高中数学三角函数知识点与题型总结.

1、 人和教育内部资料三角函数典型考题归类高一数学知识总结必修一一、集合一、集合有关概念1. 集合的含义2. 集合的中元素的三个特性：(1) 元素的确定性如：世界上最高的山(2) 元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合H,A,P,Y(3) 元素的无序性: 如：a,b,c和a,c,b是表示同一个集合3.集合的表示： 如：我校的篮球队员，太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋(1) 用拉丁字母表示集合：A=我校的篮球队员,B=1,2,3,4,5(2) 集合的表示方法：列举法与描述法。u 注意：常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集） 记作：N正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R1）

2、列举法：a,b,c2） 描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。xÎR| x-3>2 ,x| x-3>23） 语言描述法：例：不是直角三角形的三角形4） Venn图:4、集合的分类：(1) 有限集 含有有限个元素的集合(2) 无限集 含有无限个元素的集合(3) 空集 不含任何元素的集合例：x|x2=5二、集合间的基本关系1.“包含”关系子集注意：有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是同一集合。反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AB或BA2“相等”关系：A=B (55，且55，则5=5)实例：设 A=x|x2-1

3、=0 B=-1,1 “元素相同则两集合相等”即： 任何一个集合是它本身的子集。AÍA真子集:如果AÍB,且A¹ B那就说集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA)如果 AÍB, BÍC ,那么 AÍC 如果AÍB 同时 BÍA 那么A=B3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为规定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。u 有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集二、函数1、函数定义域、值域求法综合2.、函数奇偶性与单调性问题的解题策略 3、恒成立问题的求解策略 4、反函数的几种题型及方法5

4、、二次函数根的问题一题多解&指数函数y=axaa*ab=aa+b(a>0,a、b属于Q)(aa)b=aab(a>0,a、b属于Q)(ab)a=aa*ba(a>0,a、b属于Q)指数函数对称规律：1、函数y=ax与y=a-x关于y轴对称2、函数y=ax与y=-ax关于x轴对称3、函数y=ax与y=-a-x关于坐标原点对称&对数函数y=logax如果，且，那么： ·； ； 注意：换底公式（，且；，且；）幂函数y=xa(a属于R)1、幂函数定义：一般地，形如的函数称为幂函数，其中为常数2、幂函数性质归纳（1）所有的幂函数在（0，+）都有定义并且图象都过点（

5、1，1）；（2）时，幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数特别地，当时，幂函数的图象下凸；当时，幂函数的图象上凸；（3）时，幂函数的图象在区间上是减函数在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴 方程的根与函数的零点1、函数零点的概念：对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点。2、函数零点的意义：函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标。即：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点3、函数零点的求法： （代数法）求方程的实数根； （几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质

6、找出零点4、二次函数的零点：二次函数（1），方程有两不等实根，二次函数的图象与轴有两个交点，二次函数有两个零点（2），方程有两相等实根，二次函数的图象与轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点（3），方程无实根，二次函数的图象与轴无交点，二次函数无零点三、平面向量向量：既有大小，又有方向的量数量：只有大小，没有方向的量有向线段的三要素：起点、方向、长度零向量：长度为的向量单位向量：长度等于个单位的向量相等向量：长度相等且方向相同的向量&向量的运算加法运算ABBCAC，这种计算法则叫做向量加法的三角形法则。已知两个从同一点O出发的两个向量OA、OB，以OA、OB为邻边作平行四边形O

7、ACB，则以O为起点的对角线OC就是向量OA、OB的和，这种计算法则叫做向量加法的平行四边形法则。对于零向量和任意向量a，有：0aa0a。|ab|a|b|。向量的加法满足所有的加法运算定律。减法运算与a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，(a)a，零向量的相反向量仍然是零向量。（1）a(a)(a)a0（2）aba(b)。数乘运算实数与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作a，|a|a|，当 > 0时，a的方向和a的方向相同，当 < 0时，a的方向和a的方向相反，当 = 0时，a = 0。设、是实数，那么：（1）()a = (a)（2）( )a = a a（3）(

8、a ± b) = a ± b（4）()a =(a) = (a)。向量的加法运算、减法运算、数乘运算统称线性运算。向量的数量积已知两个非零向量a、b，那么|a|b|cos 叫做a与b的数量积或内积，记作a?b，是a与b的夹角，|a|cos （|b|cos ）叫做向量a在b方向上（b在a方向上）的投影。零向量与任意向量的数量积为0。a?b的几何意义：数量积a?b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos 的乘积。两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。四、三角函数1、善于用“1“巧解题2、三角问题的非三角化解题策略3、三角函数有界性求最值解题方法4、三角函数向量综

9、合题例析5、三角函数中的数学思想方法15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：函数性质 图象定义域值域最值当时，；当 时，当时， ；当时，既无最大值也无最小值周期性奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在上是增函数；在上是减函数在上是增函数；在上是减函数在上是增函数对称性对称中心对称轴对称中心对称轴对称中心无对称轴必修四角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称为第几象限角第一象限角的集合为第二象限角的集合为第三象限角的集合为第四象限角的集合为终边在轴上的角的集合为终边在轴上的角的集合为终边在坐标轴上的角的集合为3、与角终边相同的角的集合为4、已知是第几象限角，确定所

10、在象限的方法：先把各象限均分等份，再从轴的正半轴的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则原来是第几象限对应的标号即为终边所落在的区域5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做弧度口诀：奇变偶不变，符号看象限公式一：设为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin（2k）sincos（2k）costan（2k）tancot（2k）cot公式二：设为任意角， 的三角函数值与的三角函数值之间的关系：sin（）sincos（）costan（）tancot（）cot公式三：任意角与 -的三角函数值之间的关系：sin（）sincos（）costan（）tancot（）cot公式四：利用公式二和公式三

11、可以得到-与的三角函数值之间的关系：sin（）sincos（）costan（）tancot（）cot公式五：利用公式一和公式三可以得到2-与的三角函数值之间的关系：sin（2）sincos（2）costan（2）tancot（2）cot公式六：/2±及3/2±与的三角函数值之间的关系：sin（/2）coscos（/2）sintan（/2）cotcot（/2）tansin（/2）coscos（/2）sintan（/2）cotcot（/2）tansin（3/2）coscos（3/2）sintan（3/2）cotcot（3/2）tansin（3/2）coscos（3/2）sint

12、an（3/2）cotcot（3/2）tan(以上kZ)其他三角函数知识：同角三角函数基本关系同角三角函数的基本关系式倒数关系:tan cot1sin csc1cos sec1商的关系：sin/costansec/csccos/sincotcsc/sec平方关系：sin2()cos2()11tan2()sec2()1cot2()csc2()两角和差公式两角和与差的三角函数公式sin（）sincoscossinsin（）sincoscossincos（）coscossinsincos（）coscossinsin tantantan（） 1tan tan tantantan（） 1tan tan倍角

13、公式二倍角的正弦、余弦和正切公式（升幂缩角公式）sin22sincoscos2cos2()sin2()2cos2()112sin2() 2tantan2 1tan2()半角公式半角的正弦、余弦和正切公式（降幂扩角公式） 1cossin2(/2) 2 1coscos2(/2) 2 1costan2(/2) 1cos万能公式万能公式 2tan(/2)sin 1tan2(/2) 1tan2(/2)cos 1tan2(/2) 2tan(/2)tan 1tan2(/2)三角函数的积化和差公式sin cos0.5sin（）sin（）cos sin0.5sin（）sin（）cos cos0.5cos（）co

14、s（）sin sin 0.5cos（）cos（）判别式b2-4ac=0 注：方程有两个相等的实根b2-4ac>0 注：方程有两个不等的实根b2-4ac<0 注：方程没有实根，有共轭复数根两角和公式sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosAcos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinBtan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(

15、ctgB+ctgA) ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA)倍角公式tan2A=2tanA/(1-tan2A) ctg2A=(ctg2A-1)/2ctgacos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a半角公式sin(A/2)=(1-cosA)/2) sin(A/2)=-(1-cosA)/2)cos(A/2)=(1+cosA)/2) cos(A/2)=-(1+cosA)/2)tan(A/2)=(1-cosA)/(1+cosA) tan(A/2)=-(1-cosA)/(1+cosA)ctg(A/2)=(1+cosA)/(1-cosA) ctg(A

16、/2)=-(1+cosA)/(1-cosA)和差化积2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)sinA+sinB=2sin(A+B)/2)cos(A-B)/2 cosA+cosB=2cos(A+B)/2)sin(A-B)/2)tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosBctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB -ctgA+ctgBsin(A

17、+B)/sinAsinB某些数列前n项和1+2+3+4+5+6+7+8+9+n=n(n+1)/2 1+3+5+7+9+11+13+15+(2n-1)=n22+4+6+8+10+12+14+(2n)=n(n+1) 12+22+32+42+52+62+72+82+n2=n(n+1)(2n+1)/613+23+33+43+53+63+n3=n2(n+1)2/4 1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 注： 其中 R 表示三角形的外接圆半径余弦定理 b2=a2+c2-2accosB 注：角B是边a

18、和边c的夹角圆的标准方程 (x-a)2+(y-b)2=r2 注：（a,b）是圆心坐标圆的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 注：D2+E2-4F>0抛物线标准方程 y2=2px y2=-2px x2=2py x2=-2py直棱柱侧面积 S=c*h 斜棱柱侧面积 S=c'*h正棱锥侧面积 S=1/2c*h' 正棱台侧面积 S=1/2(c+c')h'圆台侧面积 S=1/2(c+c')l=pi(R+r)l 球的表面积 S=4pi*r2圆柱侧面积 S=c*h=2pi*h 圆锥侧面积 S=1/2*c*l=pi*r*l弧长公式 l=a*r a是圆心角的弧

19、度数r >0 扇形面积公式 s=1/2*l*r锥体体积公式 V=1/3*S*H 圆锥体体积公式 V=1/3*pi*r2h斜棱柱体积 V=S'L 注：其中,S'是直截面面积， L是侧棱长柱体体积公式 V=s*h 圆柱体 V=pi*r2hsin30:二分之一 sin45:二分之根二 sin60:二分之根三cos30:二分之根三 cos45:二分之根二 cos60:二分之一tan30:三分之根三 cos45:一 tan60:根三等比数列：若q1 则S=n*a1若q1推倒过程：S=a1+a1*q+a1*q2+a1*q(n-1)等式两边同时乘qS*q=a1*q+a1*q2+a1*q

20、3+a1*q1式2式 有S=a1*(1-qn)/(1-q)等差数列推导过程：S=a1+(a1+d)+(a1+2d)+(a1+(n-1)*d)把这个公式倒着写一遍S=(a1+(n-1)*d) +(a1+(n-2)*d)+(a1+(n-3)*d)+a1上两式相加有S(2a1+(n-1)d)*n/2=n*a1+n*(n-1)*d/21根据解析式研究函数性质例1（天津理）已知函数（）求函数的最小正周期；（）求函数在区间上的最小值和最大值【相关高考1】（湖南文）已知函数求：（I）函数的最小正周期；（II）函数的单调增区间【相关高考2】（湖南理）已知函数，（I）设是函数图象的一条对称轴，求的值（II）求函

21、数的单调递增区间2根据函数性质确定函数解析式 例2（江西）如图，函数的图象与轴相交于点，且该函数的最小正周期为（1）求和的值；（2）已知点，点是该函数图象上一点，点是的中点，当，时，求的值【相关高考1】（辽宁）已知函数（其中），（I）求函数的值域； （II）（文）若函数的图象与直线的两个相邻交点间的距离为，求函数的单调增区间（理）若对任意的，函数，的图象与直线有且仅有两个不同的交点，试确定的值（不必证明），并求函数的单调增区间【相关高考2】（全国）在中，已知内角，边设内角，周长为（1）求函数的解析式和定义域；（2）求函数的最大值3三角函数求值例3（四川）已知cos=,cos(-)，且0<

22、<<,()求tan2的值；（）求.【相关高考1】（重庆文）已知函数f(x)=.（）求f(x)的定义域；（）若角a在第一象限，且【相关高考2】(重庆理)设f () = （1）求f()的最大值及最小正周期；（2）若锐角满足，求tan的值.4三角形中的函数求值例4（全国）设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，（）求B的大小；（文）（）若，求b（理）（）求的取值范围【相关高考1】（天津文）在中，已知，（）求的值；（）求的值【相关高考2】（福建）在中，（）求角的大小；文（）若边的长为，求边的长理（）若最大边的边长为，求最小边的边长5三角与平面向量例5（湖北理）已知的面积为

23、，且满足0，设和的夹角为（I）求的取值范围；（II）求函数的最大值与最小值【相关高考1】（陕西）设函数，其中向量，且函数y=f(x)的图象经过点，（）求实数m的值；（）求函数f(x)的最小值及此时的值的集合.【相关高考2】（广东）已知ABC三个顶点的直角坐标分别为A(3，4)、B(0，0)、C(，0) （文）(1)若，求的值；（理）若A为钝角，求c的取值范围；(2)若，求sinA的值6三角函数中的实际应用例6（山东理）如图，甲船以每小时海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于处时，乙船位于甲船的北偏西方向的处，此时两船相距海里，当甲船航行分钟到达处时，乙船航行到甲船的北偏

24、西方向的处，此时两船相距海里，问乙船每小时航行多少海里？北乙甲【相关高考】（宁夏）如图，测量河对岸的塔高时，可以选与塔底在同一水平面内的两个侧点与现测得，并在点测得塔顶的仰角为，求塔高7三角函数与不等式例7（湖北文）已知函数，（I）求的最大值和最小值；（II）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围8三角函数与极值例8（安徽文）设函数其中1，将的最小值记为g(t).()求g(t)的表达式；()讨论g(t)在区间（-1,1）内的单调性并求极值.三角函数易错题解析例题1已知角的终边上一点的坐标为（），则角的最小值为（ ）。A、 B、 C、 D、例题2 A，B，C是ABC的三个内角，且是方程的两个实数根

25、，则ABC是（ ）A、钝角三角形 B、锐角三角形 C、等腰三角形 D、等边三角形例题3已知方程（a为大于1的常数）的两根为，且、，则的值是_.例题4函数的最大值为3，最小值为2，则_，_。例题5函数f(x)=的值域为_。例题6若2sin2的取值范围是 例题7已知，求的最小值及最大值。例题8求函数的最小正周期。例题9求函数的值域例题10已知函数是R上的偶函数，其图像关于点M对称，且在区间0，上是单调函数，求和的值。2011三角函数集及三角形高考题1.（2011年北京高考9）在中，若，则 .2.（2011年浙江高考5）.在中，角所对的边分.若，则(A)- (B) (C) -1 (D) 13.（20

26、11年全国卷1高考7）设函数，将的图像向右平移个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则的最小值等于（A） （B） （C） （D）5.（2011年江西高考14）已知角的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若是角终边上一点，且，则y=_.6（2011年安徽高考9）已知函数，其中为实数，若对恒成立，且，则的单调递增区间是（A） （B）（C） （D）7（2011四川高考8）在ABC中，则A的取值范围是 （A）（B） （C）（D）1.（2011年北京高考17）已知函数（）求的最小正周期；（）求在区间上的最大值和最小值。3. （2011年山东高考17） 在中，内角的对边分别为，已知，（）求的值；（）若，求

27、的面积S。5.（2011年全国卷高考18）ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.己知. ()求B；（）若.6.（2011年湖南高考17）在中，角所对的边分别为且满足（I）求角的大小；（II）求的最大值，并求取得最大值时角的大小7（2011年广东高考16）已知函数，（1）求的值；（2）设，求的值8（2011年广东高考18）已知函数，xR（）求的最小正周期和最小值；（）已知，求证：9.（2011年江苏高考17）在ABC中，角A、B、C所对应的边为（1）若 求A的值；（2）若，求的值.10.（2011高考）ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asinAsinB+bcos2A=

28、a。（I）求；（II）若c2=b2+a2，求B。11. （2011年湖北高考17）设的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知(I) 求的周长；(II)求的值。12. （2011年浙江高考18）在ABC中,角A、B、C所对的边分别为a,b,c，已知 (I)求sinC的值；()当a=2， 2sinA=sinC时，求b及c的长2011三角函数集及三角形高考题答案1.（2011年北京高考9）在中，若，则 .【答案】【解析】：由正弦定理得又所以2.（2011年浙江高考5）.在中，角所对的边分.若，则(A)- (B) (C) -1 (D) 1【答案】D【解析】，.3.（2011年全国卷1高考7）设函

29、数，将的图像向右平移个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则的最小值等于（A） （B） （C） （D）【解析】由题意将的图像向右平移个单位长度后，所得的图像与原图像重合，说明了是此函数周期的整数倍,得,解得,又,令,得.4.（2011全国卷），设函数（A）y=在单调递增，其图像关于直线对称（B）y=在单调递增，其图像关于直线对称（C）y= f (x) 在（0，）单调递减，其图像关于直线x = 对称（D）y= f (x) 在（0，）单调递减，其图像关于直线x = 对称解析：解法一：f(x)=sin(2x+)=cos2x.所以f(x) 在（0，）单调递减，其图像关于直线x = 对称。故选D。5.（

30、2011年江西高考14）已知角的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若是角终边上一点，且，则y=_.答案：8. 解析：根据正弦值为负数，判断角在第三、四象限，再加上横坐标为正，断定该 角为第四象限角。=6（2011年湖南高考9）【解析】若对恒成立，则，所以，.由，（），可知，即，所以，代入，得，由，得，故选C.7（2011四川高考8）解析：由得，即，故，选C1.【解析】：（）因为高考资源网KS5U.COM所以的最小正周期为（）因为于是，当时，取得最大值2；当取得最小值12.（2011年浙江高考18）已知函数，.的部分图像，如图所示，、分别为该图像的最高点和最低点，点的坐标为.（）求的最小正周期

31、及的值；（）若点的坐标为，求的值.2.（）解：由题意得，因为在的图像上所以又因为，所以（）解：设点Q的坐标为().，由题意可知，得，所以，连接PQ,在PRQ中，PRQ=,由余弦定理得，解得A2=3。又A0，所以A=。3. （2011年山东高考17） 在中，内角的对边分别为，已知，（）求的值；（）若，求的面积S。解：（）在中，由及正弦定理可得，即则，而，则，即。另解1：在中，由可得，由余弦定理可得，整理可得，由正弦定理可得。另解2：利用教材习题结论解题，在中有结论由可得即，则，由正弦定理可得。（）由及可得则，S，即。4.（2011年安徽高考16）在ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边

32、长，a=，b=，求边BC上的高.解：ABC180°，所以BCA，又，即，又0°<A<180°，所以A60°.，在ABC中，由正弦定理得，又，所以BA，B45°，C75°，BC边上的高ADAC·sinC.5.（2011年全国卷高考18）ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.己知. ()求B；（）若.【解析】(I)由正弦定理得由余弦定理得.故，因此 （II） 故 .6.（2011年安徽高考17）在中，角所对的边分别为且满足（I）求角的大小；（II）求的最大值，并求取得最大值时角的大小解析：（I）由正弦定理得因

33、为所以（II）由（I）知于是 ，取最大值2综上所述，的最大值为2，此时7（2011年广东高考16）已知函数，（1）求的值；（2）设，求的值16解：（1）（2），即，即，8（2011年广东高考18）已知函数，xR（）求的最小正周期和最小值；（）已知，求证：（）解析：，的最小正周期，最小值）证明：由已知得，两式相加得，则9.（2011年江苏高考17）在ABC中，角A、B、C所对应的边为（1）若 求A的值；（2）若，求的值.解析：（1）（2）由正弦定理得：，而。（也可以先推出直角三角形）基本定义定义：我们把平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于一个常数(常数为2a)的轨迹称为双曲线。（平面

34、内到两定点的距离差的绝对值为定长的点的轨迹叫做双曲线）即：PF1-PF2=2a定义1： 平面内，到两个定点的距离之差的绝对值为常数（小于这两个定点间的距离1）的点的轨迹称为双曲线。定点叫双曲线的焦点。定义2：平面内，到给定一点及一直线的距离之比为大于1的常数的点的轨迹称为双曲线。定点叫双曲线的焦点，定直线叫双曲线的准线。定义3：一平面截一圆锥面，当截面与圆锥面的母线不平行，且与圆锥面的两个圆锥都相交时，交线称为双曲线。定义4：在平面直角坐标系中，二元二次方程F(x,y)=ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=0满足以下条件时，其图像为双曲线。1.a、b、c不都是零.2.b2 - 4ac &g

35、t; 0.注：第2条可以推出第1条。在高中的解析几何中，学到的是双曲线的中心在原点，图像关于x，y轴对称的情形。这时双曲线的方程退化为：x2/a2 - y2/b2 = 1.上述的四个定义是等价的，并且根据建好的前后位置判断图像关于x，y轴对称。2编辑本段标准方程1、焦点在X轴上时为：x2/a2 - y2/b2 = 12、焦点在Y 轴上时为：y2/a2 - x2/b2 = 1编辑本段概念特征以下从纯几何的角度给出一些双曲线的相关概念和性质。分支双曲线有两个分支。焦点在定义1中提到的两给定点称为该双曲线的焦点，定义2中提到的一给定点也是双曲线的焦点。双曲线有两个焦点。准线在定义2中提到的给定直线称

36、为该双曲线的准线离心率在定义2中提到的到给定点与给定直线的距离之比，称为该双曲线的离心率。离心率e=c/a双曲线有两个焦点，两条准线。（注意：尽管定义2中只提到了一个焦点和一条准线。但是给定同侧的一个焦点，一条准线以及离心率可以根据定义2同时得到双曲线的两支，而两侧的焦点，准线和相同离心率得到的双曲线是相同的。）顶点双曲线与两焦点连线的交点，称为双曲线的顶点。渐近线双曲线有两条渐近线。渐近线的方程求法是：将右边的常数设为0，即可用解二元二次的方法求出渐近线的解，例如：X2/2-Y2/4=1，令1=0，则X2/2=Y2/4，则双曲线的渐近线为Y=±(2)X编辑本段几何性质轨迹上一点的取

37、值范围1xa（焦点在x轴上）或者ya（焦点在y轴上）。对称性关于坐标轴和原点对称。顶点A(-a,0)，A'(a,0）。同时 AA'叫做双曲线的实轴且AA'=2a.B(0,-b），B'(0,b）。同时 BB'叫做双曲线的虚轴且BB'=2b.F1（-c,0）F2（c,0）.F1为双曲线的左焦点，F2为双曲线的右焦点且F1F2=2c对实轴、虚轴、焦点有：a2+b2=c2渐近线焦点在x轴：y=±（b/a)x.焦点在y轴：y=±（a/b)x. 圆锥曲线=ep/1-ecos当e>1时，表示双曲线。其中p为焦点到准线距离，为弦与x轴夹

38、角。令1-ecos=0可以求出，这个就是渐近线的倾角。=arccos（1/e)令=0，得出=ep/（1-e）,x=cos=ep/（1-e）令=PI，得出=ep/（1+e）,x=cos=-ep/（1+e）这两个x是双曲线定点的横坐标。求出它们的中点的横坐标（双曲线中心横坐标）x=(ep/1-e)+(-ep/1+e)/2（注意化简一下）直线cos=(ep/1-e)+(-ep/1+e)/2是双曲线一条对称轴，注意是不与曲线相交的对称轴。将这条直线顺时针旋转PI/2-arccos（1/e）角度后就得到渐近线方程，设旋转后的角度是则=-PI/2-arccos（1/e)则=+PI/2-arccos（1/e

39、)代入上式：cos+PI/2-arccos（1/e)=(ep/1-e)+(-ep/1+e)/2即：sinarccos（1/e)-=(ep/1-e)+(-ep/1+e)/2现在可以用取代式中的了得到方程：sinarccos（1/e)-=(ep/1-e)+(-ep/1+e)/2现证明双曲线x2/a2-y2/b2=1 上的点在渐近线中设M(x,y）是双曲线在第一象限的点，则y=(b/a）（x2-a2） (x>a)因为x2-a2<x2，所以y=(b/a）（x2-a2）<b/ax2=bx/a即 y<bx/a所以，双曲线在第一象限内的点都在直线y=bx/a下方根据对称性第二、三、四

40、象限亦如此离心率第一定义：e=c/a 且e（1，+）.第二定义：双曲线上的一点P到定点F的距离PF 与 点P到定直线（相应准线）的距离d 的比等于双曲线的离心率e.d点PF/d线（点P到定直线（相应准线）的距离）=e双曲线焦半径公式（圆锥曲线上任意一点P(x,y）到焦点距离）左焦半径：r=ex+a右焦半径：r=ex-a等轴双曲线一双曲线的实轴与虚轴长相等 即：2a=2b 且 e=2这时渐近线方程为：y=±x（无论焦点在x轴还是y轴）共轭双曲线双曲线S'的实轴是双曲线S的虚轴 且 双曲线S'的虚轴是双曲线S的实轴时，称双曲线S'与双曲线S为共轭双曲线。几何表达：

41、S：（x2/a2）-(y2/b2）=1 S'：（y2/b2）-(x2/a2）=1特点：（1）共渐近线；与渐近线平行得线和双曲线有且只有一个交点（2）焦距相等（3）两双曲线的离心率平方后的倒数相加等于1准线焦点在x轴上：x=±a2/c焦点在y轴上：y=±a2/c通径长（圆锥曲线中，过焦点并垂直于轴的弦）d=2b2/a11、过焦点的弦长公式：d=2pe/（1-e2cos2）弦长公式d = （1+k2）|x1-x2|= （1+k2）(x1-x2）2= （1+1/k2）|y1-y2|= （1+1/k2）(y1-y2）2 推导如下：由 直线的斜率公式：k = (y1 - y2

42、） / (x1 - x2）得 y1 - y2 = k(x1 - x2） 或 x1 - x2 = (y1 - y2）/k分别代入两点间的距离公式：|AB| = (x1 - x2）2; + (y1 - y2）2; 稍加整理即得：|AB| = |x1 - x2|（1 + k2;) 或 |AB| = |y1 - y2|（1 + 1/k2;)·双曲线的标准公式与反比例函数X2/a2 - Y2/b2 = 1(a>0,b>0)而反比例函数的标准型是 xy = c (c 0)但是反比例函数图象确实是双曲线轨迹经过旋转得到的因为 xy = c的对称轴是 y=x, y=-x 而X2/a2 -

43、 Y2/b2 = 1的对称轴是x轴，y轴所以应该旋转45度设旋转的角度为 a（a0，顺时针）（a为双曲线渐进线的倾斜角）则有X = xcosa + ysinaY = - xsina + ycosa取 a = /4则X2 - Y2 = (xcos（/4） + ysin（/4）)2 -(xsin（/4） - ycos（/4）)2= （2/2 x + 2/2 y)2 -（2/2 x - 2/2 y)2= 4 （2/2 x) （2/2 y)= 2xy.而xy=c所以X2/（2c) - Y2/（2c) = 1 (c>0)Y2/(-2c) - X2/(-2c) = 1 (c<0)由此证得，反比例函数其实就是双曲线的一种形式，.只不过是双曲线在平面直角坐标系内的另一种摆放形式.双曲线内、上、外在双曲线的两侧的区域称为双曲线内，则有x2/a2-y2/b2>1