八年级数学竞赛培训：勾股定理

1、八年级数学竞赛培训：勾股定理一、填空题（共9 小题，每小题4 分，满分36 分）1（ 4 分）（2001?重庆）如图，以等腰直角三角形ABC 的斜边 AB 为边向内作等边 ABD ，连接 DC ，以 DC 为边作等边 DCE B、 E 在 C、 D 的同侧，若AB=，则 BE=_2（ 4 分）如图所示， 在 ABC 中， AB=5cm ，AC=13cm ，BC 边上的中线AD=6cm ，那么边 BC 的长为_cm3（ 4 分）如图，设P 是等边 ABC 内的一点， PA=3， PB=4 ，PC=5，则 APB 的度数是_4（ 4 分）如图，一个直角三角形的三边长均为正整数，已知它的一条直角边的

2、长恰是1997，那么另一条直角边的长为_5（ 4 分）若 ABC 的三边 a、 b、 c 满足条件： a2+b 2+c2+338=10a+24b+26c ，则这个三角形最长边上的高为_6（4 分）（ 2001?山东）如图， AD 是 ABC 的中线， ADC=45 °，把 ADC 沿 AD 对折，点 C 落在 C处，则 BC 与 BC 之间的数量关系是 BC = _ BC 7（4 分）（ 2008?扬州）如图， ABC 是等腰直角三角形， BC 是斜边， P 为 ABC 内一点，将 ABP 绕点 A 逆时针旋转后与 ACP 重合，如果 AP=3 ，那么线段 PP的长等于 _ 8（ 4

3、 分）如图，已知AB=13 ，BC=14 ， AC=15 ， AD BC 于 D ，则 AD=_9（ 4 分）如图，四边形ABCD 中， AB=3cm ， BC=4cm ，CD=12cm ， DA=13cm ，且 ABC=90 °，则四边形ABCD的面积是_cm2二、选择题（共9 小题，每小题5 分，满分45 分）10（ 5 分）如图，一个长为10 米的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8 米，如果梯子的顶端下滑1 米，那么梯子的底端的滑动距离（）10 题12 题13 题15 题A等于 1米B大于 1 米C小于 1 米D 不 能确定11（ 5 分）若三角形中的一条边是另一条

4、边的2 倍，且有一个角为 30°，则这个三角形是（）A 直 角三角形B锐角三角形C 钝角三角形D 以 上都不对12（ 5 分）（ 1999?广西）如上图，在四边形ABCD 中， A=60 °， B= D=90 °，BC=2 ，CD=3 ，则 AB= （）A 4B 5C 2D 13（ 5 分）如图，在单位正方形组成的网格图中标有AB 、 CD、 EF、GH 四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（）A CD、 EF、 GHBAB、EF、GHC A B 、CD、 GHDA B、CD、EF14（ 5 分）在锐角三角形 ABC 中， a=1， b=3 ，那么第三边

5、 c 的变化范围是（）A 2 c 4B 2 c3C 2cD 2 c15（ 5 分）如图，用3 个边长为 1 的正方形组成一个对称图形，则能将其完全覆盖的圆的最小半径为（）A BCD 16（ 5 分） ABC 三边 BC 、CA 、 AB 的长分别为 a、b、 c，这三边的高依次为habcab，则、h、 h ，若 ah ， bh这个三角形为（）A 等 边三角形B 等腰非直角三角形C 直角非等腰三角形D 等 腰直角三角形17（ 5 分）如左下图， Rt ABC 中， ACB=90 °，CD AB 于 D，AF 平分 CAB 交 CD 于 E，交 CB 于 F，且 EG AB交 CB 于

6、G，则 CF 与 GB 的大小关系是（）2A CF GBB GB=CFC CF GBD 无 法确定18如由上图（ 5 分）（ 2003?山东） 2002 年 8 月在北京召开的国际数学大会会标取材于我国古代数学家赵爽的勾股圆方图，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图），如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是 1，直角三角形较短的直角边为a，较长的直角边为 b，那么（ a+b） 2 的值为（）A 13B19C 25D 169三、解答题（共12 小题，满分 0 分）19如图，已知P 是 ABC 边 BC 上一点，且 PC=2PB，若 ABC=45 °，

7、APC=60 °，求： ACB 的大小20如图，在Rt ABC 中， ACB=90 °， CD AB 于 D，设 AC=b ， BC=a ，AB=c ， CD=h求证：21一个直角三角形的边长都是整数，它的面积和周长的数值相等，这样的直角三角形是否存在？若存在，确定它三边的长，若不存在，说明理由22（ 2010?武义县模拟）如图，正方形网格中的每个小正方形边长都为1，每个小正方形的顶点叫格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形和平行四边形（ 1）使三角形三边长为3，；（ 2）使平行四边形有一锐角为45°，且面积为423（ 1998?上海）已知：如图，在 ABC 中

8、， AB=AC ，A=120 °，AB 的垂直平分线 MN 分别交 BC， AB 于点 M ， N，求证： CM=2BM 24如图， 在 Rt ABC 中， A=90 °，D 为斜边 BC 中点， DE DF，求证： EF2=BE 2+CF225如图， 已知 ABC 是等腰直角三角形， AB=AC ，AD 是斜边的中线， E、F 分别是 AB 、 AC 边上的点，且 DE DF ，若 BE=8 ， CF=6 （ 1）求证： AED CFD；（ 2）求 DEF 的面积326在 ABC 中， AB=AC AP求证： BP?CP=AB 2 AP 2；（ 1）如图，若点 P 是 B

9、C 边上的中点，连接（ 2）如图，若点 P 是 BC 边上任意一点，上面（ 1）的结论还成立吗？若成立，请证明、若不成立，请说明理由；（ 3）如图，若点 P 是 BC 边延长线上一点，线段 AB ， AP，BP， CP 之间有什么样的数量关系？画出图形，写出你的结论（不必证明）27如图，在 ABC 中， BAC=90 °， AB=AC ， E、 F 分别是 BC 上两点，若 EAF=45 °，试推断 BE、CF、 EF 之间的数量关系，并说明理由28如图， ACB=90 °， AD 是 CAB 的平分线， BC=4， CD=，求 AC 的长29（ 2003?烟台）

10、（ 1）四年一度的国际数学家大会于2002 年 8 月 20 日在北京召开，大会会标如图（1）它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形若大正方形的面积为13，每个直角三角形两直角边的和是 5，求中间小正方形的面积（ 2）现有一张长为6.5cm，宽为 2cm 的纸片，如图（2），请你将它分割成6 块，再拼合成一个正方形（要求：先在图（2）中画出分割线，再画出拼成的正方形并标明相应数据）22230如图，在四边形ABCD 中， ABC=30 °， ADC=60 °， AD=DC 证明： BD =AB +BC 4新课标八年级数学竞赛培训第13 讲：勾股定理参考答

11、案与试题解析一、填空题（共9 小题，每小题4 分，满分36 分）1（ 4 分）（2001?重庆）如图，以等腰直角三角形ABC 的斜边 AB 为边向内作等边 ABD ，连接 DC ，以 DC 为边作等边 DCE B、 E 在 C、 D 的同侧，若AB=，则 BE=1考点 ： 等腰直角三角形；全等三角形的判定；等边三角形的性质；勾股定理分析：，由勾股定理可知 AC=AB=1 ，再证 ADC BDE ，从而推出由等腰直角三角形 ABC 中， AB=BE=AC=1 解答： 解： 等腰直角三角形 ABC 中， AB=， AC=AB=1 ， 等边 ABD 和等边 DCE ， AD=BD ， CD=ED ，

12、 ADB= CDE， ADC= BDE ，在 ADC 和 BDE 中， ADC BDE （ SAS）， BE=AC=1 点评：解决本题的关键是利用三角形全等得到所求线段的转化2（ 4 分）如图所示， 在 ABC 中，AB=5cm ，AC=13cm ，BC 边上的中线AD=6cm ，那么边 BC 的长为cm考点 ： 勾股定理的逆定理；全等三角形的判定与性质；勾股定理分析：延长 AD 到 E，使 DE=AD=6 ，连接 CE，可证 ABD ECD，利用勾股定理的逆定理可求 AEC=90 °，再利用勾股定理，即可求出CD 的长，进而求出答案解答：解：延长AD 到 E，使 DE=AD=6 ，

13、连接 CE， BD=CD ， ADB= CDE ， ABD ECD， CE=AB=5 ， AC 2=AE 2+CE2 即 132=12 2+52，5 AEC 为直角三角形，即 E=90°， DEC 为直角三角形， CD=， BC=2CD=2（ cm），故填点评：本题需仔细分析题意，结合图形，利用勾股定理和勾股定理的逆定理即可解决问题3（ 4 分）如图，设P 是等边 ABC 内的一点， PA=3， PB=4 ，PC=5，则 APB 的度数是150° 考点 ： 旋转的性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理的逆定理专题 ： 计算题分析：将 BPC 绕点 B 逆时针旋转60

14、6;得 BEA ，根据旋转的性质得BE=BP=4 ，AE=PC=5 ， PBE=60 °，则 BPE为等边三角形，得到 PE=PB=4 ， BPE=60 °，在 AEP 中， AE=5 ， AP=3 ， PE=4，根据勾股定理的逆定理可得到 APE 为直角三角形，且 APE=90 °，即可得到 APB 的度数解答：解： ABC 为等边三角形， BA=BC ，可将 BPC 绕点 B 逆时针旋转60°得 BEA ，连 EP，如图， BE=BP=4 ， AE=PC=5 ， PBE=60 °， BPE 为等边三角形， PE=PB=4 ， BPE=60

15、°，在 AEP 中， AE=5 ， AP=3 ，PE=4 ， AE 2=PE2 +PA2， APE 为直角三角形，且 APE=90 °， APB=90 °+60°=150°故答案为150°点评：本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等也考查了等边三角形的判定与性质以及勾股定理的逆定理4（ 4 分）如图，一个直角三角形的三边长均为正整数，已知它的一条直角边的长恰是1997，那么另一条直角边的长为19940046考点 ： 勾股定理专题 ： 计算题；因式分解分析： 设

16、斜边为 y，另一直角边为x，则存在 y2 x2=19972，题目中要求x、 y 为整数，根据因式分解可以求出x、y 的数值即可解题解答：解：设斜边为y，另一直角边为x，则存在 y2 x2=1997 2，2即（ y+x ）（y x） =1997 ，得，解得 x=1994004 ，故答案为1994004点评：本题考查了勾股定理在直角三角形中的灵活运用，考查了因式分解的解题方法，本题中运用因式分解法计算 x、 y 是解题的关键5（ 4 分）若 ABC 的三边 a、b、c 满足条件： a2+b2+c 2+338=10a+24b+26c ，则这个三角形最长边上的高为考点 ： 勾股定理的逆定理；非负数的性

17、质：偶次方；完全平方公式专题 ： 计算题分析：首先把已知条件写出三个完全平方公式的和的形式，再根据非负数的性质求得a、b、c，然后根据勾股定理的逆定理判断这个三角形是直角三角形，再根据直角三角形的面积公式求最长边上的高解答：解： a2+b2+c 2+338=10a+24b+26c ， （ a 5）2+（ b 12） 2+（ c 13） 2=0， a 5=0 ，b 12=0，c 13=0， a=5， b=12， c=13， 52+122=132， ABC 是直角三角形， 这个三角形最长边上的高为：5×12÷13=故答案为：点评：本题考查勾股定理的逆定理的应用，注意直角三角形中

18、，斜边上的高=两直角边的乘积÷斜边的长6（4 分）（ 2001?山东）如图， AD 是 ABC 的中线， ADC=45 °，把 ADC 沿 AD 对折，点 C 落在 C处，则 BC与 BC 之间的数量关系是BC =BC考点 ： 翻折变换（折叠问题） ；等腰直角三角形专题 ： 压轴题分析：设 BD=x ，则 BC=2x ；根据折叠的性质可得，找出对应的边角即可求出7解答：°，可得 CDB=90 °；故 BC = BC 解： BD=C D=x ， BC D= ADC=45点评：本题通过折叠变换考查学生的逻辑思维能力，解决此类问题，应结合题意，最好实际操作图形

19、的折叠，易于找到图形间的关系7（4 分）（ 2008?扬州）如图， ABC 是等腰直角三角形，BC 是斜边， P 为 ABC 内一点，将 ABP 绕点 A 逆时针旋转后与 ACP 重合，如果AP=3 ，那么线段PP的长等于考点 ： 旋转的性质；等腰直角三角形专题 ： 压轴题分析：根据旋转的性质，知：旋转角度是90°，根据旋转的性质得出AP=AP =3，即 PAP是等腰直角三角形，腰长 AP=3 ，则可用勾股定理求出斜边PP的长解答： 解： ABP 绕点 A 逆时针旋转后与 ACP 重合， ABP ACP ，即线段 AB 旋转后到AC ， 旋转了 90°， PAP= BAC=

20、90 °， AP=AP =3， PP=3点评：本题考查旋转的性质和直角三角形的性质旋转变化前后，对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等8（ 4 分）如图，已知AB=13 ，BC=14 ， AC=15 ， AD BC 于 D ，则 AD=12考点 ： 勾股定理专题 ： 计算题分析：由题意知， BD+DC=14 ，设 BD=x ，则 CD=14 x，在直角 ABD 中，AB 是斜边，根据勾股定理AB 2 =AD 2+BD 2，在直角 ACD 中，根据勾股定理AC 2=AD 2+CD 2，列出方程组即可计算x 的值，即可求得AD 的长度解答： 解： BC

21、=14 ，且 BC=BD+DC ，设 BD=x ，则 DC=14 x，则在直角 ABD 中， AB 2=AD 2+BD 2，即 132=AD 2+x2，在直角 ACD 中， AC 2=AD 2+CD 2，即 152=AD 2+（ 14 x）2，整理计算得 x=5 ， AD=12 ，故答案为12点评：本题考查了勾股定理在直角三角形中的灵活运用，考查了学生的方程思想，本题中设BD=x ，并且在直角 ABD 和直角 ACD 中根据勾股定理计算BD 是解题的关键89（ 4 分）如图，四边形 ABCD 中， AB=3cm ， BC=4cm ，CD=12cm ， DA=13cm ，且 ABC=90

22、76;，则四边形 ABCD 的面积是 36 cm2考点 ： 勾股定理；三角形的面积专题 ： 计算题分析：连接 AC ，求证 ACD 为直角三角形， 则 ABC 的面积 =?AC ?AD ， ABC 面积 =AB ?BC ，四边形 ABCD的面积等于 ABC 和 ACD 面积之和解答：解：连接AC ， ABC=90 °，AC=5cm ， AC 2+AD 2=CD 2， ACD 为直角三角形， ACD 面积 =×AC ×AD=30cm 2， ABC 面积 = ×AC ×BC=6cm 2，2故四边形ABCD 的面积为36cm ，点评：本题考查了直角三

23、角形中勾股定理的运用，考查了直角三角形面积的计算，本题中判定 ACD 是直角三角形是解题的关键二、选择题（共9 小题，每小题5 分，满分45 分）10（ 5 分）如图，一个长为10 米的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8 米，如果梯子的顶端下滑1 米，那么梯子的底端的滑动距离（）A等于 1 米B大于 1 米C小于 1 米D不能确定9考点 ： 勾股定理的应用专题 ： 应用题分析：根据题意画出图形，利用勾股定理求出底端到墙的距离BE 与 BF 的长，滑动的距离即BF BE 的值解答：解：如图，AC=EF=10 米， AB=8 米， AE=1 米，求 CF； B=90 °，由勾

24、股定理得，BC=6 米，又 AE=1 米， BE=7 米， EF=10 米，由勾股定理得，BF=米，即7，61故选 B点评：此题主要考查学生对勾股定理在实际生活中的运用能力，做此题时要注意弄清题意，明白是要求梯足又向后移了多少即 CF 的长，而不是 BF 的长11（5 分）若三角形中的一条边是另一条边的2 倍，且有一个角为30°，则这个三角形是（）A 直 角三角形B 锐角三角形C 钝角三角形D 以 上都不对考点 ： 三角形分析：如图，分AB 是 30°角所对的边AC 的 2 倍和 AB 是 30°角相邻的边AC 的 2 倍两种情况求解解答：解：如图：（ 1）当 A

25、B 是 30°角所对的边 AC 的 2 倍时， ABC 是直角三角形；（ 2）当 AB 是 30°角相邻的边 AC 的 2 倍时， ABC 是钝角三角形所以三角形的形状不能确定故选 D点评：解答本题关键在于已知30°的角与边的关系不明确，需要讨论求解，所以三角形的形状不能确定12（ 5 分）（ 1999?广西）如图，在四边形ABCD 中， A=60 °， B= D=90 °， BC=2 ， CD=3 ，则 AB= （）A4B5C2D10考点 ： 解直角三角形专题 ： 计算题；压轴题分析： 分析题意构造一个直角三角形，然后利用勾股定理解答即可解答

26、： 解：如图，延长AD ， BC 交于点 E，则 E=30 °在 CED 中， CE=2CD=6 （ 30°锐角所对直角边等于斜边一半）， BE=BC+CE=8 ，在 AEB 中， AE=2AB （30°锐角所对直角边等于斜边一半） AB 2+BE 2=AE 2，即 AB 2+64= （ 2AB ）2， 3AB 2=64，解得： AB=故选 D点评：本题通过作辅助线，构造直角三角形，利用解直角三角形的知识进行计算13（5 分）如图，在单位正方形组成的网格图中标有AB 、CD 、EF、GH 四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（）A CD、EF、 GHBA

27、B、EF、GHCAB、CD、GHDA B、CD、EF考点 ： 勾股定理；勾股定理的逆定理专题 ： 网格型分析：设出正方形的边长，利用勾股定理，解出AB 、 CD 、EF、GH 各自的长度，再由勾股定理的逆定理分别验算，看哪三条边能够成直角三角形解答：解：设小正方形的边长为1，则 AB 2=22+22=8， CD2=22+42 =20，EF 2=12+22=5 ， GH 2=22+32=13 222因为 AB +EF =GH ，所以能构成一个直角三角形三边的线段是AB 、 EF、 GH故选 B点评：考查了勾股定理逆定理的应用14（ 5 分）在锐角三角形ABC 中， a=1， b=3 ，那么第三边

28、c 的变化范围是（）A 2 c 4B 2 c3C 2cD 2 c考点 ： 三角形三边关系分析：题中已知 ABC 是锐角三角形，没有指明哪个角是最大角，从而无法确定边之间的关系，从而可以分两种情况进行分析，从而确定第三边c 的变化范围解答：解： 当 C 是最大角时，有 C 90°11 c c 当 B 是最大角时，有B 90° b2 a2+c2 9 1+c2 c 2 第三边 c 的变化范围：2 c故选 D点评：此题主要考查学生对三角形三边关系的理解及运用，关键是确定最大角15（ 5 分）如图，用3 个边长为1 的正方形组成一个对称图形，则能将其完全覆盖的圆的最小半径为（）ABC

29、D考点 ： 勾股定理的应用；轴对称的性质专题 ： 计算题；压轴题分析：所作最小圆圆心应在对称轴上，且最小圆应尽可能通过圆形的某些顶点，找到对称轴中一点，使其到各顶点的最远距离相等即可求得覆盖本图形最小的圆的圆心，计算半径可解此题解答：解：如图，得，解得： a=， r=故最小半径为r=故选D点评：本题考查了正方形各边相等，且各内角均为直角的性质，考查了勾股定理的运用，本题中构建a、r 是解题的关键16（ 5 分） ABC 三边 BC、 CA、 AB 的长分别为a、 b、c，这三边的高依次为ha、 hb、 hc，若 aha， bhb，则这个三角形为（）A 等 边三角形B 等腰非直角三角形C 直角非

30、等腰三角形D 等 腰直角三角形考点 ： 等腰直角三角形；勾股定理专题 ： 计算题分析：分别分析当a=ha 时， A 最大可能度数， B 的最大可能度数，再利用勾股定理即可求出答案解答：解：当 a=ha 时， A 最大可能度数为45°，12所以当 ahaha 时， A 45°，同理 B45°，故 C=180° A B90°，等号当且仅当 ABC 为等腰直角三角形时成立，故选 D点评：此题主要考查学生对等腰三角形的性质和勾股定理的理解和掌握，此题要分析各个角的最大度数，所以给此题增加了难度，是一道难题17（5 分）如图， RtABC 中， ACB=

31、90 °，CD AB 于 D ，AF 平分 CAB 交 CD 于 E，交 CB 于 F，且 EG AB交 CB 于 G，则 CF 与 GB 的大小关系是（）A CF GBB GB=CFC CF GBD 无 法确定考点 ： 全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；菱形的判定与性质专题 ： 几何综合题分析：用观察和作图的方法可以猜测CF=GB 下面只要证明CF=GB 即可由条件 ACB=90 °， AF 平分 CAB ，想到 FH AB ，垂足为 H，连接 EH ，易证菱形CEHF，平行四边形EHBG ，故有 CF=EH=GB ，从而得证 要证明菱形CEHF ，只需证明两对边平

32、行，临边相等，根据菱形的定义即可证明要证平行四边形EHBG ，两对边平行即可关于证明EH BC，只需证明 AHE= B，通过在Rt ACD 与 RtACD 中，证明 ACD= B 、 AHE= ACD 即可得解答： 解：过 F 做 FH AB 且交于点 H，连接 EH ，在 ACF 与AHF 中AF 平分 CAB 交 CD 于 E?，又 AF=AF ， ACF AHF ， AC=AH ，同理在 ACE 与 AHE 中， ACE AHE ，可知 CE=EH ， ACE= AHE ，在 Rt ACD 中， CAD+ ACD=90 °，在 Rt ABC 中， CAB+ B=90 °

33、;，又 CAD 与 CAB 为同一角， ACD= B， AHE= B， EH BC ， CD AB ， FH AB ， CDFH， 四边形 CEHF 为菱形，四边形 EGBH 为平行四边形， CF=EH ， EH=GB ， CF=GB 故选 B13点评：本题考查全等三角形的性质与判定、角平分线的性质与判定、菱形的性质与判定、直角三角形的性质难点在于恰当添加辅助线 FH 、 EH，根据题意证明菱形 CEHF ，平行四边形 EHBG 此类题学生丢分率较高，需注意18（5 分）（ 2003?山东） 2002 年 8 月在北京召开的国际数学大会会标取材于我国古代数学家赵爽的勾股圆方图 ，它是由四个全等

34、的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图），如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形较短的直角边为a，较长的直角边为b，那么（ a+b） 2 的值为（）A 13B19C 25D 169考点 ： 勾股定理分析： 根据勾股定理，知两条直角边的平方等于斜边的平方，此题中斜边的平方即为大正方形的面积13， 2ab 即四个直角三角形的面积和，从而不难求得（a+b）2解答： 解：（ a+b）2=a2+b2+2ab=大正方形的面积 +四个直角三角形的面积和 =13+ （13 1） =25故选 C点评： 注意完全平方公式的展开： （a+b） 2=a2+b2+2ab，还要注意图形的面

35、积和a， b 之间的关系三、解答题（共12 小题，满分 0 分）19如图，已知P 是 ABC 边 BC 上一点，且 PC=2PB，若 ABC=45 °， APC=60 °，求： ACB 的大小考点 ： 轴对称的性质；角平分线的性质；等边三角形的判定与性质专题 ： 计算题分析：根据轴对称，角平分线和等边三角形的判定与性质，作C 关于 AP 的对称点C，连接 AC 、 BC 、 PC，求得 BA 平分 CBC ， CA 平分 MC P，从而求得 ACB 的大小解答： 解：作 C 关于 AP 的对称点 C，连接 AC 、 BC、PC，则有 PC=PC=2PB， APC = APC

36、=60 °可证 BCP 为直角三角形（延长PB 到 D，使 BD=BP ，则 PD=PC ，又 CPB=60 °，则 CPD 是等边三角形，由三线合一性质有 CB BP， CBP=90°，14因为 ABC=45 °，所以 CBA=45 °= ABC ，所以 BA 平分 CBC所以 A 到 BC的距离 =A 到 BC 的距离又因为 APC = APC ，所以 PA 平分 CPC所以 A 到 PC距离 =A 到 PC（即 BC）的距离所以 A 到 BC的距离 =A 到 PC的距离所以 A 是角平分线上的点，即CA 平分 MC P所以 AC P= M

37、C P=75°= ACB 点评：本题考查了轴对称的性质，角平分线的性质和等边三角形的判定与性质，有一定难度，作出辅助线是本题的关键20如图，在Rt ABC 中， ACB=90 °， CD AB 于 D，设 AC=b ， BC=a ，AB=c ， CD=h求证：考点 ： 勾股定理；勾股定理的逆定理专题 ： 证明题分析：要证明，只需证明222求证即可，在直角 ABC 中根据 BD+CD =BC解答： 证明：在直角 ABC 中， ACB=90 °，CD AB ，则 ACB ADC CDB ，= ，即=， h2（+） =+=+= =1 ，点评：本题考查了直角三角形中勾股定

38、理的运用，解本题的关键是求证=，即=，使得15+=+21一个直角三角形的边长都是整数，它的面积和周长的数值相等，这样的直角三角形是否存在？若存在，确定它三边的长，若不存在，说明理由考点 ： 一元二次方程的整数根与有理根；勾股定理的逆定理专题 ： 应用题；分类讨论分析：假设存在符合条件的直角三角形，它的三边长为a、b、c，其中 c 为斜边，则，于是将存在性问题的讨论转化为求方程组的解解答：解：假设符合条件的直角三角形存在，它的三边长为a、 b、c，其中 c 为斜边，则， a、 b、 c 均为正整数， ab；不妨设a b，则有 a+b+=，两边平方，并整理得：a2b ab2+2ab=0，消去 ab

39、 得： a b+2=0 ，即（ a 4）（ b 4）=8，又 8=1 ×8=2×4， ，解得，则 c=13；，解得，则 c=10；综上所述， 符合条件的直角三角形存在，其边长分别是5、12、13；6、8、10共有 2 个这样的直角三角形点评：本题主要考查了一元二次方程的整数根及有理根、勾股定理的逆定理的应用在解题过程中，当勾股定理不能直接运用时，常需要通过等线段的代换、作辅助垂线等途径，为勾股定理的运用创造必要的条件，有时又需要由线段的数量关系去判断线段的位置关系，这就需要熟悉一些常用的勾股数组22（ 2010?武义县模拟）如图，正方形网格中的每个小正方形边长都为1，每个小

40、正方形的顶点叫格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形和平行四边形（ 1）使三角形三边长为3，；（ 2）使平行四边形有一锐角为45°，且面积为416考点 ： 作图 复杂作图专题 ： 网格型分析：（ 1）本题中实际上是长为2 宽为 2 的正方形的对角线长，实际上是长为2 宽为 1 的矩形的对角线的长，据此可找出所求的三角形；（ 2）可先找出一个直角边为 2 的等腰直角三角形，然后据此画出平行四边形解答： 解：（ 1）三角 ABC 为所求；（ 2）四边形 DEFG 为所求点评：关键是确定三角形的边长，然后根据边长画出所求的三角形23（ 1998?上海）已知：如图，在 ABC 中， AB=

41、AC ， A=120 °，AB 的垂直平分线 MN 分别交 BC，AB 于点 M ，N，求证： CM=2BM 考点 ： 线段垂直平分线的性质专题 ： 证明题；压轴题分析：先根据垂直平分线的性质，判定AM=BM ，再求出 B=30 °， CAM=90 °，根据直角三角形中30 度的角对的直角边是斜边的一半，得出BM=AM=CA 即 CM=2BM 解答：证法 1：如答图所示，连接AM ， BAC=120 °， AB=AC ， B= C=30°， MN 是 AB 的垂直平分线，17 BM=AM ， BAM= B=30 °， MAC=90 &

42、#176;， CM=2AM ， CM=2BM 证法二：如答图所示，过A作 ADMN 交 BC 于点 D MN 是 AB 的垂直平分线， N 是 AB 的中点 AD MN ， M 是 BD 的中点，即 BM=MD AC=AB ， BAC=120 °， B= C=30 °， BAD= BNM=90 °， AD=BD=BM=MD ，又 CAD= BAC BAD=120° 90°=30°， CAD= C， AD=DC ， BM=MD=DC ， CM=2BM 点评：此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识线段的垂直平分线上的点到线段的两个端

43、点的距离相等24如图，在Rt ABC 中， A=90 °，D 为斜边 BC 中点， DE DF，求证： EF2=BE 2+CF2考点 ： 勾股定理；全等三角形的判定与性质专题 ： 证明题分析：延长 ED 到 G，使 DG=DE ，连接 EF、 FG、 CG，由于 DF=DF ， EDF= FDG=90 °， DG=DE ，可得出 EDF GDF ，所以 EF=FG，同理证出 BE=CG ，所以要证明 EF2=BE 2+CF2，只需证明 FG2=FC2+CG 2 即可解答：证明：延长ED 到 G，使 DG=DE ，连接 EF、 FG、CG，如图所示：18 DF=DF ， EDF= FDG=90 °， DG=DE EDF GDF （ SAS）， EF=FG又 D 为斜边 BC 中点