全国卷数列_文科十年真题-普通用卷

1、全国卷数列 ·文科十年真题学校 :_ 姓名： _班级： _考号： _一、选择题（本大题共11 小题，共 55.0分）1.已知 an 是公差为1的等差数列， Sn 为 an 的前 n 项和，若 S8=4S4，则 a10=（）A.17B.19C. 10D. 12222.已知Sn是等差数列 a 的前 n 项和，若 a +a +a =3，则 S =（）n1355A.5B.7C.9D.113.已知等比数列 an 满足a1=1， a3a5=4（ a4-1），则 a2=（）411A.2B.1C. 2D. 84.设等比数列 an 的前 n 项和为 Sn若 S2=3， S4=15 ，则 S6=（）5.

2、A.31B.32C.63D.64等差数列 an 的公差为2，若 a ，a ，a 成等比数列， 则 a 的前 n 项和 S =（）248nnA. ?(?+ 1)B. ?(?-1)C.?(?+1)D.?(?-1)226.设首项为1的等比数列 ann，则 ()，公比为的前 n 项和为 SA.?=2?-1B.?= 3 ?- 2C.?= 4- 3 ?D.?= 3- 2 ?1，则 an 的前 60 项和为（7.数列 an 满足 ?+1 + （ - 1） ? =2?-）A.3 690B.3 660C.1 845D.1 8308.已知数列 an的前n项和为Sn，a11Sn2 an+1Sn） ，则（A.?-1B

3、.C.D.2 ? ?9.设Sn为等差数列 a 的前 n 项和，若 a 1，公差 d 2， SS 24，则 k()n1k 2kA. 8B. 7C. 6D. 510.已知各项均为正数的等比数列 a 中，a a a5 a a a10，则a a a等于()n123789456A. 5B. 7C. 6D. 411. 如果等差数列 an 中， a3 a4 a5 12，那么 a1 a2 a7 等于 ()A. 14B. 21C. 28D. 35二、填空题（本大题共5 小题，共25.0 分）12.在数列 an 中， a =2 ， a=2a，S 为 a 的前 n 项和，若 S =126 ，则 n=_1n+1nnn

4、n?=113.， a8 2，则 a1 _数列 an 满足 ?+11-? ?14. 等比数列 an 的前 n 项和为 Sn，若 S3+3 S2 0，则公比 q _15. 设等差数列 an 的前 n 项和为 Sn.若 S9=72,则 a2+a4+a9=_.16. 设等比数列 an 的前 n 项和为 Sn.若 a1=1,S6=4S3,则 a4=_.三、解答题（本大题共22 小题，共 252.0 分）?17.已知数列 an 满足 a1=1， nan+1=2（ n+1）an，设 bn= ?（ 1）求 b1， b2， b3；（ 2）判断数列 bn 是否为等比数列，并说明理由；（ 3）求 an 的通项公式第

5、1页，共 24页18.记 ?为等差数列 ? 的前 n 项和，已知 ? = -7 ， ? = -15 ?13(1) 求? 的通项公式；?(2) 求?，并求 ?的最小值? ?19. 等比数列 an 中， a1 1， a5 4a3（ 1）求 an 的通项公式；（ 2）记 Sn 为 an 的前 n 项和若 Sm 63，求 m20. 记 Sn 为等比数列 an 的前 n 项和已知 S2 2， S3-6（ 1）求 an 的通项公式；（ 2）求 Sn，并判断 Sn+1， Sn， Sn+2 是否成等差数列21. 已知等差数列 an 的前 n 项和为 Sn，等比数列 bn 的前 n 项和为 Tn， a1=-1

6、， b1 =1，a2+b2=2（ 1）若 a3+b3=5，求 bn 的通项公式；（ 2）若 T3=21 ，求 S3第2页，共 24页22. 设数列 an 满足 a1+3a2+（ 2n-1） an=2n（ 1）求 an 的通项公式；?（ 2）求数列 2?+1? 的前 n 项和23. 已知 ? 是公差为3的等差数列，数列? 满足1， 21，?+13? ?+1? ?= 1 ?=?+ ?= ?( ) 求?的通项公式；( ) 求?的前 n 项和24. 等差数列 an 中， a3 a4 4， a5 a7 6. ( )求 an 的通项公式；( )设 bn an ，求数列 bn 的前 10 项和，其中 x 表

7、示不超过x 的最大整数， 如 0.9 0， 2.6 2.25.n12- 1)?- 2?= 0?- (2?已知各项都为正数的数列 a 满足 a 1，?1?1（ 1）求 a2， a3；第3页，共 24页（ 2）求 an 的通项公式26. 数列 an 满足 a1=1， a2=2， an+2 =2an+1 -an+2 （ ）设 bn=an+1-an，证明 bn 是等差数列；（ ）求 an 的通项公式27. 已知 ?是递增的等差数列， ?22， ?是方程 ?- 5?+ 6 = 0的根4(1)求? 的通项公式；(2)?求数列 ? 的前 n 项和228. 已知等差数列 an 的前 n 项和 Sn 满足 S3

8、 0， S5 5.（ 1）求 an 的通项公式；（ 2）求数列的前 n 项和29. 已知等差数列 an 的公差不为零， a1 25，且 a1，a11，a13 成等比数列 （ 1）求 an 的通项公式；（ 2）求 a1 a4 a7 a3n 2.第4页，共 24页30. 等差数列 an 中， a7 4， a19 2 a9.（ 1）求 an 的通项公式；（ 2）设，求数列 bnn 的前 n 项和 S .31. 已知数列 an中， ，前n项和（ ）求a2，a3；a1 1. 1（ 2）求 an 的通项公式32. 已知等比数列 a 中， a ，公比 q.（1） S为 a 的前 n 项和，证明：n1nn；（

9、 2）设 bn log 3 a1 log 3 a2 log3 an，求数列 bn 的通项公式33. 设等比数列 an 的前 n 项和为 Sn.已知 a2 6， 6 a1 a3 30，求 an 和 Sn.第5页，共 24页34. 记等差数列 an 的前 n 项和为 Sn，设 S3 12，且 2 a1， a2， a3 1 成等比数列，求Sn.35. 已知 a 是各项均为正数的等比数列，且aa2()， aa64(12a345n) （ 1）求 an 的通项公式；（ 2）设 bn ( an)2，求数列 bn 的前 n 项和 Tn.36. 设等差数列 an 满足 a35， a10 9.（ 1）求 an 的

10、通项公式；（ 2）求 an 的前 n 项和 Sn 及使得 Sn 最大的序号 n 的值37.设等差数列 an的前n项和为Sn, bn的前n项和为Tn,公比是正数的等比数列已知 a1=1,b1=3,a3+b3=17,T3-S3=12,求 an, bn 的通项公式 .第6页，共 24页38. 已知等差数列 an 中， a3a7 16， a4a6 0，求 an 的前 n 项和 Sn.第7页，共 24页答案和解析1.【答案】 B【解析】解：an 是公差为 1 的等差数列，S8=4S4，8a1+×1=4×（4a1+），解得 a1=则 a10= +9×1= 故选：B利用等差数列

11、的通 项公式及其前 n 项和公式即可得出本题考查了等差数列的通 项公式及其前 n 项和公式，考查了推理能力与 计算能力，属于中档题2.【答案】 A【解析】解：由等差数列a n 的性质，a1+a3+a5=3=3a3，解得 a3=1则 S5=5a3=5故选：A由等差数列 a n 的性质，a1+a3+a5=3=3a3，解得 a3再利用等差数列的前 n 项和公式即可得出本题考查了等差数列的通 项公式及其性 质、前n 项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题3.【答案】 C【解析】解：设等比数列 a n 的公比为 q，a3a5=4（a4-1），=4，第8页，共 24页化为 q3=8，解得 q=2则

12、 a2=故选：C利用等比数列的通 项公式即可得出本题考查了等比数列的通 项公式，属于基础题4.【答案】 C【解析】【分析】本题考查等比数列的性 质，属基础题 由等比数列的性 质可得 S2，S4-S2，S6-S4 成等比数列，代入数据 计算可得【解答】解：S2=a1+a2，S4-S2=a3+a4=（a1+a2）q2，S6-S4=a5+a6=（a1+a2）q4，所以 S2，S4-S2，S6-S4 成等比数列，即 3，12，S6-15 成等比数列，可得 122=3（S6-15），解得 S6=63故选 C5.【答案】 A【解析】解：由题意可得 a42=a2?a8，即 a42=（a4-4）（a4+8），

13、解得 a4=8，a1=a4-3 ×2=2，Sn=na1+d，=2n+×2=n（n+1），第9页，共 24页故选：A由题意可得 a42=（a4-4）（a4+8），解得a4 可得 a1，代入求和公式可得本题考查等差数列的性 质和求和公式，属基础题6.【答案】 D【解析】32 an，故选 D.7.【答案】 D【解析】【分析】由数列递推式把数列的前60 项分组，然后利用等差数列的前 60 项和得答案本题考查数列的分 组求和，考查了等差数列的前【解答】解：由可知，由以上关系可得，当 n 为奇数时，即相邻两个奇数 项的和恒为 2，数列 an 的前 60项中奇数项的和为由可知，数列 a

14、-a 为首项为 1为 4的等差数列，2n 2n-1，公差由等差数列前n 项和可得，数列 an 的前 60 项中偶数项的和为S 奇+S偶故选 D.8.【答案】 B【解析】 当 n 1 时， S12 a2，又因 S1 a1 1，n 项和，是中档题，第10 页，共 24页所以，.显然只有 B 项符合9.【答案】 D【解析】由 Sk 2Sk24，ak1ak224，a1 kda1 (k1)d24，2a1(2k1)d24.又 a11，d2，k5.10.【答案】 A【解析】 数列 an 为等比数列，由 a1 a2 a3 5 得5，由 a7 a8 a9 10 得 10，所以 50，即( a3 50，即50，所

15、以5( a 2 a8)n0)所以 a4 a5 a65 .【答案】 C11.【解析】 an 为等差数列， a3 a4 a512，a44.a1 a2 a77 a428.12.【答案】 6【解析】解：an+1=2an， ，a1=2，数列 an 是 a1=2 为首项，以 2 为公比的等比数列，Sn=2n+1-2=126，2n+1=128，n+1=7，n=6第11 页，共 24页故答案为：6由 an+1=2an，结合等比数列的定 义可知数列 a n 是 a1=2 为首项，以2 为公比的等比数列，代入等比数列的求和公式即可求解本题主要考查了等比数列的通 项公式及求和公式的 简单应用，解题的关键是熟练掌握基

16、本公式13.【答案】【解析】12解：由题意得，an+1=，a8=2，令 n=7 代入上式得， a8=，解得 a7=；令 n=6 代入得，a7=，解得 a6=-1；令 n=5 代入得，a6=，解得 a5=2；根据以上 结果发现，求得结果按 2， ，-1 循环，8÷ 3=2 2，故a1=故答案为： 根据 a8=2，令n=7 代入递推公式 an+1=，求得 a7，再依次求出 a6，a5 的结果，发现规律，求出 a1 的值 本题考查了数列递推公式的 简单应用，即给 n 具体的值代入后求数列的 项，属于基础题14.【答案】 2【解析】 由 S3=3S2，可得 a1+a2+a3= 3(a1+a2

17、)，即 a1(1+q+q2)=3a1(1+q)，化简整理得 q2+4q+4=0，解得 q= 215.【答案】 24【解析】 ,第12 页，共 24页a1+a9=16.a1+a9=2a5,a5=8.a2+a4+a9=a1+a5+a9=3a5=24.16.【答案】 3【解析】S6=4S3.a4=a1·q3=1×3=3.故答案为 3.17.【答案】 解：（ 1）数列 an 满足 a1=1， nan +1=2 （n+1 ） an，?+1则： ?+1 = 2 （常数），?由于 ?=?，?故： ?+1 = 2，?数列 bn 是以 b1 为首项， 2 为公比的等比数列整理得： ? = ?

18、 ?2?-1 = 2 ?-1 ，?1所以： b1=1，b2=2， b3=4 （ 2）数列 bn 是为等比数列，?+1由于 ?= 2（常数）；?（ 3）由（ 1）得： ? = 2 ?-1 ，?根据?=，?所以： ? = ?2 ?-1【解析】（1）直接利用已知条件求出数列的各 项（2）利用定义说明数列为等比数列第13 页，共 24页（3）利用（1）（2）的结论，直接求出数列的通 项公式本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及 应用18.【答案】 解：（ 1） 等差数列 an 中， a1=-7 ，S3=-15 ，a1=-7 ， 3a1+3d=-15 ，解得 a1=-7 ， d=2，an=-7+2

19、（ n-1） =2n-9；（ 2） a1=-7， d=2， an=2 n-9，?1222n(? + ?)S =21?=2(2? -16?)=n -8n=（n-4）-16，当 n=4 时，前 n 项的和 S取得最小值为 -16n【解析】本题主要考查了等差数列的通 项公式，考查了等差数列的前n 项的和公式，属于中档 题（1）根据a1=-7，S3=-15，可得 a1=-7，3a1+3d=-15，求出等差数列 a n 的公差，然后求出 an 即可；2）由a=22（1=-7，d=2，an=2n-9，得Sn=n -8n=（n-4）-16，由此可求出 Sn 以及 Sn 的最小值19.【答案】 解：（ 1）

20、等比数列 an 中， a1=1， a5=4a31×q4=4×（ 1×q2），解得 q=±2，当 q=2 时， an=2n -1，当 q=-2 时， an=（ -2）n -1， an 的通项公式为， an=2n-1，或a-2）n-1n=（ 2）记 Sn 为 an 的前 n 项和当 a1=1， q=-2 时， Sn=? (1-? ?) 1-(-2) ?1-(-2)?1=1-(-2)=，1-?3由 Sm=63，得 Sm=1-(-2)?3=63， mN，无解；? (1-? )=1-2当 a1=1， q=2 时， Sn=1=2 n-1，1-?1-2由 Sm=63，

21、得 Sm=2 m-1=63， mN，解得 m=6【解析】（1）利用等比数列通项公式列出方程，求出公比 q=±2，由此能求出a n 的通项公式第14 页，共 24页（2）当a ，时，由，得，无1=1 q=-2Sn=Sm=63Sm=63 mN解；当a1=1，q=2 时，Sn=2n-1，由此能求出 m本题考查等比数列的通 项公式的求法，考查等比数列的性 质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基 础题20.【答案】 解：（ 1）设等比数列 an 首项为 a1，公比为 q，?-8?-833则 a3=S3-S2=-6-2=-8 ，则 a1= 2= 2， a2= =，?-8-8，整

22、理得： q2+4 q+4=0 ，解得： q=-2，由 a1+a2=2 ， 2 +=2?则 a1=-2， an=（ -2）（ -2） n-1 =（ -2） n， an 的通项公式 an=（ -2） n；?（ 2）由（ 1）可知： Sn=? (1-? )=-21-(-2)=-1（2+（ -2） n+1），11-(-2)1-?3则 S=-1（ 2+（ -2） n+2 ）， S=-1（ 2+（-2） n+3），n+13n+23由 Sn+1n+2=-1（ 2+（ -2）n+2）-1（ 2+（ -2）n+3 ）=- 1n+12+S334+（ -2）×（ -2）+（ -2） ×+（ -2

23、）3n +1，=-1 4+2 （ -2） n+1=2 ×-1 （ 2+（ -2） n+1） ，33=2 Sn，即 Sn+1+Sn+2 =2Sn，Sn+1 ，Sn ，Sn+2 成等差数列【解析】（1）由题意可知 a3=S3-S2=-6-2=-8，a1=，a2=，由 a1+a2=2，列方程即可求得 q 及 a1，根据等比数列通项公式，即可求得 an 的通项公式；（2）由（1）可知利用等比数列前 n 项和公式，即可求得 Sn，分别求得 Sn+1，Sn+2，显然 Sn+1+Sn+2=2Sn，则 Sn+1，Sn，Sn+2 成等差数列本题考查等比数列通 项公式，等比数列前 n 项和，等差数列的性

24、质，考查计算能力，属于中档题21.【答案】 解：（ 1）设等差数列 an 的公差为 d，等比数列 bn 的公比为 q， a1=-1 ， b1=1， a2+b2=2， a3+b3=5，可得 -1+d+q=2， -1+2 d+q2=5，解得 d=1， q=2 或 d=3， q=0（舍去），则 bn 的通项公式为bn=2n-1 ，nN* ；（ 2） b1=1， T3=21，可得 1+q+q2=21 ，第15 页，共 24页解得 q=4 或-5，当 q=4 时， b2=4， a2=2-4=-2 ，d=-2- （ -1） =-1 ， S3=-1-2-3=-6 ；当 q=-5 时， b2=-5 ， a2=

25、2- （-5） =7，d=7- （ -1） =8，S3=-1+7+15=21 【解析】（1）设等差数列 a n 的公差为 d，等比数列b n 的公比为 q，运用等差数列和等比数列的通 项公式，列方程解方程可得d，q，即可得到所求通项公式；（2）运用等比数列的求和公式，解方程可得公比，再由等差数列的通项公式和求和，计算即可得到所求和本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，求出公差和公比是解题的关键，考查方程思想和化 简整理的运算能力，属于基 础题22.【答案】 解：（ 1）数列 an 满足 a1+3a2+ +（2n-1） an=2nn2时， a1+3a2+ +（ 2n-3）an-1

26、=2（ n-1）（ 2n-1） an=2 2an=2?-1 当 n=1 时， a1=2，上式也成立n2 a =2?-1（ 2）?2112?+1=(2?-1)(2?+1)=2?-1 -2?+1?1111112?数列 2?+1? 的前 n 项和 =(1 -3)+(3-5 )+ +(2?-1 -2?+1)=1- 2?+1=2?+1【解析】本题考查了数列递推关系、裂项求和方法，考查了推理能力与 计算能力，属于中档题（1）利用数列递推关系即可得出（2）=-利用裂项求和方法即可得出23.【答案】 解：（ ） anbn+1+bn+1=nbn当 n=1 时， a1b2+b2=b1b1=1， b2=1，3a1=

27、2，又 an 是公差为 3 的等差数列，an=3n-1，第16 页，共 24页（ ）由（ I）知：（ 3n-1） bn+1+bn+1=nbn即 3bn+1=bn1即数列 bn 是以 1 为首项，以 3为公比的等比数列，1? 31-( 3)31 bnn（1-3-n） = 的前 n 项和1- 31=22 -2?3?-1S =【解析】本题考查的知识点是数列的 递推式，数列的通项公式，数列的前 n 项和公式，难度中档（）令n=1，可得a1=2，结合 an 是公差为 3 的等差数列，可得 a n 的通项公式；（）由（）可得：数b列 是以 1 为首项，以为公比的等比数列，进而可得：nb n 的前 n 项和

28、24.【答案】 解：（ ）设等差数列 an 的公差为 d，a3+a4 =4， a5+a7=62? + 5?= 4， 1+ 10?= 62?1?1= 1，解得： ?=2523an=5 ?+ 5；（ ） bn= an ，b1=b2 =b3=1，b4=b5=2，b6=b7=b8 =3，b9=b10=4 故数列 bn 的前 10 项和 S10=3×1+2 ×2+3 ×3+2 ×4=24【解析】（）设等差数列 a n 的公差为 d，根据已知构造关于首 项和公差方程 组，解得答案；（）根据bn=an ，列出数列b n 的前 10 项，相加可得答案本题考查 的知识 点

29、是等差数列的通 项公式，等差数列的性 质，难度中档25.【答案】 解：（ 1）根据题意， an2-（ 2an+1-1） an-2an+1=0 ，当 n=1 时，有 a12-（2a2-1） a1-2a2=0，1而 a1=1，则有 1-（ 2a2-1） -2a2=0 ，解可得 a2=2，当 n=2 时，有 a22-（2a3-1） a2-2a3=0，第17 页，共 24页11，又由 a2= ，解可得a3=241 1故 a2=2 ，a3=4；（ 2）根据题意， an2-（ 2an+1-1） an-2an+1=0，变形可得（ an-2an+1 ）（ an+1） =0 ，即有 an=2an+1 或 an=

30、-1 ，又由数列 an 各项都为正数，则有 an=2an+1，故数列 an 是首项为a1=1，公比为 1的等比数列，2则 an=1×（1） n-1=（1 ） n-1 ，22故 an=（ 12） n-1【解析】（1）根据题意，由数列的递推公式，令 n=1 可得 a12-（2a2-1）a1-2a2=0，将a1=1代入可得 a 的值进而令 n=2 可得 a2（），将a2=代入计算可，22- 2a3-1 a2-2a3=0得 a3 的值，即可得答案；题2（）变形可得（）（a进（2）根据 意，将 a=0）=0，n- 2an+1-1 an-2an+1an-2an+1n+an+1而分析可得 an=2

31、an+1 或 an=-an+1，结合数列各 项为正可得 an=2an+1，结合等比数列的性 质可得 a n 是首项为 a1=1，公比为的等比数列，由等比数列的通项公式计算可得答案本题考查数列的递推公式，关键是转化思路，分析得到 an 与 an+1 的关系26.【答案】 解：（ ）由 an+2 =2an +1-an+2 得，an+2 -an+1=an+1-an+2，由 bn=an+1-an 得， bn+1=bn+2，即 bn+1-bn =2，又 b1=a2-a1=1，所以 bn 是首项为 1，公差为 2 的等差数列（ ）由（ ）得， bn=1+2 （ n-1）=2n-1，由 bn=an+1-an

32、 得， an+1-an=2n-1，则 a2-a1=1， a3-a2=3， a4-a3=5 ， an-an-1 =2（n-1） -1，所以， an-a1=1+3+5+ +2（ n-1） -1=(?-1)(1+2?-3)=（ n-1）2，2又 a1=1，所以 an 的通项公式an=（ n-1） 2+1=n2-2n+2【解析】第18 页，共 24页本题考查了等差数列的定 义、通项公式、前 n 项和公式，及累加法求数列的通项公式和转化思想，属于中档题（）将an+2=2an+1-an+2 变形为：an+2-an+1=an+1-an+2，再由条件得 bn+1=bn+2，根据条件求出b1，由等差数列的定义证明 b n 是等差数列；（）由（）和等差数列的项通公式求出 bn，代入bn=an+1-an 并令 n 从 1 开始取值，依次得（n-1）