33时间序列分析

1、3.3 时间时间序列分析序列分析教学要求教学要求时间序列分析的基本原理时间序列分析的基本原理 趋势拟合方法趋势拟合方法 平滑法平滑法 趋势线法趋势线法 自回归模型自回归模型季节变动预测季节变动预测 移动平均法移动平均法滑动平均法滑动平均法一、时间序列分析的基本原理（一）时间（一）时间序序列的概念列的概念时间时间序序列列时间时间序序列的图示方法列的图示方法编制时间编制时间序序列的意义列的意义重要概念重要概念 时间序列，是要素（变量）的数据按照时间顺序变动排列而形成的一种数列，它反映了要素（变量）随时间变化的发展过程。 时间序列（Time series）:在连续时点或连续时期上测量的观测值的集合。

2、(补充) 地理过程的时间序列分析，就是通过分析地理要素（变量）随时间变化的历史过程，揭示其发展变化规律，并对其未来状态进行预测。 年份年份国内生产总值国内生产总值（亿元）（亿元）年份年份国内生产总值国内生产总值（亿元）（亿元）19791980198119821983198419851986198719884038.24517.84862.45294.75934.57171.08964.410202.211962.514928.3198919901991199219931994199519961997199816909.218547.921617.826638.134634.446759.458

3、478.167884.674462.679395.7时间数列的要时间数列的要素之一：时间素之一：时间t时间数列的要时间数列的要素之二：变量素之二：变量a时间序列时间序列的要素的要素ta时间数列的图示方法时间数列的图示方法编制时间数列的意义编制时间数列的意义经济周期经济周期:循环性变动循环性变动繁荣繁荣拐点拐点繁荣繁荣拐点拐点衰退衰退拐点拐点萧条萧条拐点拐点复苏复苏拐点拐点（二）时间序列的组合成份（二）时间序列的组合成份 长期趋势（长期趋势（T T） 是指时间序列随时间的变化而逐渐增加或减少的长期变化的趋势。季节变动（季节变动（S S） 是指时间序列在一年中或固定时间内，呈现出的固定规则的变动。

4、 循环变动循环变动（C C） 是指沿着趋势线如钟摆般地循环变动，又称景气循环变动(business cycle movement) 。不规则变动（不规则变动（I I） 是指在时间序列中由于随机因素影响所引起的变动。 循环变动循环变动C（Cyclical）不规则变动不规则变动I（Irregular）季节变动季节变动S（Seasonal）长期趋势长期趋势T（Trend）（三）时间序列的组合模型（三）时间序列的组合模型 加法模型 假定时间序列是基于假定时间序列是基于4 4种成份相加而成的。种成份相加而成的。长期趋势并长期趋势并不影响季节变动。若以不影响季节变动。若以Y Y表示时间序列，则加法模型为表

5、示时间序列，则加法模型为Y=T+S+C+IY=T+S+C+I乘法模型 假定时间序列是基于4种成份相乘而成的。假定季节变动与循环变动为长期趋势的函数。该模型的方程式为ICTYISTYICSTY （3.3.1） （3.3.2） 二、趋势拟合方法(长期趋势分析)(一一)平滑法平滑法(二二)趋势线拟合法趋势线拟合法(三三)自回归模型自回归模型（一）平滑法（一）平滑法 时间序列分析的平滑法主要有三类时间序列分析的平滑法主要有三类 ：移动平均法移动平均法 设某一时间序列为设某一时间序列为 y y1 1，y y2 2，y yt t，则，则t t+1+1时刻的预测值为时刻的预测值为 式中式中: : 为为t t

6、点的移动平均值点的移动平均值; ; n n称为移动时距。称为移动时距。 )y(ynynyyyynyntttntttnjjtt1111101ty （3.3.3） 滑动平均法滑动平均法 其计算公式为其计算公式为 式中式中: : 为为t点的滑动平均值点的滑动平均值; ;l为单侧平滑时距。为单侧平滑时距。 若若l=1，则则（3.3.43.3.4）式称为三点滑动平均，其计算公式式称为三点滑动平均，其计算公式为为 若若l=2，则则（3.3.43.3.4）式称为五点滑动平均，式称为五点滑动平均， 其计算公其计算公式为式为)(12111) 1(lttttltlttyyyyyylyty 3/)(11ttttyy

7、yy5/ )(2112ttttttyyyyyy （3.3.4） （3.3.5） （3.3.6） 通过平均每一个连续数列值来修匀时间通过平均每一个连续数列值来修匀时间数列的方法。数列的方法。移动移动/滑动平均法的概念滑动平均法的概念三项滑动平均线三项滑动平均线移动平均法的计算移动平均法的计算奇数奇数项移项移动动偶数偶数项移项移动动1t2t3t4t5t6t7t原数列原数列移动平均移动平均新数列新数列原数列原数列移动平均移动平均新数列新数列滑动平均法的计算滑动平均法的计算奇数奇数项移项移动动偶数偶数项移项移动动1t2t3t4t5t6t7t原数列原数列滑动平均滑动平均新数列新数列原数列原数列滑动平均滑

8、动平均移正平均移正平均新数列新数列原数列原数列三项滑动平均三项滑动平均五项滑动平均五项滑动平均四项滑动平均四项滑动平均例题1表表3.3.1给出了中国给出了中国19901999年的年的农业总产值，试用移动平均法和滑农业总产值，试用移动平均法和滑动平均法分析其变化趋势。动平均法分析其变化趋势。移动平均法移动平均法 滑动平均法滑动平均法 三点移三点移动动 五点移五点移动动三点滑三点滑动动五点滑五点滑动动 - - - -8301.26 -9412.4710329.96 8301.26 -11943.5712865.729412.47 -15695.6315705.0611943.5710329.961

9、9481.7018645.815695.6312865.7222161.0021355.0819481.7015705.0623561.3323108.822161.0018645.824283.13 -23561.3321355.08 - -23108.8 - - -序号序号年份年份农业总产值农业总产值119907662.1219918157.0319929084.74199310995.55199415750.56199520340.97199622353.78199723788.49199824541.910199924519.111200024283.1使用移动使用移动/滑动平均法应注

10、意的问题：滑动平均法应注意的问题：可以平滑修匀数列；可以平滑修匀数列；对于季节性数列，要采用对于季节性数列，要采用 4 项或项或 12 项移动项移动/滑滑动平均，方可平滑掉其季节波动；动平均，方可平滑掉其季节波动；一般的移动平均方法使原数列首尾各去除了一般的移动平均方法使原数列首尾各去除了若干项，因此不能用于外推预测；若干项，因此不能用于外推预测；当数列没有明显的长期趋势、季节变动和循当数列没有明显的长期趋势、季节变动和循环变动时，可以用此法进行预测。环变动时，可以用此法进行预测。指数平滑法指数平滑法 一次指数平滑一次指数平滑 为平滑系数。为平滑系数。 一般时间序列较平稳，一般时间序列较平稳，

11、取取值可小一些，一般取值可小一些，一般取（0.05,0.3）；）；若时间若时间序列数据起伏波动比较大，则序列数据起伏波动比较大，则应取较大的值，应取较大的值，一般取一般取（0.7,0.95）。）。 ttnjjtjtyyyy)1()1(101 （3.3.7） 高次指数平滑法高次指数平滑法 一次指数平滑法不能跨期预测，对其进行改进，可以得到一次指数平滑法不能跨期预测，对其进行改进，可以得到能够跨期预测的高次指数平滑法。令能够跨期预测的高次指数平滑法。令 为一次指数平滑为一次指数平滑值，即值，即 Tbayttkt（3.3.4）（3.3.8）（3.3.9）)1(tS二次指数平滑法的预测公式为二次指数平

12、滑法的预测公式为 )1(1)1()1 (tttSyS对上式再作指数平滑，可得二次指数平滑值，即对上式再作指数平滑，可得二次指数平滑值，即)2(tS)2(1)1(1)2()1 (ttSSS（3.3.5）（3.3.6）在（在（3.3.63.3.6）式中，）式中，T T代表从基期代表从基期t t到预测期的期数，到预测期的期数， )2()1(2tttSSa)2()1(1tttSSb（3.3.7）对二次指数平滑再作一次指数平滑，可得三次指数平滑对二次指数平滑再作一次指数平滑，可得三次指数平滑公式公式 三次指数平滑法的预测公式三次指数平滑法的预测公式 为为 式中，式中， 2TcTbaytttkt)3(1)

13、2(1)3()1 (ttSSS)3()2()1(33ttttSSSa)3()2()1(2)34()45(2)56()1 (2ttttSSSb)3()2()1(222)1 (2ttttSSSc（3.3.9）（3.3.10）（3.3.11）（3.3.12）例2：某城市近某城市近6年（年（19941999年）用水量（年）用水量（106t）数据如表）数据如表3.3.2所示。试用指数平滑法预测该城市所示。试用指数平滑法预测该城市2000年的用水量。年的用水量。年份年份1994 1995 1996 1997 1998 1999用水量用水量211.30 260.18 209.10 248.79 241.00

14、 250.00解：取=0.5，将表3.3.2中的数据代入公式（3.3.7）计算： =240.85（106t） 预测结果表明，到2000年该城市的用水数量将达到240.85（106t）。234(2000)(1999)(1998)(1997)(1996)(1995)(1)(1)(1)(1)yyyyyy 趋势线拟合法：用某种趋势线趋势线拟合法：用某种趋势线（直线或曲线）来对原数列的长期（直线或曲线）来对原数列的长期趋势进行拟合。其主要作用是进行趋势进行拟合。其主要作用是进行外推预测。外推预测。直线趋势方程：直线趋势方程：btay曲线趋势方程：曲线趋势方程：taby 2ctbtay（二）趋势线法（二）

15、趋势线法趋势线拟合法的基本程序趋势线拟合法的基本程序判断趋势类型判断趋势类型计算待定参数计算待定参数利用方程预测利用方程预测判断判断趋势趋势类型类型绘制散绘制散点图点图分析数分析数据特征据特征当数据的一阶差分趋当数据的一阶差分趋近于一常数时，可以近于一常数时，可以配合直线方程。配合直线方程。当数据的二阶差分趋当数据的二阶差分趋近于一常数时，可以近于一常数时，可以配合二次曲线方程。配合二次曲线方程。btaytyi一阶差分一阶差分yi - yi-11234 na + ba + 2ba + 3ba + 4b a + nbbbb b2ctbtaytyi一阶差分一阶差分 二阶差分二阶差分1234 na

16、+ b + ca + 2b + 4ca + 3b + 9ca + 4b + 16c a + nb + n2cb+3cb+5cb+7c b+(2n-1)c2c2c 2ctaby tyiyi / yi-11234 nabab2ab3ab4 abnbbb b2tbtatytbnaybtyattnyttynb22)(用最小二乘法求用最小二乘法求 a、b 的公式：的公式：直线趋势方程参数的计算直线趋势方程参数的计算btay自相关性判断自相关性判断 时间序列的自相关，是指序列前后期数值之间的相关关系，对这种相关关系程度的测定便是自相关系数。 测度:设y1，y2，yt，yn，共有n个观察值。把前后相邻两期的

17、观察值一一成对，便有（n1）对数据，即(y1，y2)，(y2，y3)，(yt，yt+1)，(yn-1，yn)。（三）自回归模型（三）自回归模型其一阶自相关系数其一阶自相关系数r r1 1为1111211211111)()()(ntntttttntttttyyyyyyyyr二阶自相关系数二阶自相关系数r2为为2121222221222)()()(ntntttttntttttyyyyyyyyrk阶自相关系数为阶自相关系数为 kntkntktktttkntktktttkyyyyyyyyr11221)()()(自回归模型的建立自回归模型的建立 常见的线性自回归模型：常见的线性自回归模型： 一阶线性自回

18、归预测模型为一阶线性自回归预测模型为 二阶线性自回归预测模型为二阶线性自回归预测模型为 一般地，一般地，p p阶线性自回归模型为阶线性自回归模型为 在以上各式中，在以上各式中， 为待估计的为待估计的参数值，它们可以通过最小二乘法估计获得。参数值，它们可以通过最小二乘法估计获得。tttyy110ttttyyy22110tptpttyyy110), 2 , 1 , 0(pii例3：某地区某地区19881999年年12年自然灾害造成的成灾面积年自然灾害造成的成灾面积（102hm2）的时间序列数据见表的时间序列数据见表3.3.9。试计算该时间。试计算该时间序列的自相关系数序列的自相关系数r1和和r2，

19、并用自回归模型预测并用自回归模型预测2000年年的成灾面积。的成灾面积。yt+15253535556585960616162-年年份份198819891990199119921993199419951996199719981999序序号号123456789101112成成灾灾面面积积505253535656585960616162yt+253535556585960616162 - -9761.0)()()(1111112112111111tttttttttttyyyyyyyyr9062.0)()()(1011012222101222tttttttttttyyyyyyyyr解：将表3.3.9中

20、的数据代入公式（3.3.16）和（3.3.17）计算： 说明：说明： 自由度自由度f=11-2=9，在置信度水平在置信度水平=0.001下查相关系数的临界下查相关系数的临界值检验表得值检验表得r0.001=0.8471，显然显然r1 r0.001。这表明一阶自相关这表明一阶自相关系数系数r1具有高度的显著性。进一步检验发现，二阶自相关系具有高度的显著性。进一步检验发现，二阶自相关系数数r2也是高度显著的。也是高度显著的。所以，对于该序列可以建立线性自回所以，对于该序列可以建立线性自回归模型。由于归模型。由于r1r2，故可以建立一阶线性自回归预测模型。故可以建立一阶线性自回归预测模型。用最小二乘

21、法估计模型参数，得到如下回归模型：用最小二乘法估计模型参数，得到如下回归模型： 运用该模型进行预测计算：运用该模型进行预测计算：1047455. 18088. 3ttyy13.6162047455. 18088. 3047455. 18088. 319992000yy三、季节变动预测三、季节变动预测季节变动的概念季节变动的概念季节变动预测具体步骤季节变动预测具体步骤 季节变动（季节变动（ Seasonal）：）：一年之内一年之内因纯季节原因造成的数列的波动，以及因纯季节原因造成的数列的波动，以及与季节无关的类似的变动。与季节无关的类似的变动。饮料的生产量及销售量在一年内的变化饮料的生产量及销售

22、量在一年内的变化蔬菜价格在一年内的波动蔬菜价格在一年内的波动鲜花销售每年的几个旺季鲜花销售每年的几个旺季每年旅客运输的高峰期每年旅客运输的高峰期季节变动的概念季节变动的概念测量季节变动的意义测量季节变动的意义btayttyyyy趋势剔除法的基本过程趋势剔除法的基本过程趋势剔除法的假设模型趋势剔除法的假设模型ICSTy第一步，使用移动第一步，使用移动(滑动滑动)平均法产生新数列。平均法产生新数列。CTISICST第二步，用原数列各值与新数列各值相除，得到第二步，用原数列各值与新数列各值相除，得到相对数数列。相对数数列。ISCTCIST第三步，计算相对数数第三步，计算相对数数列的平均水平。列的平均

23、水平。SIIS季节性预测法的具体步骤步骤（1）对原时间序列求移动/滑动平均，以消除季节变动和不规则变动，保留长期趋势；趋势剔除法的假设模型趋势剔除法的假设模型ICSTyCTISICST2）将原序列将原序列y y除以其对应的趋势方程值除以其对应的趋势方程值（或平滑值），（或平滑值），得到相对数数列得到相对数数列, ,从而从而分离出季节变动（含不规则变动），即分离出季节变动（含不规则变动），即 季节系数= TSCI/趋势方程值（TC或平滑值）=SI （3 3）计算相对数数列的平均水平计算相对数数列的平均水平.将月度（或季度）的季节指将月度（或季度）的季节指标加总，以由计算误差导致的值去除理论加总值

24、，得到一个标加总，以由计算误差导致的值去除理论加总值，得到一个校正系数，并以该校正系数乘以季节性指标从而获得调整后校正系数，并以该校正系数乘以季节性指标从而获得调整后季节性指标。季节性指标。 （4 4）求预测模型）求预测模型，若求下一年度的预测值，延长趋势线即，若求下一年度的预测值，延长趋势线即可；若求各月（季）的预测值，需以趋势值乘以各月份（季可；若求各月（季）的预测值，需以趋势值乘以各月份（季度）的季节性指标。度）的季节性指标。 求季节变动预测的数学模型（以直线为例）为求季节变动预测的数学模型（以直线为例）为 式中：式中： 是是t+k时的时的预测值预测值; ; at、bt为方程系数为方程系

25、数; ; 为季节性指标。为季节性指标。kttktkbay)(ktykSIIS 例题：如表3.3.3所示，下面我们用上述步骤，预测该旅游景点2005年各季度的客流量。 表3.3.3 某旅游景点20022004年各季度客流量 解题步骤：解题步骤： （1 1）求）求时间时间序序列的三次滑动列的三次滑动平均值，见表平均值，见表（2 2） 求季节性指标：将求季节性指标：将表表3.3.3中第中第4 4列数据列数据分别除以第分别除以第5 5列各对列各对应元素，得相应的应元素，得相应的季节系数。然后再季节系数。然后再把各季度的季节系把各季度的季节系数平均得到季节性数平均得到季节性指标，见表指标，见表. 游客人

26、游客人数数y yi i/10/104 4三点滑动平均三点滑动平均季节性系数季节性系数260375325375/325=1.1538340312.671.08740845223279.330.798338882275303.330.906603369412346.331.189616839352331.671.0612958662312900.796551724287315.330.910157613428359.671.1899797043643451.055072464243 季节性指标之和理论上应等于4。现等于 3.951 5，需要进行校正。校正方法是： 先求校正系数：=4/3.951 5=1.012 3。 然后将表中的第4行，分别乘以，即得校正后的季节性指标（见表3.3.4第5行）。表3.3.4 季节性指标及其校正值 高次指数平滑法高次指数平滑法 一次指数平滑法不能跨期预测，对其进行改进，可以得到一次指