初中数学分类思想的认识

1、初中数学分类思想的认识与实践初中数学分类思想的认识与实践程建军从一道中考题谈起：如右图， 在四个正方形拼接成的图形中，以 A1，A2,A10这十个点中任意三个点为顶点，共能组成_个等腰直角三角形。 你愿意把得到上述结论的探究方法与他人交流吗？若愿意， 请在下方简要写出你的探究过程。 （结论正确且所写的过程简捷合理可另加 2 分，但全卷总分不超过 150 分）简析简析 本题中以这 10 个点的任意 3 点为顶点能构成多个等腰直角三角形。为了防止重复和遗漏，我们对不同的等腰三角形进行分类讨论。以直角边长为 1 的等腰三角形有 18 个，以直角边长为 2 的等腰直角三角形有 2 个，以直角边长为的等

2、腰三角形有 10 个，以直角边长为的等腰直角三角形有 2 个（A2A9A6和A1A8A5） ，因此共有 32 个等腰直角三角形。本题是一道交流式的探究题，立意新颖，是考查分类思想的一道好题。解题是要正确运用分类思想，做到既不重复、也不遗漏。可是，去年某市晋升高级教师专业考试，19 人参加考试，对这道题的解答五花八门，而得出正确答案只有 2 人。更令人遗憾的是，笔者也曾发现有一本数学专业刊物对其解答作了多次校正。究其原因是由于不关于分类讨论，或分类方法不当，或分类不够彻底造成的。这从一个侧面说明，我们对初中数学25分类讨论思想有待进一步加深认识。值得指出的是，近年来不论高考还是中考，关于考查分类

3、讨论思想的试题，不但题量增多，而且问题更为隐蔽，难度也更大，本题的第四种情况就是如此。观察图形时要有整体视角，既要考虑形内的，也要注意形外的，还要注意图形内外交叉的，更要注意观察非标准位置的图形，防止思维定势。下面就分类讨论思想的认识与教学这两个问题，谈一点肤浅的体会。1 1、什么是数学分类思想、什么是数学分类思想在研究与解决数学问题时，根据数学对象的本质属性的异同点，将对象分为不同种类，然后逐类进行研究与解决，从而达到研究与解决问题的目的。这一思想方法，我们称它为“分类思想” 。分类思想的掌握对研究和解决问题十分有益。因此是科学研究中最常用、最基本的思想之一。人们常以“物以类聚”来认识自然界

4、中成千上万的事物，又以“分门别类”来研究纷繁复杂的事物对象，这是分类思想在认识事物时的具体运用。分类思想实质上是一种逻辑划分，在研究与解决数学问题时，按照某一确定的标准在比较的基础上，将数学对象划分为若干既有联系、又有区别的部分，做到既不重复又为遗漏也不能为空。在这里比较是分类的前提，分类是比较的结果。它的表达式：其中 P=P1P2P3Pn， 且 Pi， PiPj=(ij， i， j=1， 2， ，n)。分类思想有三个明显特点：一是对什么东西分类，即确定分类的对象；二是按什么标准分类，即选择分类的标准；三是分成哪几类，即确定分类的结果。如本题分类的对象较为明确，即对等腰直角三角形进行分类，而分

5、类标准的选择则较为灵活。本文的解法是按等腰直角三角形的直角边的长进行分类。当然，也可以按等腰三角形的的斜边长进行分类，还可以按照等腰三角形直角的直角顶点进行分类，我认为在这里按本文的分类标准比较符合我们观察图形的视角，达到正确分类的目的。因此，确定分类的对象 是分类 的前提，选择分类的标准是分类的关键，确定分类的结果是分类的终结。但对于研究和解决问题来说，则是起步，还需要对分分类的结果进行逐类的研究与讨论，最后达到研究和解决问题的目的。2 2、如何加强分类讨论思想的教学、如何加强分类讨论思想的教学增强分类讨论意识，主动做好“渗透”工作近些年来，不少数学教师对分类讨论思想方法比较重视，中考命题也

6、把分类讨论问题作为重要的数学思想方法来考查。但从我们对中考试卷分析来看，不少同学对这一数学思想方法的掌握、运用得不理想，甚至根本未意识到分类的必要性，说明学生的分类意识十分欠缺！初中数学教学中分类讨论思想的教学亟待加强。分类思想的学习不只是在备考，而应渗透在平时的教学过程中。在确定教学目标、设计教学过程、设计板书、解题训练时，都要考虑到分类讨论思想的渗透。数学中的不少定义、公式、法则、性质、定理等本身就是分类定义的，如绝对值的定义、有理数加法法则、两圆位置等、都蕴含着分类思想。这种分类思想还体现在定理的证明、法则的推导等方面。如圆周角定理的证明、一元二次方程根的情形的讨论等，许多教师常常匆匆带

7、过，或者不给学生自主学习（甚至经历挫折）的机会，认为只有在练习中才能 学习分类思想，这就错过了面对新问题时如何运用分类思想的机会，更可惜的是，这对分类意识的形成 极为不利。根据新课标的要求，我们要把掌握分类思想作为一项教学目标纳入教学过程，提高学生的数学思考能力。在教学中要遵循循序渐进、适时渗透、逐步深化的原则。初始阶段，可从学生熟知的数学分类入手，逐步提高要求。当学生初步理解一些数学分类方法后，适时做好深化、归纳工作，可设计一些含有分类思想的习题，通过专项训练，帮助学生总结一些常见的分类方法，逐步强化分类意识，养成善于分类讨论的思维习惯。学会分类方法，逐步提高运用能力在解决数学问题时，找出问题中的不确定因素是把握分类思想的切入点和突破口。代数问题中的不确定因素，如有些含有参数的式子、方程或不等式，其中参数的取值范围是引起分类讨论的直接原因。例例 1解关于 x 方程a2x+a = x+1(a 为实数） 。简解简解原方程可化为(a+1)(a-1)x= - (a-1)。当 a1 时，x=-;当 a =1 时，x 可取任何实数，即方程有无数解;当 a= -1 时，方程无解。评注评注解含参数的一元一次方程时，要对含字母的系数分别等于 0，不等于 0 两种情况讨论。几何图形中的形状和位置关系的不确定性，是缺少分类意识的学生最易出错的地方，要特别引起注意。例例 2在半径