人员必备的。5.关于作业每周交一次作

2、业6、课程考核 本课程为考试科目。在课程结束后的两周内考试7、纪律 每次课程都要点名。由班长提交未上课人员名单。 力学学科力学学科力学是研究物质机械运动的科学力学是研究物质机械运动的科学物质在时间、空间中的集团变化:移动、转动、流动、变形、振动、波动、扩散力学的产生力学的产生 古希腊的阿基米德阿基米德 是静力学奠基人，被称为“力学之父力学之父”。 扛杆原理和浮力定扛杆原理和浮力定律律英国的牛顿：十七世纪发表牛顿：十七世纪发表自然哲学的数学原理,提出物体运动三定律（三定律（惯性定律 ，加速度定律 ,作用力与反作用力定律），标志着力学成为一门科学。力学的分类力学的分类一般力学、固体力学、结构力学、

3、物理力学、流体力学、空气动力学、流变学、爆炸力学、计算力学、连续介质力学、应用力学、岩土力学、电磁流体力学、生物力学第一章第一章 绪绪 论论 第二章第二章 平面问题的基本理论平面问题的基本理论第三章第三章 平面问题的直角坐标解答平面问题的直角坐标解答第四章第四章 平面问题的极坐标解答平面问题的极坐标解答弹性力学的主要章节内容弹性力学的主要章节内容2学时学时12学时学时8学时学时8学时学时共计共计3232学时学时教材与主要参考书教材与主要参考书教材：教材：弹性力学简明教程弹性力学简明教程（第三版）（第三版）徐芝纶徐芝纶 编编高等教育出版社高等教育出版社参考书：参考书：弹性理论弹性理论铁木辛柯铁木

4、辛柯 （Timoshenko）编编科学出版社科学出版社弹性力学弹性力学吴家龙吴家龙 编编同济大学出版社同济大学出版社弹性力学学习方法及解题指导弹性力学学习方法及解题指导王俊民王俊民 编编同济大学出版社同济大学出版社弹性与塑性力学弹性与塑性力学（例题与习题）（例题与习题）徐秉业徐秉业 编编机械工业出版社机械工业出版社弹性理论基础弹性理论基础陆明万等陆明万等 编编清华大学出版社清华大学出版社1-1 1-1 弹性力学的内容弹性力学的内容1-2 1-2 弹性力学中的几个基本概念弹性力学中的几个基本概念1-3 1-3 弹性力学中的基本假定弹性力学中的基本假定建筑工程建筑工程航空航天工程船舶机械工程 1-

5、1 1-1 弹性力学的内容弹性力学的内容近代弹性力学可认为始于柯西（近代弹性力学可认为始于柯西（Cauchy,A.LCauchy,A.L.).) 柯西于柯西于18281828年引进应力与应变的概念，建立年引进应力与应变的概念，建立了平衡微分方程、边界条件、应变与位移关了平衡微分方程、边界条件、应变与位移关系。奠定了弹性力学的理论基础。系。奠定了弹性力学的理论基础。弹性力学是一门古老的学科弹性力学是一门古老的学科 但现代科学技术的发展，特别是计算机的发但现代科学技术的发展，特别是计算机的发展给弹性力学带来了新的发展空间和更加广展给弹性力学带来了新的发展空间和更加广泛的工程应用。泛的工程应用。理论

6、力学理论力学 弹性体力学弹性体力学，通常简称为，通常简称为弹性力学弹性力学，又称为弹性理，又称为弹性理论，是固体力学的一个分支。论，是固体力学的一个分支。材料力学材料力学结构力学结构力学弹性力学弹性力学1. 研究内容研究内容材力材力:（内容）（内容）杆件由外力或温度改变等原因而发生的应力、杆件由外力或温度改变等原因而发生的应力、变形、材料的宏观力学性质、破坏准则等。变形、材料的宏观力学性质、破坏准则等。 结力结力:（内容）（内容）杆件系统（杆系结构）在外力或温度改变杆件系统（杆系结构）在外力或温度改变等原因而发生的应力、变形、位移等变化规律。等原因而发生的应力、变形、位移等变化规律。 （任务）

7、（任务）解决杆系的强度、刚度、稳定性问题。解决杆系的强度、刚度、稳定性问题。 （任务）（任务）解决杆件的强度、刚度、稳定性问题。解决杆件的强度、刚度、稳定性问题。 弹力弹力:（内容）（内容）弹性体由于受外力作用、边界约束或温度改变弹性体由于受外力作用、边界约束或温度改变等原因而发生的应力、变形、位移等分布规律。等原因而发生的应力、变形、位移等分布规律。 （任务）（任务）解决弹性体的强度、刚度、稳定性问题。解决弹性体的强度、刚度、稳定性问题。 2. 弹性力学与材力、结力课程的区别弹性力学与材力、结力课程的区别材力：材力：（1）研究对象）研究对象杆件（直杆、小曲率杆）杆件（直杆、小曲率杆）结力：结

8、力：杆件系统（或结构）杆件系统（或结构）弹力：弹力：一般弹性实体结构：一般弹性实体结构：三维弹性固体、板状结构、杆件等三维弹性固体、板状结构、杆件等（2）研究方法）研究方法材力：材力： 借助于直观和实验现象作一些假定，如借助于直观和实验现象作一些假定，如平面假设等，然后由静力学、几何关系、平面假设等，然后由静力学、几何关系、物理方程三方面进行分析。物理方程三方面进行分析。结力：结力：与材力类同。与材力类同。弹力：弹力：仅由静力平衡、几何方程、物理方程三仅由静力平衡、几何方程、物理方程三方面分析，方面分析，放弃了材力中如平截面等工放弃了材力中如平截面等工作假定作假定。如：梁的弯曲问题如：梁的弯曲

9、问题弹性力学结果弹性力学结果材料力学结果材料力学结果当当 l h 时，两者误差很小时，两者误差很小如：变截面杆受拉伸如：变截面杆受拉伸 弹性力学以微元体为研弹性力学以微元体为研究对象，建立方程求解，得究对象，建立方程求解，得到弹性体变形的一般规律。到弹性体变形的一般规律。所得结果更符合实际。所得结果更符合实际。（3）数学理论基础）数学理论基础材力、结力材力、结力 常微分方程（常微分方程（4阶，一个变量）。阶，一个变量）。弹力弹力 偏微分方程（高阶，二、三个变量）。偏微分方程（高阶，二、三个变量）。数值解法数值解法：能量法（变分法）、差分：能量法（变分法）、差分法、有限单元法等。法、有限单元法等

10、。3. 与其他力学课程的关系与其他力学课程的关系 弹性力学是塑性力学、断裂力学、岩石力学、弹性力学是塑性力学、断裂力学、岩石力学、振动理论、有限单元法等课程的基础。振动理论、有限单元法等课程的基础。弹性力学弹性力学数学弹性力学；（不引入附加假设）数学弹性力学；（不引入附加假设）应用弹性力学。应用弹性力学。 （引入附加假设）（引入附加假设）弹性力学是固体力学的一个分支，研究弹性体由于外力作用、边界约束或温度改变等原因而发生的应力、形变和位移。本课程较为完整的表现了力学问题的数学建模过程，建立了弹性力学的基本方程和边值条件，并对一些问题进行了求解。弹性力学基本方程的建立为进一步的数值方法奠定了基础

11、。弹性力学是学习塑性力学、断裂力学、有限元方法等课程的基础。小结：小结：1-2 1-2 弹性力学中的几个基本概念弹性力学中的几个基本概念基本概念：基本概念：外力、应力、形变、位移。外力、应力、形变、位移。1. 外力外力体力、面力体力、面力（材力：集中力、分布力）（材力：集中力、分布力）(1) 体力体力 弹性体内弹性体内单位体积单位体积上所受的外力上所受的外力0limVFfV 体力分布集度体力分布集度（矢量）（矢量）xyzff if jf k为体力矢量在坐标轴上的投影为体力矢量在坐标轴上的投影说明：说明：(1) F 是坐标的连续分布函数是坐标的连续分布函数；(2) F 的加载方式是任意的的加载方

12、式是任意的 (如：重力，磁场力、惯性力等如：重力，磁场力、惯性力等)VPxyzOijkxfyfzfFfxyzfff、 、量纲：量纲： 力力/长度长度3MLS-2L-3MS-2L-2(3) 的正负号由坐标方向确定。的正负号由坐标方向确定。xyzfff、 、(2) 面力面力 作用于物体表面作用于物体表面单位面积单位面积上的外力上的外力0limSFfS 面力分布集度（矢量）面力分布集度（矢量）xfyfzf 面力矢量在坐标轴上投影面力矢量在坐标轴上投影单位：单位： 1N/m2 =1Pa (帕)1MN/m2 = 106Pa = 1MPa (兆帕)说明：说明：(1) F 是坐标的连续分布函数是坐标的连续分

13、布函数；(2) F 的加载方式是任意的的加载方式是任意的;SFxyzOijkxfyfzffyxzff if jf k(3) 的正负号由坐标方向确定。的正负号由坐标方向确定。xfyfzf2. 应力应力(1) 一点应力的概念一点应力的概念AF内力内力(1) 物体内部分子或原子间的相互物体内部分子或原子间的相互作用力作用力;(2) 由于外力作用引起的相互作用力由于外力作用引起的相互作用力.(不考虑不考虑)P0limAFpA (1) P点的内力面分布集度点的内力面分布集度(2) 应力矢量应力矢量.-P点的应力点的应力的极限方向的极限方向F由外力引起的在由外力引起的在 P点的某一面上内力分布集度点的某一

14、面上内力分布集度应力分量应力分量n(法线法线)应力的法向分量应力的法向分量 正应力正应力应力的切向分量应力的切向分量 剪应力剪应力单位单位:与面力相同与面力相同MPa (兆帕)应力关于坐标连续分布的应力关于坐标连续分布的),(zyx),(zyx(2) 一点的应力状态一点的应力状态通过一点通过一点P 的各个面上应力状况的集合的各个面上应力状况的集合 称为一点的应力状态称为一点的应力状态x面的应力：面的应力：xzxyx,y面的应力：面的应力：yzyxy,z面的应力：面的应力：zyzxz,用矩阵表示：用矩阵表示：zzyzxyzyyxxzxyxij应力符号的意义：应力符号的意义：第第1个下标个下标 i

15、 表示表示所在面的法线方向；所在面的法线方向；第第2个下标个下标 j 表示表示的方向的方向.xyzOxyxxzyxyyzzzyzxyxyyzzzyzx如果某一截面上的外法线是沿着坐标轴的正方向，这个截面就称为如果某一截面上的外法线是沿着坐标轴的正方向，这个截面就称为 一个一个正面正面如果某一截面上的外法线是沿着坐标轴的负方向，这个截面就称为如果某一截面上的外法线是沿着坐标轴的负方向，这个截面就称为 一个一个负面负面i 是作用在垂直于是作用在垂直于i轴的面上轴的面上同时也是同时也是 沿着沿着i 轴的方向作用面轴的方向作用面 的的。, ,ix y z与材力中剪应力与材力中剪应力正负号正负号规定的区

16、别：规定的区别：xyxyxyxyxyyxxy规定使得单元体顺时的剪应力规定使得单元体顺时的剪应力为为正，反之为负。正，反之为负。yxxy在用在用应力莫尔圆应力莫尔圆时必须此规定求解问题时必须此规定求解问题xyzOxyxxzyxyyzzzyzxyxyyzzzyzx正应力正应力 拉为正，压为负。拉为正，压为负。剪应力剪应力 坐标坐标正面正面上，与坐标上，与坐标 正向一致时为正；正向一致时为正；坐标坐标负面负面上，与坐标上，与坐标正向相反时为正。正向相反时为正。应力应力正负号正负号的规定：的规定：剪应力互等定理剪应力互等定理 六个切应力之间具有一定的互等六个切应力之间具有一定的互等关系。例如，以连接

17、六面体前后关系。例如，以连接六面体前后两面中心的直线两面中心的直线ab为矩轴，列为矩轴，列出力矩平衡方程。出力矩平衡方程。xyzOxyxxzyxyyzzzyzxyxyyzzzyzxabyzzyzxxzxyyx切应力互等性：作用在两个相互垂直的面上并且垂直于该两切应力互等性：作用在两个相互垂直的面上并且垂直于该两面交线的切应力是互等的（大小相等，正负号也相同）。面交线的切应力是互等的（大小相等，正负号也相同）。 可以证明，在物体的任意一点，已知六个应力分量，就可以证明，在物体的任意一点，已知六个应力分量，就可以求得经过该点的任意截面上的正应力和切应力。因此，可以求得经过该点的任意截面上的正应力和

18、切应力。因此，上述六个应力分量可以完全确定该点的应力状态。上述六个应力分量可以完全确定该点的应力状态。02/22/2zxyyxzzyyz3. 形变形变形变形变 物体的形状改变物体的形状改变（1）线段长度的改变）线段长度的改变（2）两正交线段间夹角）两正交线段间夹角（直角）（直角）的改变的改变用线（正）应变用线（正）应变度量度量用剪应变用剪应变度量度量三个方向的线应变：三个方向的线应变：三个平面内的剪应变：三个平面内的剪应变：zyx,zxyzxy,(1) 一点形变的度量一点形变的度量应变的正负：应变的正负：线应变：线应变： 伸长伸长时为时为正正，缩短缩短时为时为负负；剪应变：剪应变： 以直角以直

19、角变小时为正变小时为正，变大时为负变大时为负；yz例如：例如：BxyzOPBPAA(2) 一点应变状态一点应变状态 代表一点代表一点 P 的的邻域内邻域内线段与线段间夹角的改变线段与线段间夹角的改变xyzOPBCAzxyzzyzxyzyyxxzxyx其中其中xzzxyxxyzyyz应变量纲为应变量纲为1 ；4. 位移位移 注：注：一点的位移一点的位移 矢量矢量S应变分量均为位置坐标的函数，即应变分量均为位置坐标的函数，即;),(zyxxx),(zyxxyxyxyzOSwuvPP位移分量：位移分量：u x方向的位移方向的位移 分量；分量；v y方向的位移方向的位移 分量；分量；w z方向的位移方

20、向的位移 分量。分量。量纲：量纲：m 或 mm弹性力学问题：弹性力学问题：已知已知外力、物体的形状和大小（边界）、材料特性（外力、物体的形状和大小（边界）、材料特性（E、）、约束条件）、约束条件等，求解等，求解应力、应变、位移应力、应变、位移分量分量。需建立三个方面的关系：需建立三个方面的关系：（1）静力学关系：）静力学关系：应力应力与与体力、面力体力、面力间的关系（平衡微分方程）；间的关系（平衡微分方程）；（2）几何学关系：）几何学关系：形变形变与与位移位移间的关系；（几何方程）间的关系；（几何方程）（3）物理学关系：）物理学关系：形变形变与与应力应力间的关系。（物理方程）间的关系。（物理方

21、程）此外，在弹性体的边界上，还要建立此外，在弹性体的边界上，还要建立边界条件边界条件。 在给定约束的边界上，根据边界上的约束条件，建在给定约束的边界上，根据边界上的约束条件，建立立位移边界条件位移边界条件 在给定面力的边界上，根据边界上的微分体的平衡在给定面力的边界上，根据边界上的微分体的平衡条件，建立条件，建立应力边界条件。应力边界条件。 求解弹性力学问题，即在边界条件下根据平衡微分求解弹性力学问题，即在边界条件下根据平衡微分方程、几何方程、物理方程求解应力分量、形变分量、方程、几何方程、物理方程求解应力分量、形变分量、位移分量。位移分量。工程问题的复杂性是诸多方面因素组成的。如果不工程问题

22、的复杂性是诸多方面因素组成的。如果不 分主次考虑所有因素，则问题的复杂，数学推导的分主次考虑所有因素，则问题的复杂，数学推导的 困难，将使得问题无法求解。困难，将使得问题无法求解。根据问题性质，忽略部分暂时不必考虑的因素，提根据问题性质，忽略部分暂时不必考虑的因素，提出一些基本假设。使问题的研究限定在一个可行的范出一些基本假设。使问题的研究限定在一个可行的范围。围。基本假设是学科的研究基础。基本假设是学科的研究基础。超出基本假设的研究领域是固体力学其它学科的研超出基本假设的研究领域是固体力学其它学科的研究范围。究范围。1.3 1.3 弹性力学基本假设弹性力学基本假设1. 连续性假定连续性假定整

23、个物体的体积都被组成物体的介质充满，不留下任何空隙。整个物体的体积都被组成物体的介质充满，不留下任何空隙。 该假定在研究物体的该假定在研究物体的宏观力学特性宏观力学特性时，与工程实际吻时，与工程实际吻合较好；研究物体的合较好；研究物体的微观力学性质微观力学性质时不适用。时不适用。作用：作用：、u 等量可能表示成坐标的连续函数。等量可能表示成坐标的连续函数。),(zyx),(zyxuu ( , , )x y z保证保证0limsFps 中极限的存在。中极限的存在。2. 线弹性假定线弹性假定 假定物体完全服从虎克（假定物体完全服从虎克（Hooke）定律，）定律，应力与应变间应力与应变间成线性比例关

24、系成线性比例关系（正负号变化也相同）。（正负号变化也相同）。脆性材料脆性材料 一直到破坏前，都可近似为线弹性的；一直到破坏前，都可近似为线弹性的；3. 均匀性假定均匀性假定作用：作用：可使求解方程线性化可使求解方程线性化 假定整个物体是由同一种材料组成假定整个物体是由同一种材料组成 的，各部分材料性的，各部分材料性质相同。质相同。作用：作用：弹性常数（弹性常数（E、）不随位置坐标而变化；不随位置坐标而变化；取微元体分析的结果可应用于整个物体。取微元体分析的结果可应用于整个物体。塑性材料塑性材料 ，可视为线弹性的。，可视为线弹性的。p比例常数比例常数 弹性常数（弹性常数（E、）（不随）（不随 而改变）而改变）4. 各向同性假定各向同性假定 假定物体内一点的假定物体内一点的弹性性质弹性性质在所有在所有各个方向都相同各个方向都相同。作用：作用： 弹性常数（弹性常数（E、）不随坐标方向而变化；不随坐标方向而变化；金属金属 上述